专题02 直线与圆的位置关系（基础+中等类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题02 直线与圆的位置关系思维导图 【类型覆盖】 类型一、直线与圆的位置关系 【解惑】已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【融会贯通】 1．已知的直径是，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．已知，的半径分别为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 3．已知，的的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 类型二、已知位置关系求半径 【解惑】已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【融会贯通】 1．在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 2．在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ． 3．如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 类型三、切线的概念 【解惑】下列说法中，正确的是（   ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同圆中同弧所对的圆周角相等 C．长度相等的弧是等弧 D．三点确定一个圆 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（     ） A．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等 2．如图，是的直径，是的切线，与相交于点D．若，，则劣弧的长为 ．（结果保留） 3．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是 ． 类型四、判断或补充条件证切线 【解惑】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【融会贯通】 1．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 2．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 3．如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切. 类型五、切线的性质定理 【解惑】如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（   ） A．3 B． C． D．4 【融会贯通】 1．如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为 ． 3．如图，为的直径，为的切线，交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若的半径为5，求 的长． 类型六、切线长定理求解 【解惑】如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【融会贯通】 1．如图，、 切圆O 于A，B两点，切圆O 于E， 交，于C、D，若圆O的半径为r，的周长等于，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ． 3．如图，在中，，点D在以为直径的上，且为的切线，交于点E，求的值．    类型七、直角三角形的周长、面积、内切圆半径的关系 【解惑】在中，，，，则内切圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【融会贯通】 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 2．在，，，，为的内切圆，与三边的切点为、、，则的半径为 ． 3．在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是， ， ；若，，则半径长为 ； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．求证：是的切线． 类型八、切线的判定定理 【解惑】如图，已知为的直径，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【融会贯通】 1．如图，直线经过点，且，，交直线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 2．如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 3．综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点作，交的延长线于点，平分． (1)若为的直径，求证；与相切； (2)若为的直径，，求的度数； 【一览众山小】 1．直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 3．在下列语句中，错误的是（    ） A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．矩形的四个顶点在同一个圆上 D．三角形的内心是其内角平分线的交点 4．如图，在中，是边上的一点，以为直径的经过点，且是的切线．若半径，，则的长为 ． 5．如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    6．如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 7．如图，在中， (1)尺规作图：在图1中作，使得圆心O在边上，并与、都相切（不写作法，保留画图痕迹）； (2)若，，试求第（1）题中所作的半径，利用图2画出必要的草图． 8．如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与圆的位置关系思维导图 【类型覆盖】 类型一、直线与圆的位置关系 【解惑】已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为， ∴， ∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知的直径是，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据圆的半径和，圆心到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：∵的直径为，则半径为，圆心到直线的距离为， ∵，即：， ∴直线与的位置关系是相离． 故选：C． 2．已知，的半径分别为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 当，直线与圆相交，当，直线与圆相切，当，直线与圆相离，据此即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程0的两根是，， ∵，不符合题意，舍去， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与的位置关系是相切． 故答案为：相切． 3．已知，的的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 【答案】相切 【解析】略 类型二、已知位置关系求半径 【解惑】已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【详解】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 【融会贯通】 1．在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆与直线的位置关系，过C作于D，含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据圆与直线相离得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过C作于D， ∵， ∴， ∵与相离， ∴半径r满足， 故选：C． 2．在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据三角形的面积求出斜边上的高，可知当时，所作的圆与斜边相切，进而即可求解，掌握直线和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 过点作，则， 即， 解得， 当时，所作的圆与斜边相切， ∴当时，所作的圆与斜边有两个公共点， 故答案为：． 3．如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，含的直角三角形．熟练掌握圆与直线的位置关系，含的直角三角形是解题的关键． 如图，作于，则，当时，与射线相切，此时只有一个交点；当时，与射线只有一个交点；然后作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴当时，与射线相切，此时只有一个交点； 当时，与射线有两个交点； ∴当时，与射线只有一个交点； 综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 类型三、切线的概念 【解惑】下列说法中，正确的是（   ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同圆中同弧所对的圆周角相等 C．长度相等的弧是等弧 D．三点确定一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理，正确理解相关的概念和定理是解题的关键．根据等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理判断即可． 【详解】解：A、经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故本选项说法不正确，不符合题意； B、同圆中同弧所对的圆周角相等，本选项说法正确，符合题意； C、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故本选项说法不正确，不符合题意； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（     ） A．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定，由圆周角定理、垂径定理、切线的判定逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意； C、经过切点且垂直于过切点的半径的直线是圆的切线，故原说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，是的直径，是的切线，与相交于点D．若，，则劣弧的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据的切线性质可得，再根据直角三角形锐角互余可得，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式是解答本题的关键． 3．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是 ． 【答案】2或 【分析】分，和 确定点M的运动范围，结合抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论． 【详解】解：由题意得：O（0,0），A（3，4） ∵为直角三角形，则有： ①当时， ∴点M在与OA垂直的直线上运动 （不含点O）；如图， ②当时，， ∴点M在与OA垂直的直线上运动 （不含点A）； ③当时，， ∴点M在与OA为直径的圆上运动，圆心为点P， ∴点P为OA的中点， ∴ ∴半径r= ∵抛物线的对称轴与x轴垂直 由题意得，抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点， ∴抛物线的对称轴为的两条切线， 而点P到切线，的距离 ， 又 ∴直线的解析式为：；直线的解析式为：； ∴或4 ∴或-8 故答案为：2或-8 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有圆的切线的判定，直角三角形的判定，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论是解题的关键． 类型四、判断或补充条件证切线 【解惑】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 2．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断． 【详解】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 3．如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切. 【答案】4 【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长. 【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N， ∵MN=2cm，， ∴OM=4cm， 则当OM=4cm时，与OA相切. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 类型五、切线的性质定理 【解惑】如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用勾股定理求出，最后根据，据此计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，，， ， ∵， ∴， ， ，解得：． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵分别与圆O相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 2．如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】此题考查了切线的性质以及圆周角定理推论．熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，直径对的圆周角是直角，是解决问题的关键． 根据圆切线性质得到，得到，根据直径性质得到，得到． 【详解】解：∵与相切， ∴． 又∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． 故答案为：． 3．如图，为的直径，为的切线，交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若的半径为5，求 的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)5 【分析】此题主要考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识和垂径定理的应用等知识，利用，为圆心，得出为中点，再利用解直角三角形知识是解决问题的关键． （1）根据切线的性质得出，进而得出，再由，可得，即可证明； （2）由垂径定理可得，为中点，根据已知可利用勾股定理求出． 【详解】（1）证明：是的切线，为的直径 ， ， 又， ， ， ； （2）解：，为圆心， 为中点， 又， ， ， ． 类型六、切线长定理求解 【解惑】如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，切线的性质、切线长定理等知识，解决本题的关键是掌握切线的性质和切线长定理． 设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，证得四边形是正方形，则，根据是的切线，可得，，求出再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，    ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴ 由切线长定理可知，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，、 切圆O 于A，B两点，切圆O 于E， 交，于C、D，若圆O的半径为r，的周长等于，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系． 连接、、，延长交的延长线于点F．利用切线求得，，再得出，利用得出，在中，利用勾股定理求出，再求的值即可． 【详解】解：连接、、，延长交的延长线于点F． ∵、 切圆O 于A，B两点，切圆O 于E， ∴，，，， ∵的周长， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 2．如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长进行计算即可． 【详解】解：切相切于点， ， 切相切于点， ， 切相切于点， ， 的周长为18， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，，点D在以为直径的上，且为的切线，交于点E，求的值．    【答案】 【分析】连接与相交于点F，先证明是的切线，推出垂直平分，进而得到，证明，得到，证明，推出，得到再利用锐角三角函数的定义，求解即可． 【详解】解：连接与相交于点F，    ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵为半径， ∴是的切线， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，全等三角线和相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握相关知识点，正确的作出辅助线，是解题的关键． 类型七、直角三角形的周长、面积、内切圆半径的关系 【解惑】在中，，，，则内切圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选B． 【融会贯通】 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键． 连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，   ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， 四边形是正方形， ， ， ，． 故选：C． 2．在，，，，为的内切圆，与三边的切点为、、，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了切线长定理、切线的性质以及三角形的内切圆，正确得出四边形为正方形是解题关键．直接利用正方形的判定方法以及切线的性质得出四边形为正方形，进而得出正方形边长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ，，， ， 为的内切圆，、、为切点， ，，，，， 又，， 四边形为正方形， 设， ，； ，， ， 解得：， 故答案为：1． 3．在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是， ， ；若，，则半径长为 ； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．求证：是的切线． 【答案】(1)；；1 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，，由切线长定理可知，，，再推得四边形是正方形，设，根据，可得，计算即可； （2）过O作于H，连接，，，先证得，再证明四边形是矩形，即可得，即是的半径，即可证明． 【详解】（1）解：连接，，如图： 由切线长定理可知，，， ∵，是的内切圆， ∴，， ∴四边形是正方形， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，即半径长为1； 故答案为：；；1． （2）证明：过O作于H，连接，，，如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 同（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即是的半径， ∵， ∴是的切线． 【点睛】本题考查三角形内切圆，圆的切线判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握切线长定理和切线的判定定理． 类型八、切线的判定定理 【解惑】如图，已知为的直径，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，由为的直径得到，则，得到，由得到，由切线的判定定理即可得到结论； （2）证明，在中，，，得到，则，由勾股定理求出，得到，求出，在中，，，则，即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ，， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ， ． 【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和解直角三角形是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，直线经过点，且，，交直线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质． （1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案； （2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵在中，，， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ． 2．如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可证得，再根据切线的判定定理即可得证； （2）先证得是等边三角形，于是可得，，进而可求得，于是有，在中根据勾股定理可得，根据同旁内角互补两直线平行可证得，则四边形为直角梯形，根据即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， 又， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； （2）解：， 又， 是等边三角形， ，， 由（1）可知：， ， 于点， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 四边形为直角梯形， ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，切线的判定，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，勾股定理，同旁内角互补两直线平行，求扇形面积等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 3．综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点作，交的延长线于点，平分． (1)若为的直径，求证；与相切； (2)若为的直径，，求的度数； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，平行线的性质与判定等等： （1）连接，由得，根据平分，即得，而，即可得，故与相切； （2）先判断出，得出，进而求出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∵为的半径， ∴与相切． （2）解：∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 由（1）知， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【一览众山小】 1．直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线l和相交，进行判断即可． 【详解】解：∵直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ， ∴． 故选：C． 2．已知的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：“设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交，②直线l和相切，③直线l和相离．”是解题的关键． 【详解】解：， ， 直线与圆相交， 故选：B． 3．在下列语句中，错误的是（    ） A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．矩形的四个顶点在同一个圆上 D．三角形的内心是其内角平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，内心，圆内接四边形，熟练掌握该知识点是本题解题的关键．根据圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，内心，圆内接四边形将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案． 【详解】解：A．直径是弦，故原说法正确，不符合题意． B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，符合题意． C．矩形的四个顶点在同一个圆上，故原说法正确，不符合题意． D．三角形的内心是其内角平分线的交点，故原说法正确，不符合题意． 故答案选：B． 4．如图，在中，是边上的一点，以为直径的经过点，且是的切线．若半径，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质—“圆的切线垂直于经过切点的半径”，也考查了圆周角定理和勾股定理．掌握切线的性质和圆周角定理是解本题的关键． 连接，如图，先根据切线的性质得到，则可计算出，再判断为等边三角形得到，接着利用圆周角定理得到，然后根据勾股定理计算的长． 【详解】解：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为直径， ， ． 故答案为：． 5．如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    【答案】/40度 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，在中， (1)尺规作图：在图1中作，使得圆心O在边上，并与、都相切（不写作法，保留画图痕迹）； (2)若，，试求第（1）题中所作的半径，利用图2画出必要的草图． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了尺规作图和相似三角形的性质，理解切线的性质，正确作出圆心是关键． （1）的角平分线与的交点就是圆心，即可作出圆； （2）连接圆心和两个切点和，则四边形是正方形，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：连接圆心和两个切点和， 则四边形是正方形，， ∴． ， 设正方形的边长是，则， 解得：． 8．如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$