5.5（2）确定圆的条件2024-2025学年鲁教版（五四制）数学九年级下学期

第五章 圆 第五节(2) 确定圆的条件 1、怎么样能确定一个圆？ （1）连线； （2）作所连线段的垂直平分线，找其交点； （3）作圆. 3、过不在同一条直线上的三点的作圆步骤. 2、概念：外接圆、外心、内接三角形. 不在同一条直线上的三个点能确定一个圆. 既然我们知道了经过不在同一条直线上的三个点能确定一个圆，那么经过不在同一条直线上的四个点能否作一个圆呢？ 请举例说明. ●O A B C D 如图所示，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，那么，这样的四边形和圆之间又怎样的关系呢？ 如果四边形的四个顶点都在一个圆上,那么这圆叫做四边形的外接圆. 这个四边形叫做圆的内接四边形. ●O A B C D 如右图所示：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆. 一般地，如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆. （1）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A与∠C， ∠B与∠D分别是它的两组对角. ∠A所对的弧是哪条弧？ ∠C所对的弧是哪条弧？ （2） ∠A与∠C所对的两条弧的度数之和是多少？由此你发现∠A与∠C有怎样的数量关系？ ∠B与∠D呢？ ●O A B C D 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形. 求证： ∠A+∠C=1800 ， ∠B+∠D=1800 证明： 如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ ∠A等于弧BCD所对圆心角的一半, ∠C等于弧BAD所对圆心角的一半. 而弧BCD所对的圆心角+弧BAD所对的圆心角=360°， ∴∠BAD＋∠BCD＝ 180°. 同理∠ABC＋∠ADC＝180°. 圆内接四边形的对角互补. C O B A D 如果延长BC到E，那么 ∠DCE＋∠C ＝ 180°. ∴∠A＝∠DCE. 又 ∵∠A ＋∠C＝ 180°， C O D B A E 四边形与圆的位置关系 因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠C的对角,我们把∠A叫做∠DCE的内对角. 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. E B C A M 如图，ΔABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE. 求证：BE=CE. 证明：在图中， ∵ ∠EAM是圆内接四边形AEBC的外角， ∴ ∠EAM= ∠EBC. ∵ ∠ECB= ∠EAB， ∠EAM= ∠EAB， ∴ ∠ECB= ∠EBC. ∴ BE=CE. 1、如图，AB为半圆的直径，点C，D在半圆上，且AD=CD， ∠B= 50°，求∠A， ∠C的度数. 2、求证：圆内接平行四边形是矩形. 这节课我们证明了圆内接四边形的两个重要性质: 1.圆内接四边形对角互补. 2.圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角. 我们也可以推得对角互补的四边形内接于圆. 1.（2015·杭州中考）圆内接四边形ABCD中，已知 ∠A=70°，则∠C=( ) A. 20° B. 30° C. 70° D. 110° 【解析】选D． ∵圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°， ∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得∠C=110°. 2.（2015·常德中考）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ） A.50°　　　B.80° 　　C.100°　　　　D.130° 【解析】选D.圆周角与圆心角的关系， ∠A= ∠BOD=50°, 又圆内接四边形的对角互补， 所以∠BCD=180°-50°=130°. 3.（2015·长春中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形 ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 【解析】选C.设∠ADC的度数=α， ∠ABC的度数=β； ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠ABC=∠AOC；∵∠ADC= ∠AOC, ∴∠ADC= β，∠ADC=α；而α+β=180°， ∴ 解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°． 4.圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则 ∠A= ，∠B= ，∠C= ，∠D= . 60º 90º 120º 90º 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75º， 则∠BOD= . 150º E A B C D o $$