广东省广州市黄埔广附教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省广州市黄埔广附教育集团八年级(上)期中 数学试卷 一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分) 1.(3分)下列图形中,不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.(3分)下面各组线段中,能组成三角形的是( ) A.5,11,6 B.8,8,16 C.10,5,4 D.6,9,14 3.(3分)在平面直角坐标系中,点A(﹣2,m﹣1)与点B(n+2,3)关于x轴对称,则m+n的值是( ) A.﹣6 B.4 C.5 D.﹣5 4.(3分)从五边形的一个顶点出发,可以作( )条对角线. A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.(3分)如图,三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域,如果在这个区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,那么这个集贸市场应建的位置是( ) A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.不确定 6.(3分)如图,在三角形ABC中,∠ABC=50 ,∠ACB=24 ,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,其角平分线相交于D,则∠BDC=( ) A.141 B.142 C.143 D.145 7.(3分)如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,不能判定 ABC≌ ADC的是( ) A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90 8.(3分)等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为7cm,则它的周长为( ) A.13cm B.17cm C.22cm D.13cm或17cm 9.(3分)小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,小丽两脚在地面上用力一蹬,妈妈在B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若点B距离地面的高度为1.3m,点B到OA的距离BD为1.7m,点C距离地面的高度是1.5m,∠BOC=90 ,则点C到OA的距离CE为( ) A.1.6m B.1.7m C.1.8m D.1.9m 10.(3分)如图,在 ABC中,BC=12,AM⊥BC于点M,交GE于点N,AM=3,四边形ABFG和ACDE都是正方形(正方形的四边相等,四个内角都是直角),下列四个说法:(1)∠BAE=∠GAC;(2)若连接BE,CG,则BE=CG且BE⊥CG;(3) AEG的面积为18,且被直线MN平分;(4)若连接DF,则四边形BCDF的面积为90.其中正确的说法个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分) 11.(3分)一个多边形的每一个外角都等于36 ,则这个多边形的边数为 . 12.(3分)已知 ABC的三边长分别是a、b、c,化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|= . 13.(3分)如图,在 ABC中,AC的垂直平分线分别交BC,AC于D,E,若AE=3cm, ABD的周长为13cm,则 ABC的周长等于 cm. 14.(3分)如图,在 ABC中,AC=BC,∠B=38 ,点D是边AB上一点,点B关于直线CD的对称点为B′,当B′D∥AC时,则∠BCD的度数为 . 15.(3分)如图,AE垂直于∠ABC的平分线交于点D,交BC于点E,,若 ABC的面积为2,则 CDE的面积为 . 16.(3分)如图,Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=8,BC=6,D为AB上的一动点,把 BCD沿CD翻折得到 PCD,连AP,当AP取最小值时, ACD的面积是 . 三、解答题(本大题共9小题,满分72分) 17.(4分)如图,D是BC上一点,AB=AD,BC=DE,AC=AE.求证:∠CAE=∠BAD. 18.(4分)作图题:如图,点M和点N在∠AOB内部,请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等.(保留作图痕迹,不写作法) 19.(6分)如图,BP是 ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,如果∠ABP=20 ,∠ACP=50 ,求∠A+∠P的度数. 20.(6分)如图, ABC在平面直角坐标系中,顶点A(2,0). (1)画出 ABC关于x轴对称的图形 A′B′C′,其中A、B、C分别和A′、B′、C′对应,并写出B′点的坐标; (2)若y轴上有一点P,且满足S APC=S ABC,直接写出点P坐标. 21.(8分)如图, ABC中,∠ACB=90 ,DC=AE,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为点F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D. (1)求证:AC=CB; (2)若AC=12cm,求BD的长. 22.(10分)如图,在等腰三角形 ABC中,AB=AC,D为BC延长线上一点,EC⊥AC且AC=CE,垂足为C,连接BE,若BC=6,求 BCE的面积. 23.(10分)如图,在长方形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B出发,以2cm/秒的速度沿BC向点C运动,当点P与点C重合时,停止运动.设点P的运动时间为t秒: (1)BP= cm.(用t的代数式表示) (2)如图1,当t为何值时, ABP≌ DCP. (3)如图2,当点P从点B开始运动,同时点Q从点C向点D运动(当点Q与点D重合时停止运动).以v cm/秒的速度沿CD向点D运动.当v为何值,使得 ABP与 PQC全等?若存在,求出v的值;若不存在,请说明理由. 24.(12分)在平面直角坐标系中,已知A(0,a)(其中a≠0),B(b,0)且(a+b)2=0. (1)三角形AOB的形状是 ; (2)如图1.若A(0,4),C为OB中点,连接AC,过点A向右作AD⊥AC,且AD=AC,连CD.过点M(1,0)作直线MP垂直于x轴,交CD于点N,求证:CN=ND. (3)如图2,E在AB的延长线上,连接EO,以EO为斜边向上构等腰直角三角形EFO,连接AF,若AB=8,EB=6,求 AEF的面积. 25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(a,0)在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,OA=OB,∠OAB=∠OBA=45 ,P(0,t)是y轴负半轴上一动点,E是x轴负半轴上一动点,且OE=OP,CP⊥AP,BC⊥AB. (1)求证:PC=PA; (2)若a=4,试用含t的式子表示点C的坐标; (3)如图2,作BD⊥y轴交AC的延长线于D,求证:PD﹣BD=a+t. 2024-2025学年广东省广州市黄埔广附教育集团八年级(上)期中 数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分) 1.(3分)下列图形中,不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可. 【解答】解:选项A、C、D均能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形, 选项B不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形, 故选:B. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合. 2.(3分)下面各组线段中,能组成三角形的是( ) A.5,11,6 B.8,8,16 C.10,5,4 D.6,9,14 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解. 【解答】解:A、∵5+6=11,∴不能组成三角形,故A选项错误; B、∵8+8=16,∴不能组成三角形,故B选项错误; C、∵5+4<10,∴不能组成三角形,故C选项错误; D、∵6+9>14,∴能组成三角形,故D选项正确. 故选:D. 【点评】本题考查了三角形的三边关系,是基础题,熟记三边关系是解题的关键. 3.(3分)在平面直角坐标系中,点A(﹣2,m﹣1)与点B(n+2,3)关于x轴对称,则m+n的值是( ) A.﹣6 B.4 C.5 D.﹣5 【分析】根据关于x轴对称点的坐标性质“横坐标相等,纵坐标互为相反数”,求解即可. 【解答】解:由题意可得:﹣2=n+2,m﹣1=﹣3, 解得n=﹣4,m=﹣2, ∴m+n=﹣6. 故选:A. 【点评】此题考查了坐标与图形,轴对称的性质,解题的关键是掌握关于x轴对称点的坐标性质. 4.(3分)从五边形的一个顶点出发,可以作( )条对角线. A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【分析】根据多边形的对角线的方法,不相邻的两个定点之间的连线就是对角线,在n边形中与一个定点不相邻的顶点有(n﹣3)个. 【解答】解:五边形(n>3)从一个顶点出发可以作5﹣3=2条对角线. 故选:B. 【点评】本题主要考查了多边形的对角线的定义,掌握在n边形中与一个定点不相邻的顶点有(n﹣3)个是解题的关键. 5.(3分)如图,三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域,如果在这个区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,那么这个集贸市场应建的位置是( ) A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.不确定 【分析】根据“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”解答即可, 【解答】解:根据题意,在这个区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等, 根据“角平分线的性质:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”可得集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处, 所以只有C正确,符合题意, 故选:C. 【点评】本题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质是解决此题的关键. 6.(3分)如图,在三角形ABC中,∠ABC=50 ,∠ACB=24 ,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,其角平分线相交于D,则∠BDC=( ) A.141 B.142 C.143 D.145 【分析】先根据角平分线的定义得到∠DBC=25 ,∠DCB=12 ,然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数. 【解答】解:∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC=∠ABC= 50 =25 , ∵CD平分∠ACB, ∴∠DCB=∠ACB= 24 =12 , ∴∠BDC=180 ﹣∠DBC﹣∠DCB =180 ﹣25 ﹣12 =143 . 故选:C. 【点评】本题考查了三角形内角和定理.角平分线的定义等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 7.(3分)如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,不能判定 ABC≌ ADC的是( ) A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可. 【解答】解:已知AB=AD,且AC=AC, 当添加CB=CD,根据SSS能判断 ABC≌ ADC,选项A不符合题意; 当添加∠BAC=∠DAC,根据SAS能判断 ABC≌ ADC,选项B不符合题意; 当添加∠B=∠D=90 ,根据HL能判断 ABC≌ ADC,选项D不符合题意; 如果添加∠BCA=∠DCA,不能根据SSA判断 ABC≌ ADC,选项C符合题意; 故选:C. 【点评】此题考查了全等三角形的判定定理,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 8.(3分)等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为7cm,则它的周长为( ) A.13cm B.17cm C.22cm D.13cm或17cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形. 【解答】解:分两种情况: 当腰为3cm时,3+3=6<7,所以不能构成三角形; 当腰为7cm时,3+7>7,所以能构成三角形,周长是:3+7+7=17(cm). 故选:B. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系,熟知以上知识是解题的关键. 9.(3分)小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,小丽两脚在地面上用力一蹬,妈妈在B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若点B距离地面的高度为1.3m,点B到OA的距离BD为1.7m,点C距离地面的高度是1.5m,∠BOC=90 ,则点C到OA的距离CE为( ) A.1.6m B.1.7m C.1.8m D.1.9m 【分析】由AAS证明 OBD≌ COE得出OE=BD,CE=OD即可推出结果. 【解答】解:∵点B距离地面的高度为1.3m,点C距离地面的高度是1.5m, ∴点D距离地面的高度为1.3m,点E距离地面的高度是1.5m, ∴DE=1.5﹣1.3=0.2(m), ∵∠BDO=∠BOC=90 , ∴∠OBD+∠BOE=∠BOE+COD=90 , ∴∠OBD=∠COD, 在 OBD和 COE中, , ∴ OBD≌ COE(AAS), ∴OE=BD=1.7m,CE=OD, ∴CE=OD=OE+DE=1.7+0.2=1.9(m), ∴点C到OA的距离CE为1.9m, 故选:D. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用,证明 OBD≌ COE是解题的关键. 10.(3分)如图,在 ABC中,BC=12,AM⊥BC于点M,交GE于点N,AM=3,四边形ABFG和ACDE都是正方形(正方形的四边相等,四个内角都是直角),下列四个说法:(1)∠BAE=∠GAC;(2)若连接BE,CG,则BE=CG且BE⊥CG;(3) AEG的面积为18,且被直线MN平分;(4)若连接DF,则四边形BCDF的面积为90.其中正确的说法个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】由正方形的性质推出∠BAG+∠GAE=∠CAE+∠GAE,可判断(1);用“SAS”证 BAE≌ GAC,得BE=GC,∠ABE=∠AGC,设BE、GC相交于点O,则根据“8”字模型证∠GOL=∠BAG=90 即可判断(2);过点G作GH⊥AE,交AE于点H,过点B作BK⊥CA,交CA的延长线于点K,用“AAS”证 GAH≌ BAK,得GH=BK,可推得 AEG的面积等于 ABC的面积,作GP⊥MN于点P,EQ⊥MN于点Q,用“AAS“分别证 BAM≌ AGP、 GNP≌ ENQ,推出GN=EN即可判断(3);作FR⊥BC于点R,作DT⊥BC于点T,用“AAS”证 AMC≌ CDT得AM=CT=3,MC=DT=x,则BM=12﹣x,同理可证 FRB≌ BMA,则FR=BM=12﹣x,RB=AM=3,据此求出梯形DTRF的面积,再用含x的式子表示, DCT和 FBR的面积,代入S四边形BCDF=S梯形DTRF﹣S DCT﹣S FBR,计算即可判断(4). 【解答】解:(1)∵四边形ABFG和ACDE都是正方形, ∴∠BAG=∠CAE=90 , ∴∠BAG+∠GAE=∠CAE+∠GAE, ∴∠BAE=∠GAC,故(1)正确; (2)在 BAE和 GAC中, , ∴ BAE≌ GAC(SAS), ∴BE=GC,∠ABE=∠AGC, 设BE、GC相交于点O,如图, 在 ABL和 OGL中,∠ALB=∠OLG,∠BAG=90 , ∴∠GOL=∠BAG=90 , ∴BE⊥CG,故(2)正确; (3)如图,过点G作GH⊥AE,交AE于点H,过点B作BK⊥CA,交CA的延长线于点K, ∵∠BAG=∠CAE=90, ∴∠GAE+∠BAC=180, ∵∠BAK+∠BAC=180, ∴∠GAE=∠BAK, 又∵∠GHA=∠BKA=90,AG=AB, ∴ GAH≌ BAK(AAS), ∴GH=BK, ∴, ∴, 作GP⊥MN于点P,EQ⊥MN于点Q, ∵在 BAM和 AGP中,∠BMA=∠GPA=90 ,∠BAM=∠AGP(同角的余角相等),BA=GA, ∴ BAM≌ AGP(AAS), ∴GP=AM,同理EQ=AM, ∴GP=EQ, ∵在 GNP和 ENQ中,∠GPN=∠EQN,∠GNP=∠ENQ,GP=EQ, ∴ GNP≌ ENQ(AAS), ∴GN=EN,即N为GE的中点, ∴MN平分 AGE的面积,故(3)正确; (4)如图,作FR⊥BC于点R,作DT⊥BC于点T,则S四边形BCDF=S梯形DTRF﹣S DCT﹣S FBR, ∵在 AMC和 CDT中,∠AMC=∠DTC=90 ,∠ACM=∠CDT,AC=DC, ∴ AMC≌ CDT(AAS), ∴AM=CT=3, 设MC=DT=x,则BM=12﹣x, 同理∴ FRB≌ BMA(AAS), ∴FR=BM=12﹣x,RB=AM=3, ∴, S DCT=,S FBR=, ∴S四边形BCDF=108﹣=90,故(4)正确. 综上,正确的结论有(1)(2)(3)(4), 故选:D. 【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的面积公式,熟练掌握正方形的性质,添加适当的辅助线,灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键,难度大. 二.填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分) 11.(3分)一个多边形的每一个外角都等于36 ,则这个多边形的边数为 10 . 【分析】根据任意多边形的外交和等于360 ,多边形的每一个外角都等于36 ,多边形边数=360 外角度数,代入数值计算即可. 【解答】解:∵多边形的每一个外角都等于36 , ∴这个多边形的边数=360 36=10. 故答案为:10. 【点评】本题考查了多边形的外角和和多边形的边数,解答的关键是掌握多边形的外角和等于360 . 12.(3分)已知 ABC的三边长分别是a、b、c,化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|= 2b﹣2c . 【分析】三角形三边满足的条件是,两边和大于第三边,两边的差小于第三边,根据此来确定绝对值内的式子的正负,从而化简计算即可. 【解答】解:∵ ABC的三边长分别是a、b、c, ∴必须满足两边之和大于第三边,则a+b﹣c>0,b﹣a﹣c=b﹣(a+c)<0, ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|=a+b﹣c+b﹣a﹣c=2b﹣2c. 【点评】此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负. 13.(3分)如图,在 ABC中,AC的垂直平分线分别交BC,AC于D,E,若AE=3cm, ABD的周长为13cm,则 ABC的周长等于 19 cm. 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC,根据三角形的周长公式计算,得到答案. 【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线,AE=3cm, ∴DA=DC,AC=2AE=6(cm), ∵ ABD的周长为13cm, ∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13(cm), ∴ ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19(cm), 故答案为:19. 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键. 14.(3分)如图,在 ABC中,AC=BC,∠B=38 ,点D是边AB上一点,点B关于直线CD的对称点为B′,当B′D∥AC时,则∠BCD的度数为 33 . 【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=38 ,再利用平行线的性质得∠ADB′=∠A=38 ,接着根据轴对称的性质得到∠CDB′=∠CDB,则可出∠CDB的度数,然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数. 【解答】解:∵AC=BC, ∴∠A=∠B=38 , ∵B′D∥AC, ∴∠ADB′=∠A=38 , ∵点B关于直线CD的对称点为B′, ∴∠CDB′=∠CDB=(38 +180 )=109 , ∴∠BCD=180 ﹣∠B﹣∠CDB=180 ﹣38 ﹣109 =33 . 故答案为33 . 【点评】本题考查了轴对称的性质:轴对称的两个图形全等.也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质. 15.(3分)如图,AE垂直于∠ABC的平分线交于点D,交BC于点E,,若 ABC的面积为2,则 CDE的面积为 . 【分析】先证明 ADB≌ EDB,从而可得到AD=DE,然后先求得 AEC的面积,接下来,可得到 CDE的面积. 【解答】解:∵BD平分∠ABC, ∴根据角平分线的性质,∠ABD=∠EBD, ∵AE⊥BD, ∴∠ADB=∠EDB, 在 ADB和 EDB中,, ∴ ADB≌ EDB(ASA), ∴AD=ED, ∵, ABC的面积为2, ∴, 又∵AD=ED, ∴. CDE的面积为. 故答案为:. 【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定,角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键. 16.(3分)如图,Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=8,BC=6,D为AB上的一动点,把 BCD沿CD翻折得到 PCD,连AP,当AP取最小值时, ACD的面积是 . 【分析】如图,由AP≥AC﹣CP,当A、P、C三点共线时取等号,此时AP最小,过D作DG⊥AC于G,作DF⊥BC于F,AC=8,BC=6,由对折可得:∠ACD=∠BCD,PC=BC=6,可得DG=DF,再利用等面积法求解即可. 【解答】解:∵AP≥AC﹣CP,当A,P,C三点共线时取等号,此时AP最小,如图,过D作DG⊥AC于G,作DF⊥BC于F, 在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=8,BC=6, 由折叠的性质得:∠ACD=∠BCD,PC=BC=6, ∴DG=DF, ∵∠ACB=90 , ∴, ∴, ∴, ∴, 故答案为:. 【点评】本题考查翻折变换(折叠问题),三角形的面积,熟练的利用等面积法求解三角形的高是解答本题的关键. 三、解答题(本大题共9小题,满分72分) 17.(4分)如图,D是BC上一点,AB=AD,BC=DE,AC=AE.求证:∠CAE=∠BAD. 【分析】根据SSS,即可证得 ABC≌ ADE,利用等式的性质证明即可. 【解答】证明:在 ABC与 ADE中, , ∴ ABC≌ ADE(SSS), ∴∠BAC=∠DAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE, ∴∠CAE=∠BAD. 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质,解答本题的关键是根据SSS证明 ABC≌ ADE. 18.(4分)作图题:如图,点M和点N在∠AOB内部,请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等.(保留作图痕迹,不写作法) 【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可. 【解答】解:如图,点P即为所求. 【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质,掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键. 19.(6分)如图,BP是 ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,如果∠ABP=20 ,∠ACP=50 ,求∠A+∠P的度数. 【分析】由角平分线定义得到∠ABC=2∠ABP=40 ,∠ACM=2∠ACP=100 ,由三角形外角的性质得到∠A=∠ACM﹣∠ABC=60 ,由三角形内角和定理求出∠AOB=100 ,由对顶角的性质得到∠POC=∠AOB=100 ,由三角形内角和定理得到∠P=30 ,于是∠A+∠P=90 . 【解答】解:BP是∠ABC的平分线, ∴∠ABC=2∠ABP=2 20 =40 , ∵CP是∠ACM的平分线, ∴∠ACM=2∠ACP=2 50 =100 , ∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60 , ∴∠AOB=180 ﹣60 ﹣20 =100 , ∴∠POC=∠AOB=100 , ∴∠P=180 ﹣50 ﹣100 =30 , ∴∠A+∠P=90 . 【点评】本题考查三角形外角的性质,三角形内角和定理,角平分线定义,关键是由三角形外角的性质求出∠A的度数,由三角形内角和定理求出∠P的度数. 20.(6分)如图, ABC在平面直角坐标系中,顶点A(2,0). (1)画出 ABC关于x轴对称的图形 A′B′C′,其中A、B、C分别和A′、B′、C′对应,并写出B′点的坐标; (2)若y轴上有一点P,且满足S APC=S ABC,直接写出点P坐标. 【分析】(1)根据关于x轴对称的点的坐标特点画出 A′B′C′,根据各点在坐标系的位置写出B′三点坐标即可; (2)先用割补法求出S ABC,进而利用求出PC长,即可求出结论. 【解答】解:(1)如图: A′B′C′即为所求,B′(3,﹣3); (2)∵, ∵S APC=S ABC, ∴, ∵A(2,0),即OA=2, ∴, ∴PC=, ∵C(0,1), ∴P(0,)或(0,﹣), 故答案为:(0,)或(0,﹣), 【点评】本题属于三角形综合题,主要考查了轴对称作图及坐标系中求面积,熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解题关键. 21.(8分)如图, ABC中,∠ACB=90 ,DC=AE,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为点F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D. (1)求证:AC=CB; (2)若AC=12cm,求BD的长. 【分析】(1)由“AAS”可证 DBC≌ ECA,可得AC=BC; (2)由全等三角形的性质和中线的性质可求解. 【解答】证明:(1)∵DB⊥BC,AE⊥CD, ∴∠DBC=∠ACE=∠AFC=90 , ∵∠DCB+∠ACF=90 ,∠ACF+∠EAC=90 , ∴∠DCB=∠EAC,且DC=AE,∠DBC=∠ACE=90 ∴ DBC≌ ECA(AAS) ∴AC=BC (2)∵AE是BC边上的中线, ∴CE=BE=BC=AC=6cm, ∵ DBC≌ ECA ∴DB=CE=6cm 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,熟练运用全等三角形的判定是本题的关键. 22.(10分)如图,在等腰三角形 ABC中,AB=AC,D为BC延长线上一点,EC⊥AC且AC=CE,垂足为C,连接BE,若BC=6,求 BCE的面积. 【分析】过A作AH⊥BC于H,过E作EF⊥BC于F,利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可. 【解答】解:过A作AH⊥BC于H,过E作EF⊥BC于F, ∵AB=AC,BC=6, ∴BH=HC=3, ∵∠ACE=90 , ∴∠ACH+∠ECF=90 , ∵∠CAH+∠ACH=90 , ∴∠ECF=∠CAH, 在 ACH与 CEF中, , ∴ ACH≌ CEF(AAS), ∴EF=CH=3, ∴ BCE的面积===9. 【点评】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形. 23.(10分)如图,在长方形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B出发,以2cm/秒的速度沿BC向点C运动,当点P与点C重合时,停止运动.设点P的运动时间为t秒: (1)BP= 2t cm.(用t的代数式表示) (2)如图1,当t为何值时, ABP≌ DCP. (3)如图2,当点P从点B开始运动,同时点Q从点C向点D运动(当点Q与点D重合时停止运动).以v cm/秒的速度沿CD向点D运动.当v为何值,使得 ABP与 PQC全等?若存在,求出v的值;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)根据路程=速度 时间,点P的速度,表示出BP即可; (2)根据全等三角形对应边相等的性质得BP=PC,即2t=10﹣2t,求解即可; (3)分两种情况讨论,当BP=CQ,∠ABP=∠PCQ=90 ,AB=PC时或当BA=CQ,∠ABP=∠QCP=90 ,PB=PC时, ABP与 PQC全等,再根据全等三角形对应边相等的性质,分别计算求出t的值,再计算v的值即可. 【解答】解:(1)∵点P从点B出发,以2cm/秒的速度沿BC向点C运动,点P的运动时间为t秒, ∴BP=2tcm, 故答案为:2t; (2)∵四边形ABCD是长方形, ∴∠ABP=∠DCP=90 ,AB=DC, ∴若 ABP≌ DCP,则BP=PC, ∴2t=10﹣2t, ∴4t=10, ∴t=2.5, ∴当t=2.5时, ABP≌ DCP; (3)情况一:当BP=CQ,∠ABP=∠PCQ=90 ,AB=PC时, ABP≌ PCQ(SAS), ∵AB=6, ∴PC=6, ∴BP=10﹣6=4, ∴2t=4, ∴t=2, ∵CQ=BP=4, ∴2v=4, ∴v=2; 情况二:当BA=CQ,∠ABP=∠QCP=90 ,PB=PC时, ABP≌ QCP(SAS), ∵PB=PC, ∴, ∴2t=5, ∴t=2.5, ∵CQ=BP=6, ∴2.5v=6, ∴v=2.4, 综上所述,当v=2或2.4时, ABP与 PQC全等. 【点评】本题考查了用一元一次方程解几何问题、全等三角形的判定与性质,掌握相关知识分类讨论、列式求解是解题的关键. 24.(12分)在平面直角坐标系中,已知A(0,a)(其中a≠0),B(b,0)且(a+b)2=0. (1)三角形AOB的形状是 等腰直角三角形 ; (2)如图1.若A(0,4),C为OB中点,连接AC,过点A向右作AD⊥AC,且AD=AC,连CD.过点M(1,0)作直线MP垂直于x轴,交CD于点N,求证:CN=ND. (3)如图2,E在AB的延长线上,连接EO,以EO为斜边向上构等腰直角三角形EFO,连接AF,若AB=8,EB=6,求 AEF的面积. 【分析】(1)证明OA=OB,可得结论; (2)过点D作DH⊥y轴,垂足为H,HD交MP于点S.则∠AHD=90 .证明 CAO≌ ADH(AAS),推出HD=AO=4,再证明 NSD≌ NMC(AAS),可得结论; (3)如图2中,过点O作OT⊥EO交EF的延长线于点T,连AT.证明 BOE≌ AOT(SAS),推出∠EBO=∠TAO,EB=AT=6,可得结论. 【解答】(1)解:∵(a+b)2=0, ∴a=﹣b, ∵A(a,0),B(0,b), ∴OA=OB, ∴ AOB是等腰直角三角形. 故答案为:等腰直角三角形. (2)证明:过点D作DH⊥y轴,垂足为H,HD交MP于点S.则∠AHD=90 . ∵A(0,4), ∴AO=BO=4. ∵C为OB中点, ∴CO=2. ∵AD⊥AC, ∴∠CAD=90 , ∴∠CAO+∠DAH=90 , 又∵∠CAO+∠ACO=90 , ∴∠ACO=∠DAH, 在 CAO和 ADH中, , ∴ CAO≌ ADH(AAS), ∴HD=AO=4, ∵M(1,0),MP垂直于x轴,DH⊥y轴, ∴MO=HS=1,∠NMC=∠NSD=90 , ∴DS=HD﹣HS=4﹣1=3,CM=CO+OM=2+1=3. ∴DS=CM, 在 NSD和 NMC中 , ∴ NSD≌ NMC(AAS), ∴CN=ND; (3)如图2中,过点O作OT⊥EO交EF的延长线于点T,连AT. ∵ EFO为等腰直角三角形, ∴∠FEO=45 ,∠EFO=90 , ∵OT⊥EO, ∴∠EOT=90 ∴∠FTO=45 , ∴ ETO为等腰直角三角形, ∴EO=OT, ∵∠BOE+∠BOT=90 ,∠AOT+∠BOT=90 , ∴∠BOE=∠AOT. 在 BOE和 AOT中, , ∴ BOE≌ AOT(SAS), ∴∠EBO=∠TAO,EB=AT=6, ∵∠ABO=45 , ∴∠EBO=180 ﹣∠ABO=135 , ∴∠TAO=135 , ∴∠TAE=∠TAO﹣∠BAO=135 ﹣45 =90 , ∵AB=8,EB=6, ∴AE=8+6=14, ∴S ATE=•AT•AE= 6 14=42, ∵ ETO为等腰直角三角形,OF⊥EF, ∴EF=FT=ET, ∴S AFE=S ATE=21. 【点评】本题属于三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型. 25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(a,0)在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,OA=OB,∠OAB=∠OBA=45 ,P(0,t)是y轴负半轴上一动点,E是x轴负半轴上一动点,且OE=OP,CP⊥AP,BC⊥AB. (1)求证:PC=PA; (2)若a=4,试用含t的式子表示点C的坐标; (3)如图2,作BD⊥y轴交AC的延长线于D,求证:PD﹣BD=a+t. 【分析】(1)过点C作CH⊥OB于H,通过证明 AEP≌ PBC,可得PC=PA; (2)由AAS可证 APO≌ PCH,可得OP=CH=﹣t,AO=PH=4,即可求解; (3)过点A作AG⊥AP交DB的延长线于点G,作AF⊥AO交DB的延长线于点F,由ASA可证 AOB≌ AFB,可得AO=AF=BO=BF,由ASA可证 AEF≌ APO,可得AP=AE,EF=OP,由SAS可证 APD≌ AED,可得PD=DE,由线段的和差关系即可求证. 【解答】(1)证明:过点C作CH⊥OB于H, ∵CP⊥AP,BC⊥AB, ∴∠APC=∠ABC=90 , ∴∠OAB=∠OBA=45 , ∵OE=OP,∠EOP=90 , ∴∠EPO=∠OEP=45 , ∴∠CBH=∠OEP, ∵∠CPB+∠BPA=90 ,∠BPA+∠PAO=90 , ∴∠CPB=∠PAO, ∵OA=OB, ∴OA+OE=OB+OP, ∴AE=BP, ∴ AEP≌ PBC(ASA), ∴PC=PA; (2)解:∵a=4, ∴点A(4,0), ∴AO=4, ∵∠PAO=∠CPH,∠CHP=∠POA=90 ,PC=PA, ∴ APO≌ PCH(AAS), ∴OP=CH=﹣t,AO=PH=4, ∴OH=4+t, ∴点C的坐标为(t,4+t); (3)证明:如图2,过点A作AG⊥AP交DB的延长线于点G,作AF⊥AO交DB的延长线于点F, ∵BD⊥y轴,∠AOB=90 ,AF⊥AO, ∴∠F=∠AOB=90 =∠OAF, ∵∠OAB=∠OBA=45 , ∴∠FBA=45 =∠FAB, ∴AF=BF, ∵∠OAB=∠OBA=45 =∠FBA=∠FAB,AB=AB, ∴ AOB≌ AFB(ASA), ∴AO=AF=BO=BF, ∵∠EAP=∠FAO=90 , ∴∠PAO=∠EAF, 又∵∠AOP=∠F=90 ,AO=AF, ∴ AEF≌ APO(ASA), ∴AP=AE,EF=OP, ∵PC=PA,∠APC=90 , ∴∠PAC=45 , ∴∠PAC=∠CAE=45 , 又∵AD=AD,AE=AP, ∴ APD≌ AED(SAS), ∴PD=DE, ∴PD﹣BD=DE﹣BD=BE=BF﹣EF=BO﹣OP, ∴PD﹣BD=a﹣(﹣t)=a+t. 【点评】本题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质,坐标与图形等等,恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$