广东省汕头市金山中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2022级高三第一学期期中考试 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清 楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡 皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区 域书写无效。 正确填涂 缺考标记 考  号           [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 选择题 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 第1页 共5页 16. 第2页 共5页 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2022级高三第一学期期中考试 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清 楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡 皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区 域书写无效。 正确填涂 缺考标记 考  号           [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 17. 第3页 共5页 18. 第4页 共5页 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2022级高三第一学期期中考试 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清 楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡 皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区 域书写无效。 正确填涂 缺考标记 考  号           [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 19. 第5页 共5页 数学第 1 页（共 4 页） 2022 级高三第一学期期中考试 数学试卷 命题人：肖冬璇 审题人：袁明星 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．设全集 {1,2,3,4,5}U  ，集合M 满足  2,4UC M  ，则（ ） A．1 M B．4 M C．5 M D．3 M 2．设  0,  ，则“ 3    ”是“sin 3 2   ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设等差数列 na 的公差不为0 ，若 4a ， 5a ， 7a 构成等比数列， 6 6a  ，则 7a （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知 3 sin 2 4    ，则 1 tan tan    （ ） A． 8 3 B． 8 3  C． 4 3 D． 1 2  5．若 ln 10, ln2 ln5, ln 4ea b c    ，则a b c、 、 的大小关系是（ ） A．c a b  B．a b c  C．c b a  D．b a c  6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但 整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理 念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量  mg / LN 与 时间 t（小时）的关系为 0e ktN N  （ 0N 为最初污染物数量，且 0 0N  ）.如果前 4个小时消除了 20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（ ） A．3.8小时 B．4小时 C．4.4小时 D．5小时 7．已知函数 π ( ) sin(2 ) 2 f x x           满足 π π 4 3 f f             ，若  f x 在区间 π , 2 t       上恰有 3个零 点，则实数 t 的取值范围为（ ） A． 25π 37π , 24 24      B． 25π 49π , 24 24      C． 37π 49π , 24 24      D． 37π 49π , 24 24       数学第 2 页（共 4 页） 8．定义在 R 上的函数  f x 满足      2 4 2f x g x g x   且  2 1f  ，函数 ( 2)f x 为偶函数，则 下列说法不正确的是（ ） A． ( )f x 的图象关于 (1,0)对称 B． ( )f x 的图象关于 2x  对称 C．4是  f x 的一个周期 D． 22 1 ( ) 0 k f k   二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0分． 9．已知关于 x 的不等式 2 0ax bx c   的解集为 ( , 2) (3, )    ，则下列选项中正确的是（ ） A． 0a  B．不等式 0bx c  的解集是 6x x   C． 0a b c   D．不等式 2 0cx bx a   的解集为 1 1 , , 3 2                10．已知函数   π 2sin 2 3 6 f x x         ，则下列说法正确的是（ ） A．  f x 的值域为 1,5 B．  f x 的对称中心为 π π ,0 , Z 12 2 k k        C．  f x 在 π 0, 2       上的递增区间为 π 0, 3       D．  f x 在 5 0, π 6       上的极值点个数为 1 11．设等比数列 na 的公比为q ，前n项积为 nT ，下列说法正确的是（ ） A．若 8 12T T ，则 10 11 1a a  B．若 8 12T T ，则 20 1T  C．若 1 1024a  ，且 10T 为数列 nT 的唯一最大项，则 10 91 1 2 2 q        D．若 1 0a  ，且 10 11 9T T T  ，则使得 1nT  成立的n的最大值为 20 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12.已知函数   exf x x ，则  f x 在   0, 0f 处切线方程为 ． 13．在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，若 2 sina bc A ，则 c b b c  的最大值为 ． 数学第 3 页（共 4 页） 14．已知函数 ( ) log ( 1, 1) a bf x x x a b    有且只有一个零点，则ab 的取值范围为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13分）在 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，且 2c b ，2sin 3sin 2A C ． (1)求 a b 的值； (2)若 ABC 的面积为 3 7 2 ，求 AB边上的高． 16．（本小题满分 15分）如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形 ABCD是边长为 2的正方形，平 面PAD 平面 ABCD， 5PA PD  ，点 E 是线段 AD的中点， 2CM MP . (1)证明： PE∥平面BDM ； (2)求平面 AMB 与平面BDM 的夹角. 17．（本小题满分 15分）已知 1F ， 2F 分别为双曲线C ：   2 23 0x y     的左、右焦点，过 2F 的 直线 l 与双曲线C 的右支交于 ,A B两点．当 l 与 x 轴垂直时， 1ABF 面积为 12． (1)求双曲线C 的标准方程； (2)当 l 与 x 轴不垂直时，作线段 AB 的中垂线，交 x 轴于点D ．试判断 2DF AB 是否为定值．若是， 请求出该定值；若不是，请说明理由． 数学第 4 页（共 4 页） 18．（本小题满分 17分）已知函数   1 lnf x x a x x    . (1)当 0a  时，讨论  f x 的单调性； (2)记曲线  y f x 在   1 1,P x f x ，   2 2,Q x f x 两点处的切线斜率分别为 1 2,k k ，直线PQ的斜 率为 3k ，其中  1 2, 0,1x x  ，求证：当 1a   时，有 1 2 32k k k  . 19．（本小题满分 17分）如果数列   ,n nx y ，其中 ny Z，对任意正整数n都有 1 2 n nx y  ，则 称数列 ny 为数列 nx 的“接近数列”．已知数列 nb 为数列 na 的“接近数列”． (1)若  * 2 2 3 na n n  N ，求 1 2 3, ,b b b 的值； (2)若数列 na 是等差数列，且公差为  d d Z ，求证：数列 nb 是等差数列； (3)若数列 na 满足 1 231 100 a  ，且 1 9 57 10 20 n na a    ，记数列   n na b､ 的前n项和分别为 ,n nS T ， 试判断是否存在正整数n，使得 n nS T ？若存在，请求出正整数n的最小值；若不存在，请说明 理由．（参考数据： 9 10 14 log 16.7 81  ） 2022级高三第一学期期中考试数学参考答案 CADBD BCD ABD ACD BCD x-y=0,5,(e,+o) 15.【详解】(1)，2sinA=3sin2C,∴.sinA=3 sin CcosC, 由正余弦边角关系得，a=3c。+-C0,4分， 2ab 又c=2b,②由0②得，b=+6-4)，=.a=35b,935 …6分 2 2 b2 (2)由(1)得， cosC=sinA=a_」 b反 2 3sin C 3c6b= 4 (或由余弦定理得coC-g+6-C 9 b2+b2-4b2 2ab 3√2b2 —2)…8分 4 C为锐角，simc=14，-9分 △4Bc的面积5=号bsi血C=×35×4_35，,b=2,1分 2 2242 设B边上的高为h,则△ABC的面积S=)ch=bh=3 2 ÷A=35,即AB边上的高为35.…13分 4 4 16.【详解】(1)如图，连接EC交BD于N,连接MN, 由E是D的中点可得DE=4D=BC=,…1分 易得△DEN与△BCV相似，所以EN=号NC,…3分 又PM=MC,所以MN∥PE,…4分 又MNC平面BDM,PE文平面BDM,所以PE∥平面BDM:·6分 (2)因平面PAD⊥平面ABCD,且平面PADO平面ABCD=AD, Z 由PA=PD=√5，点E是线段AD的中点可得PE⊥AD, M 又PEc平面PAD,故得PE⊥平面ABCD.…8分 D 如图，取BC的中点为F,分别以EA,EF,EP为x,z轴的正方向，建 立空间直角坐标系.则E(0,0,0),A(1,0,0), D(-1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),P(0,0,2),…9分 元-(12-2.m=元-（}号引则M号引…10分 设平面®的法向最以=化，：)为，由石=Q20,.丽=（号》 元·AB=2%=0 则 新+号新+号=0故可取可=-0小：…分 %·A所=-4 24 设平面0M的法向量为元=(，，小由而-(2-20)，丽-（手》 mBD=-2x2-2y2=0 则 写+=0故可取瓜=-0.…12分 %8M=-4-4 4 故平面AMB与平面BDM的夹角余弦值为Cos(m,n)= 五n网 1 5反2，…14分 所以平面AMB与平面BDM的夹角为于.…15分 x2 y2 17.【详解】(1)双曲线3x-=元可化为方元 3 =41=12,即入=3 3 双曲线C的标准方程为r-上=1.…4分 3 (2)设直线1的方程为x=y+2(t≠0)，A(x,y),B(x2,y2), 3x2-y2=3 联立双曲线C与直线1： x=+2消去x可得： (32-1)y2+12+9=0,则△=(12)}°-4×9(32-1)=36(+1)>0恒成立， -124 9 又直线与双曲线交于右支两点，故y+为3二，出3 >0,即> 3,…7分 从面得气+与号即AB中点M为弓》 -2-61 …9分 线段B的中重线为+=c+是》则D0小…1分 …12分 -+--F 4x、 9 62+6 32-32-11 …14分 D6为定值1.…15分 AB 18【样制】0f=oa,了-1+是-e>0叫分 若△=a2-4≤0时，即-2≤a<0时，f'(x)≥0，f(x)在(0，+o∞)单调递增…3分 若△=a2-4>0,即a<-2时， ()=++1有两个零点5=口-，5=3+三4且>0,6>0,5>5， 2 当0<x<x时，h(x)>0,f(x)>0,f(x)单调递增 当x<x<x时，h(x)<0,f(x)<0,f(x)单调递减 当x>x时，h(x)>0,'(x)>0,f(x)单调递增 …6分 综上所述，当-2≤a<0时，f(x)在在(0，+o)单调递增： -a+√a层2-4 ，+00 上单调递增， f(x)在 2 上单调递减 …7分 (2)因为f)=x-+alnx,所以f()=1++ 所+场小)号号是2 …8分 ）-f(s)5-s+an-+-咖 。=lt1+an-l,9分 3-x 3- 要证太+k>2水，只需证了+云写。巧 I+a+a>2 +2a;-Inxi t3-2+a1+1-2-im>0, …11分 设字=>0，则只需证+号-3小-2m小0D.13分 由(1)可知fd)=x--2nr在(0，+o)上单调递增， 则当xe(1,+o)时，f(x)>f()=0,所以t--2nt>0, 设g0=-+是-3，则0=1号-42.0-2,0 所以g()在(1，+∞)上单调递增，所以g()>g()=0,…15分 又因为0<x<1,a≥-1，所以要证①， 730, 只需证1宁+号31+片2m=2w+4 设0=2m+号3，则0)-子子-孔->0， 所以h()在(1，+∞)上单调递增.所以h()>h()=0,得证.…17分 9.【详解10由题，令n=则%-兮即管-分故弩有宁 得5<h<9,又6eZ6=3,同理可得，么=5么=7.3分 6 (2)由题意a,-6k分故a么<a,+号4mb<a+分 从而a1-an-1<bn1-bn<an+l-an+1,即-1<bn1-bn-d<1,…6分 因为b.∈Zd∈Z,所以bn+1一b。-d=0,即bn1-bn=d,故数列{bn}是等差数列.…7分 8)因为a=名，+品则+=a+小解得头= 2 又4品0，故口}引是以为首项公比为-品的等比效列 9 3 +三，…9分 从子+哥-(] …10分 当n为奇数时，a,=气 +3单调递减， 2 故2a,≤a 231 得a-2e(兮尚，则有6=2：…12分 当n为偶数时，an= 9) (10 1 3单调递增， 十 故a,≤a,<,即n0≤a.<2,得a,-10002 3 2291 )，则有b,=1: 1000 1,n为偶数 综上，bn= 2,n为奇数’ …14分 >1,无解：…15分 当n为奇数时，Tn=T1一b1= 3m+l-1=3n+1 2 2 故npo吗a8 4 ≈16.7，所以存在正整数n,使得Sn<工，正整数n的最小值为17.…17分