精品解析：河北国际学校教育集团（河北省石家庄市第四十二中学）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

河北国际学校教育集团2024—2025学年度第一学期 质检2 九年级 数学试卷 注意事项：本试卷分卷Ⅰ和Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷共120分，考试时间90分钟．请将选择题的答案填涂在机读卡上，非选择题写在答题纸上． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 下列几组量中，不成反比例的为（ ） A. 工作总量一定，工作效率和工作时间 B. 减数一定，被减数和差 C. 面积一定，平行四边形的底和高 D. 电压一定时，电流与电阻 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 3. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 4. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 6. 如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A. 70m B. 80m C. 90m D. 100m 7. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 10. 已知线段，，，求作线段x，使，则下列作图中（）作法正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 初三一班学生的一次数学测试的平均成绩为60分，男生的平均成绩为57分，女生的平均成绩为62分，则该班男、女生人数之比为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在四边形中，，，，，．当与相似时，嘉嘉得到如下结论： ①可能是3或4．②可能为，③一定是直角，其中判断正确的为（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 卷Ⅱ（非选择题，共84分） （将答案用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸上） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则的值为_____． 14. 如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填______． x 10 ？ y 3 5 15. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是_______． 16. 如图，在中，，，，点E，F分别是边，上的动点（点E，F均不与的顶点重合），连接，．若，，则m的最小值为______． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）计算：． 18. 在面积为定值的一组荾形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为． （1）设菱形的两条对角线的长分别为，，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个菱形的一条对角线长为，求它的另一条对角线长． 19. 已知：如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交的延长线于点D． （1）求的长度： （2）过C作于点H，求的面积． 20. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 21. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 22. 探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和． ①三角形点阵中前10行的点数和是______； ②若三角形点阵中前a行的点数之和为136，a的值为______； ③三角形点阵中前b行的点数之和能是600吗？若能，求出b的值；若不能，试用一元二次方程说明理由． 拓展：如果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，… ④直接写出这个三角形点阵中前n行点数和：______；（用含n的代数式表示） ⑤这个三角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，请说明理由． 23. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北国际学校教育集团2024—2025学年度第一学期 质检2 九年级 数学试卷 注意事项：本试卷分卷Ⅰ和Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷共120分，考试时间90分钟．请将选择题的答案填涂在机读卡上，非选择题写在答题纸上． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 下列几组量中，不成反比例的为（ ） A. 工作总量一定，工作效率和工作时间 B. 减数一定，被减数和差 C. 面积一定，平行四边形的底和高 D. 电压一定时，电流与电阻 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查成反比例，根据两个变量的乘积一定时，两个变量成反比例，进行判断即可． 【详解】解：A、工作总量一定，工作效率和工作时间的乘积为定值，成反比例，不符合题意； B、减数一定，被减数和差的差值一定，不成反比例，符合题意； C、面积一定，平行四边形的底和高的乘积为定值，成反比例，不符合题意； D、电压一定时，电流与电阻的乘积为定值，成反比例，不符合题意； 故选B． 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝＝3， ∴sinA＝，故选项A错误； tanA＝，故选项B错误； cosA＝，故选项C正确； tanB＝，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键． 3. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键．由，可得出进而得出解出即可得出结论． 【详解】解： ， ， ， 故选：B 4. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的性质得，解得，即可做出判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， 的取值可以是3， 故选：D 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数经过的象限是解题的关键． 5. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a+1≠0，进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0， ∴a2+a＝0，且a+1≠0， 则a的值为：a＝0． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零． 6. 如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A. 70m B. 80m C. 90m D. 100m 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°， ，， ∴， 即20s后他们之间的距离为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差，根据各位的特点和计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数和方差跟一组数据的每一个数据都有关系， ∴无法确定平均数和方差， ∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数， ∴不能确定众数， ∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38， ∴中位数为38； ∴能确定这组数据的中位数， 故选B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又∵， ∴点的坐标为，即点的坐标为． 故选：D． 9. 若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，根的判别式，根据正比例函数的图象过第二、四象限，得到，再求出判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A. 10. 已知线段，，，求作线段x，使，则下列作图中（）作法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】选项A中，由可得：，即有，不合题意； 选项B中，由可得：，即有，不合题意； 选项C中，由可得：，即有，不合题意； 选项D中， ∵， ∴， ∴， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11. 初三一班学生的一次数学测试的平均成绩为60分，男生的平均成绩为57分，女生的平均成绩为62分，则该班男、女生人数之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的求法．设男、女生的人数分别为x、y，根据加权平均数的概念列式整理即可得解． 【详解】解：设男、女生的人数分别为x、y， 由题意得， 整理得，， 所以，． 故选：C． 12. 如图，在四边形中，，，，，．当与相似时，嘉嘉得到如下结论： ①可能是3或4．②可能为，③一定是直角，其中判断正确的为（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与相似时，分两种情况： ①当时，则：，， ∴，， ∴，， ∴， ∴或； ②当时，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：正确的是①②； 故选D． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） （将答案用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸上） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则的值为_____． 【答案】 ． 【解析】 【分析】根据比例的合比性质变形得： 【详解】∵， ∴ 故答案为. 【点睛】本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键． 14. 如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填______． x 10 ？ y 3 5 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了求反比例关系的关系式及相应x值，准确求得反比例的关系式是解决本题的关键． 设x和y成反比例关系式为，把，代入解析式，即可求得关系式，再把代入即可求得． 【详解】解：设x和y的反比例关系式为， 把，代入关系式，得， 所以，x和y的关系式为， 把代入关系式，得， 解得， 故“？”处应填6， 故答案为：6． 15. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则， ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点E，F分别是边，上的动点（点E，F均不与的顶点重合），连接，．若，，则m的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，过点B作且，连接，先证明，再由平行线的性质得到，证明得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为线段的长，在中，由勾股定理得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作且，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1）（2）0 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）方程左边进行因式分解，进而解方程即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，计算即可． 【详解】解：（1） ， ∴或， ∴； （2）原式． 18. 在面积为定值的一组荾形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为． （1）设菱形的两条对角线的长分别为，，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个菱形的一条对角线长为，求它的另一条对角线长． 【答案】（1），这个函数是反比例函数，比例系数为48 （2）它的另一条对角线长 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数的应用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键： （1）根据菱形的面积公式，求出菱形的面积，进而求出函数解析式，根据反比例函数的定义进行判断即可； （2）根据面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴， ∴这个函数是反比例函数，比例系数为48； 【小问2详解】 ， 答：它的另一条对角线长． 19. 已知：如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交的延长线于点D． （1）求的长度： （2）过C作于点H，求的面积． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查三线合一，勾股定理，相似三角形的判定和性质： （1）过点作，过点作，三线合一求出的长，平行线分线段成比例，求出的长，证明，列出比例式求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）证明，求出的长，勾股定理求出的长，三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：过点作于F，过点作于H，则：， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得：， ∴的面积． 20. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87，所以A款好 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 21. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 22. 探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和． ①三角形点阵中前10行的点数和是______； ②若三角形点阵中前a行的点数之和为136，a的值为______； ③三角形点阵中前b行的点数之和能是600吗？若能，求出b的值；若不能，试用一元二次方程说明理由． 拓展：如果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，… ④直接写出这个三角形点阵中前n行点数和：______；（用含n的代数式表示） ⑤这个三角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，请说明理由． 【答案】①55；②； ③三角点阵中前b行的点数的和不能是600．理由如下： 依题意，得， 即， ， ∵b为整数， ∴三角点阵中前b行的点数的和不能是600； ④；⑤三角点阵中前n行的点数的和能是600，且． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． ①由于第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，则前10行共有个点； ②前a行共有个点，然后求它们的和，前a行共有 个点，则，然后解方程得到a的值； ③由②得，求b的值即可； ④根据，求n的值，进而得出这个三角形点阵中前n行点数和； ⑤由④得，求n的值即可． 【详解】解：①三角形点阵中前10行的点数和为： ； 故答案为：55； ②由题意可得：，即， 整理得， ∴，， ∵a为正整数， ∴； ③略 ④这个三角形点阵中前n行点数和为： ； ⑤三角点阵中前n行的点数的和能是600．理由如下： 依题意，得， 即， 解得： （舍），， 答：三角点阵中前n行的点数的和能是600，且． 23. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 【答案】（1） 解：与位置关系是垂直． 证明如下： ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 时，的结论成立． 理由是： 如图过，点A作交于点， ， ， ， 同理可证， ， ， ， 即． （3） 解：分两种情况讨论： 如图②，点D在线段上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， ∵，， ，． ，， （当时，）． 四边形是正方形， ，则． ， ． ， ． 如图，点D在线段延长线上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， 同理可证， 此时， 同理可证， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质，解题的关键是通过构造全等或相似三角形，结合正方形和角度条件推导线段与角的关系． （1）由，，得；，由正方形，可得，，；；可得．可证，得，．即． （2）过点作交于点，可得，易证：，所以，．即． （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．考虑点的位置，分两种情况去解答．①点在线段上运动，已知，可求出．即，易证，可得，，问题可求．②点在线段延长线上运动时，由，可求出，．过作交延长线于点，则，得，由，得，，问题解决． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $