广西南宁市四校联考2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年广西南宁市四校联考九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑） 1．（3分）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（　　） A．﹣17℃ B．﹣9℃ C．0℃ D．3℃ 2．（3分）对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现，在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）2023年国庆期间，南宁方特共接待游客约54000人次，数字54000用科学记数法表示为（　　） A．540×102 B．5.4×104 C．54×103 D．0.54×105 4．（3分）如图，在⊙O中，∠ABC＝60°，则∠AOC等于（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 5．（3分）在英语单词maybe中任意选出一个字母，选出的字母为y的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 7．（3分）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用（3，2）表示教学楼，（4，0）表示旗杆，则实验楼的位置可表示成（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3） 8．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），均在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1＝y2 9．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（　　） A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2 10．（3分）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB＝8，OE＝3，则CE的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 11．（3分）商场某种商品平均每天可售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售该商品日盈利要达到2100元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价x元，依题意可列方程（　　） A．（50+x）（50﹣2x）＝2100 B．（50+x）（30+2x）＝2100 C．（50﹣x）（30﹣2x）＝2100 D．（50﹣x）（30+2x）＝2100 12．（3分）如图，点E是边长为4的正方形ABCD内部一点，∠EAD＝∠EBA，将DE按逆时针方向旋转90°得到DF，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 13．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　． 14．（2分）比较大小：　 　3．（填“＞”、“＜”或“＝”） 15．（2分）半径为6cm的圆中90°的圆心角所对的弧长为 　 　cm． 16．（2分）如图，点A，B是反比例函数图象上任意两点，过点A，B分别作x轴、y轴的垂线，S阴影＝2，S1+S2＝　 　． 17．（2分）如图，在△ABC中，BC＝BA＝4，∠C＝30°，以AB中点D为圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为 　 　． 18．（2分）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面1.6m，当球到OA的水平距离为1m时，达到最大高度为1.8m．那么投掷距离OB为 　 　m． 三、解答题（本大题共8小题，其中19，20题每题6分，其余每题10分，共72分） 19．（6分）（﹣1）2024×3+（﹣2）3÷4． 20．（6分）解方程：x2﹣8x+7＝0． 21．（10分）为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下： 七年级：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97 八年级：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93 请根据以上信息，解答下列问题： （1）七年级这10名学生成绩的中位数是 　 　；八年级这10名学生成绩的众数是 　 　； （2）若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次： （3）根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率． 22．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1并写出点B1的坐标； （2）△ABC关于原点对称的中心对称图形为△A2B2C2，作出△A2B2C2并写出点C2的坐标． 23．（10分）综合实践 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线APB和矩形OABC，其中点P为抛物线的顶点，大棚最高处离地面4m，宽OC＝8m，OA＝2m．现以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线APB的解析式． 任务二 已知，照明灯E、F到地面的距离均为3m，求灯E、F之间的水平距离． 24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若CD＝8，EB＝2，求⊙O的半径． 25．（10分）图中有一面墙（可利用的最大长度为100m），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为120m2的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长AB＝x（m），与墙垂直的一边栅栏长为y（m）． （1）求y关于x的函数表达式，并指出自变量的取值范围； （2）若栅栏总长度为122米，求AB的长； （3）若想使花圃AB是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 26．（10分）问题情境：已知正方形ABCD，E是对角线AC上任意一点． 发现：（1）如图1，若连接BE，DE，则线段BE与DE的数量关系为 　 　． 探究：（2）如图2，经过点B作BF⊥BE，BF与DE的延长线交于点F，DE与AB交于点G． ①判断△FBG的形状并说明理由； ②连接AF，若G是AB的中点，且AB＝4，，直接写出线段AF的长． 2024-2025学年广西南宁市四校联考九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑） 1．（3分）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（　　） A．﹣17℃ B．﹣9℃ C．0℃ D．3℃ 【分析】根据正数和负数的实际意义比较大小即可求得答案． 【解答】解：﹣17＜﹣9＜0＜3， 即平均气温最低的是﹣17℃， 故选：A． 【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其实际意义是解题的关键． 2．（3分）对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现，在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义，对选项逐个判断即可． 【解答】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形，是解题的关键． 3．（3分）2023年国庆期间，南宁方特共接待游客约54000人次，数字54000用科学记数法表示为（　　） A．540×102 B．5.4×104 C．54×103 D．0.54×105 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【解答】解：54000＝5.4×104． 故选：B． 【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 4．（3分）如图，在⊙O中，∠ABC＝60°，则∠AOC等于（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【分析】根据圆周角定理进行解答即可． 【解答】解：由题意可知：∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°， 故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 5．（3分）在英语单词maybe中任意选出一个字母，选出的字母为y的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据概率公式解答即可． 【解答】解：∵英语单词maybe中共5个字母，y只有一个， ∴任意选出一个字母，选出的字母为“y“的概率是． 故选：B． 【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝是解题的关键． 6．（3分）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 【分析】由于钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数＝2×30°． 【解答】解：钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数＝2×30°＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查了钟面角．解题的关键是掌握钟面角的知识：钟面被分成12大格，每大格为30度；分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度． 7．（3分）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用（3，2）表示教学楼，（4，0）表示旗杆，则实验楼的位置可表示成（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3） 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案． 【解答】解：如图所示：实验楼的位置可表示成（2，﹣3）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 8．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），均在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1＝y2 【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y1，y2的大小关系． 【解答】解：∵反比例函数y＝﹣， ∴该函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），均在反比例函数y＝﹣的图象上，且﹣2＜﹣1＜0， ∴y1＜y2， 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 9．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（　　） A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2 【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果． 【解答】解：∵h＝8cm，r＝6cm， 可设圆锥母线长为l， 由勾股定理，l＝＝10（cm）， 圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60π（cm2）， 所以圆锥的侧面积为60πcm2． 故选：C． 【点评】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可． 10．（3分）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB＝8，OE＝3，则CE的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA，最后根据线段的和差求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴AE＝AB， ∵AB＝8， ∴AE＝4， ∵OE＝3， ∴OA＝＝5， ∴OC＝OA＝5， ∴CE＝OC+OE＝8， 故选：A． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出AE的长是解此题的关键． 11．（3分）商场某种商品平均每天可售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售该商品日盈利要达到2100元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价x元，依题意可列方程（　　） A．（50+x）（50﹣2x）＝2100 B．（50+x）（30+2x）＝2100 C．（50﹣x）（30﹣2x）＝2100 D．（50﹣x）（30+2x）＝2100 【分析】设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（50﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，利用销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（50﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件， 依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（3分）如图，点E是边长为4的正方形ABCD内部一点，∠EAD＝∠EBA，将DE按逆时针方向旋转90°得到DF，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据∠EAD＝∠EBA得到∠AEB＝90°，则点E在以AB为直径的圆上，取AB中点G，当DE过点G时，DE有最小值，由旋转的性质得到，则此时EF也取最小值，即可解答． 【解答】解：在正方形ABCD中，∠EAD+∠EAB＝90°， ∵∠EAD＝∠EBA， ∴∠EBA+∠EAB＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴点E在以AB为直径的圆上， 取AB中点G，连接GE，当DE过点G时，DE有最小值， 又∵DE按逆时针方向旋转90°得到DF， ∴， ∴此时EF也取最小值， ∵AG，GE为⊙G的半径，即， ∴此时， ∴， 即EF的最小值为， 故选：B． 【点评】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 二、填空题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 13．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≠2　． 【分析】根据分式有意义的条件解答即可． 【解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴x﹣2≠0． ∴x≠2． 故答案为：x≠2． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 14．（2分）比较大小：　＞　3．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】将2和3化为二次根式，然后比较被开方数即可比较大小 【解答】解：∵2＝，3＝，而 ∴2， 故答案为“＞”． 【点评】题主要考查了比较两个实数的大小，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等． 15．（2分）半径为6cm的圆中90°的圆心角所对的弧长为 　3π　cm． 【分析】直接利用弧长公式求解即可． 【解答】解：将数据代入弧长公式得： （cm）， 故答案为：3π． 【点评】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键． 16．（2分）如图，点A，B是反比例函数图象上任意两点，过点A，B分别作x轴、y轴的垂线，S阴影＝2，S1+S2＝　4　． 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得S1+S阴影＝S2+S阴影＝4，进而便可求得结果． 【解答】解：∵点A，B是反比例函数图象上任意两点，过点A，B分别作x轴、y轴的垂线， ∴S1+S阴影＝S2+S阴影＝4， ∵S阴影＝2， ∴S1＝S2＝2， ∴S1+S2＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩形面积S＝|k|． 17．（2分）如图，在△ABC中，BC＝BA＝4，∠C＝30°，以AB中点D为圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为 　π﹣　． 【分析】如图，连接DE，作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质得到∠DEA＝∠BAC＝30°，AE＝2AH，由直角三角形的性质求出DH＝1，AH＝，得到AE＝2，求出△ADE的面积＝AE•DH＝，扇形DEA的面积＝＝π，即可得到阴影部分的面积＝扇形DEA的面积﹣△DEA的面积＝π﹣． 【解答】解：如图，连接DE，作DH⊥AE于H， ∵BC＝BA， ∴∠BAC＝∠C＝30°， ∵DA＝DE， ∴∠DEA＝∠BAC＝30°，AE＝2AH， ∴DH＝AD， ∵AD＝AB＝×4＝2， ∴DH＝1， ∴AH＝DH＝， ∴AE＝2， ∴△ADE的面积＝AE•DH＝， ∵∠ADE＝180°﹣∠BAC﹣∠DEA＝120°， ∴扇形DEA的面积＝＝π， ∴阴影部分的面积＝扇形DEA的面积﹣△DEA的面积＝π﹣． 故答案为：π﹣． 【点评】本题考查扇形的面积，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，关键是由等腰三角形的性质，直角三角形的性质求出AE的长． 18．（2分）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面1.6m，当球到OA的水平距离为1m时，达到最大高度为1.8m．那么投掷距离OB为 　4　m． 【分析】建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为（1，1.8），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+1.8，过点（0，1.6），利用待定系数法求出解析式，当y＝0时求出x的值即可得到OB． 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系， 由题意得：抛物线的顶点坐标为（1，1.8）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+1.8，过点（0，1.6）， ∴a+1.8＝1.6， 解得a＝﹣0.2， ∴y＝﹣0.2（x﹣1）2+1.8， 当y＝0时，﹣0.2（x﹣1）2+1.8＝0， 解得x1＝4，x＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴投掷距离OB为4m， 故答案为：4． 【点评】此题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． 三、解答题（本大题共8小题，其中19，20题每题6分，其余每题10分，共72分） 19．（6分）（﹣1）2024×3+（﹣2）3÷4． 【分析】先算乘方，再算乘除法，然后算加法即可． 【解答】解：（﹣1）2024×3+（﹣2）3÷4 ＝1×3+（﹣8）÷4 ＝3+（﹣2） ＝1． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20．（6分）解方程：x2﹣8x+7＝0． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解： 分解因式可得（x﹣1）（x﹣7）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣7＝0， ∴x＝1或x＝7． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，正确分解因式是解题的关键． 21．（10分）为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下： 七年级：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97 八年级：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93 请根据以上信息，解答下列问题： （1）七年级这10名学生成绩的中位数是 　89　；八年级这10名学生成绩的众数是 　94　； （2）若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次： （3）根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率． 【分析】（1）根据中位数，众数概念可得答案； （2）求出八年级10名同学有6人成绩为优秀，即可估计400名学生中有多少名学生能达到优秀等次； （3）列出树状图，再用概率公式可得答案． 【解答】解：（1）把80 96 82 92 89 84 73 90 89 97从小到大排列为73 80 82 84 89 89 90 92 96 97， ∵＝89， ∴七年级这10名学生成绩的中位数是89； 在94 82 95 94 85 89 92 79 98 93中，出现次数最多的是94， ∴八年级这10名学生成绩的众数是94； 故答案为：89，94； （2）由94 82 95 94 85 89 92 79 98 93知，八年级10名同学有6人成绩为优秀， ∵400×＝240（名）， ∴估计八年级400名学生中有240名学生能达到优秀等次； （3）把七年级两名学生记为A，B，八年级两名学生记为C，D，根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，恰好抽到一名七年级学生和一名八年级学生有8种， ∴恰好抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率是＝． 【点评】本题考查列表或树状图求概率，中位数，众数及用样本估计方差，解题的关键是读懂题意，列出树状图． 22．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1并写出点B1的坐标； （2）△ABC关于原点对称的中心对称图形为△A2B2C2，作出△A2B2C2并写出点C2的坐标． 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点B1的坐标为（2，3）． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 由图可得，点C2的坐标为（1，﹣1）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 23．（10分）综合实践 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线APB和矩形OABC，其中点P为抛物线的顶点，大棚最高处离地面4m，宽OC＝8m，OA＝2m．现以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线APB的解析式． 任务二 已知，照明灯E、F到地面的距离均为3m，求灯E、F之间的水平距离． 【分析】任务一：由题意得抛物线的顶点为（4，4），然后利用待定系数法求解即可； 任务二：当y＝3时，即，解方程求出x的值，求出E、F的横坐标即可． 【解答】解：任务一：大棚最高处离地面4m，宽OC＝8m，OA＝2m．以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴， ∴抛物线的顶点为（4，4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，2）代入得： ∴2＝16a+4， ∴， ∴抛物线的解析式为； 任务二：当y＝3时，即， 解得：， ∴E、F的横坐标分别为，， ∴， 答：两灯间的水平距离为． 【点评】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． 24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若CD＝8，EB＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OC，则∠OCA＝∠A，由AB是⊙O的直径，AB⊥CD，得∠ACB＝∠AEC＝90°，则∠BCD＝∠A＝90°﹣∠ACD，所以∠OCA＝∠BCD，而∠BCP＝∠BCD，则∠BCP＝∠OCA，可推导出∠OCP＝∠ACB＝90°，即可证明CP是⊙O的切线； （2）由垂径定理得CE＝DE＝CD＝4，因为∠CEB＝∠AEC＝90°，∠BCE＝∠A，所以△BCE∽△CAE，则＝，可求得AE＝＝8，则AB＝10，所以⊙O的半径长为5． 【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA， ∴∠OCA＝∠A， ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴∠ACB＝∠AEC＝90°， ∴∠BCD＝∠A＝90°﹣∠ACD， ∴∠OCA＝∠BCD， ∵∠BCP＝∠BCD， ∴∠BCP＝∠OCA， ∴∠OCP＝∠BCP+∠OCB＝∠OCA+∠OCB＝∠ACB＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CP⊥OC， ∴CP是⊙O的切线． （2）解：AB⊥CD，CD＝8，BE＝2， ∴CE＝DE＝CD＝4，∠CEB＝∠AEC＝90°， ∴∠BCE＝∠A＝90°﹣∠ACE， ∴△BCE∽△CAE， ∴＝， ∴AE＝＝＝8， ∴AB＝AE+BE＝8+2＝10， ∴OA＝AB＝5， ∴⊙O的半径长为5． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、同角的余角相等、切线的判定、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 25．（10分）图中有一面墙（可利用的最大长度为100m），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为120m2的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长AB＝x（m），与墙垂直的一边栅栏长为y（m）． （1）求y关于x的函数表达式，并指出自变量的取值范围； （2）若栅栏总长度为122米，求AB的长； （3）若想使花圃AB是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 【分析】（1）根据围成一个面积为120m2的长方形花圃，列出反比例函数关系式即可； （2）根据栅栏总长度为122米，围成一个面积为120m2的长方形花圃，列出二元二次方程组，解之取符合题意的值即可； （3）根据AB是与墙垂直的一边的7.5倍，围成一个面积为120m2的长方形花圃，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）∵花圃与墙平行的一边长AB＝x（m），与墙垂直的一边长为y（m），面积为120m2， ∴xy＝120， ∴y＝， ∵可利用的最大长度为100m， ∴0＜x≤100， ∴y关于x的函数表达式为y＝（0＜x≤100）； （2）∵栅栏总长度为122米， ∴x＝122﹣2y， ∵围成一个面积为120m2的长方形花圃， ∴xy＝120， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：AB的长为2m； （3）由题意可知，x＝7.5y， 由（1）可知，xy＝120， ∴7.5y2＝120， 解得：y1＝4，y2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴x＝7.5y＝30， ∴x+2y＝30+2×4＝38（米）， 答：花圃需要围栅栏38m米． 【点评】本题考查了二元二次方程组的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找出数量关系，正确列出反比例函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出二元二次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26．（10分）问题情境：已知正方形ABCD，E是对角线AC上任意一点． 发现：（1）如图1，若连接BE，DE，则线段BE与DE的数量关系为 　BE＝DE　． 探究：（2）如图2，经过点B作BF⊥BE，BF与DE的延长线交于点F，DE与AB交于点G． ①判断△FBG的形状并说明理由； ②连接AF，若G是AB的中点，且AB＝4，，直接写出线段AF的长． 【分析】（1）证明△ABE≌△ADE，即可得出结果； （2）①根据全等三角形的对应角相等，对顶角相等，以及等角的余角相等，得到∠FBG＝∠FGB，进而得到BF＝FG，即可得出结论； ②过点F作FH⊥BG，三角形的中线平分面积得到，得到S△AFB＝S△DAG，利用三角形的面积公式求出FH的长，利用勾股定理求出AF的长即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； 故答案为：BE＝DE； （2）①△FBG为等腰三角形；理由如下： 由（1）知：△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE， ∵BF⊥BE， ∴∠ABE+∠ABF＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AGD＝90°， ∴∠AGD＝∠ABF， ∵∠AGD＝∠FGB， ∴∠ABF＝∠FGB， ∴BF＝FG， ∴△FBG为等腰三角形； ②过点F作FH⊥BG， ∵BF＝FG， ∴， ∵AB＝AD＝4，点G为AB的中点， ∴AG＝BG＝2，，， ∴AH＝AG+GH＝3， ∵ ∴S△AFB＝S△DAG， ∴， ∴FH＝AG＝2， 在Rt△AFH中，由勾股定理得：． 【点评】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$