第4章 相似三角形 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第4章 相似三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第4章（相似三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若．则的值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2．下列四条线段中，成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段，根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； B、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； C、，这些线段是成比例线段，故该选项正确； D、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； 故选：C． 3．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的定义、特殊平行四边形的性质．根据“对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似”进行判断即可． 【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确； D、两个平行四边形对应的角不一定相等，故此选项错误， 故选：C． 4．下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 【详解】解：A. ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意； B.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C.，即，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 5．如图，直线，，则的长为（    ） A．6 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：∵原点O为位似中心，相似比为，把缩小，， ∴点B的对应点的坐标为或，即或． 故选：D． 7．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形性质，理解相似三角形的性质是解答关键． 设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解． 【详解】解：设像到小孔的距离为， 由题意可知与相似， ， ． 故选：C． 8．如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是8，则k的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的性质与判定，反比例函数与图形结合．解题的关键是将的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．设，则可表示；由矩形及点D在反比例函数图象上，；再由，可证明，由相似三角形的性质即可求得的值，从而求得k的值． 【详解】解：设，则； 在矩形中，，轴； ∵点D在反比例函数图象上， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； ∴； ∵的面积是8， ∴， 即， ∴， 即 ∴； 故选：C． 9．如图，在边长为4的正方形中，点在边上，且，连接，过点作，交于点．连接，并延长交的延长线于点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质．根据正方形的性质可得，，由，可知，，接下来证明，根据相似三角形的性质表示出，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，正方形的边长为4 ，， ， ， 故选：B． 10．如图，平行四边形的边长，，平分，E为的中点，F在边上，且，分别与、相交于点M，N，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点F作，交于点H，交于点O，根据平行四边形的性质和等边三角形的判定与性质可得，即，，证得，可得，求得，再根据平行四边形的判定与性质可得，，证得，得，求得，即，证明，可得，求得，即可求解． 【详解】解：过点F作，交于点H，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形面积的面积之比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积之比为， 故答案为：． 12．“浔阳江头夜送客，枫叶荻花秋瑟瑟”，枫叶自古以来都是深秋时节的象征，被赋予一种优伤、愁虑的意象．如图是一片枫叶，其叶尖到叶柄末端可近似看作线段，点B是的黄金分割点（）．经测量得知的长度为14厘米，则的长度为 厘米．（结果保留根号）    【答案】/ 【分析】本题考查黄金比例，熟记黄金比的值是解答的关键，根据较长线段为，由黄金比求解即可． 【详解】解：∵点B是的黄金分割点（），厘米， ∴厘米， 故答案为：． 13．如图，在中，点分别在边上，连结，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由题意可证四边形是平行四边形，可得，，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，点D、E分别在边上，与相交于点O，，如果，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式得到，根据，得到，根据相似三角形的对应边的比等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵， （等高，面积的比等于底边的比）， ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ， 故答案为：． 15．在中，，，．现有动点P从点A出发，沿线段向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动．如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为．当 秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】2或 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】解：由题意得，，则， ∵，， ∴当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得． 因此秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故答案为：2或． 16．如图，在正方形中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，过作交于，交于，先证明，，设，，则，，，再证明，得到，，解得，然后表示，在中利用勾股定理列方程求出，最后根据四边形是矩形，得到点到的距离为． 【详解】解：如图，过作交于，交于，则， ∵正方形中，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴，则， 设，，则，，， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴周长为， 周长为， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 在中， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴点到的距离为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，17-21 每题 8 分，22、23 每题 10 分，24 题 12 分 共72分． 17．已知实数x、y、z满足，试求的值． 【答案】4． 【分析】设，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ， ． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 18．如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 19．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧画出放大后的； (2)直接写出点，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，，． 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得到点，，的对应点，，，即可求解； （2）根据位似图形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由（1）得，，，． 20．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像在光屏上且像距为，蜡烛火焰成倒立的像的高度为，则：                  (1)点燃的蜡烛的火焰高度是多少？ (2)若将蜡烛沿着正对小孔的方向靠近小孔移动，光屏位置保持不变，则此时火焰星倒立的像的高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用； （1）设火焰高度是，根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解； （2）设火焰星倒立的像的高度为，根据题意列出比例式，即可求解． 【详解】（1）解：设火焰高度是，根据题意可得，， ∴ ∴，即 解得：， 答：点燃的蜡烛的火焰高度是； （2）解：设火焰星倒立的像的高度为， 同理可得 ∴，即 解得：． 答：火焰星倒立的像的高度为． 21．在中，点D、E分别在边、上，与交于点F. 若平分，． (1)求证： ； (2)若，交边的延长线于点G，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）先根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”可得，则可得，再根据“等角的补角相等”可得，进而可得； （2）先证，，然后根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，则可得，进而可得，再由可得，由此可得． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ， ， ， 又， ， 又， ． （2）证明：∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．在的正方形网格中，点均在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，过点作． (2)在图②中，以的一边为直角边，构造一个与面积相等的格点直角三角形． (3)在图③中，作，使的面积等于面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点、，连接即可； （2）取格点，连接，，则即为所求； （3）取格点F、M、N，连接交于点J，连接交于点K，连接并延长，交于点E，交于点D，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的直线； 连接，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． （2）解：如图，即为所求作的三角形； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，即为所求作的平行四边形； 根据格点特点可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， 设边上的高为，边上的高为，边上的高为， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了格点作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和逆定理． 23．◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用等边三角形的判定与性质证出，即可通过全等的性质解答； （2）连接，证出得到，证出得到，证出得到，通过边的比值关系转化求解即可； （3）连接，分类讨论和时两种情况，利用边的比值关系求出和的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴和中， ∴ ∴， ∴ 故答案为：；； （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接，分两种情况： ①当时，如图③所示： ∵四边形是正方形， ∴，对角线与互相垂直平分， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； ②当时，如图④所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 综上所述，线段的长度为：或． 24．综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．    （1）①如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”．（填“是”或“不是”） ②如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．那么四边形是“垂美四边形”吗？请说明理由． 拓展探究 （2）如图3，四边形是“垂美四边形”，则两组对边与之间有什么数量关系？请说明理由． 迁移应用 （3）如图4，在中，，，．分别是射线，上一个动点，同时从点出发，分别沿和方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接与交于点，当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出的值． 【答案】（1）①是；②四边形是“垂美四边形”，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）①证明是的垂直平分线，即可得到结论； ②设与分别相交于点M和点N，证明，进一步得到，即可得到结论； （2）设相交于点O，利用勾股定理即可证明结论； （3）过点P作于点D，证明，得到，设则，则，证明，则，解得，，，即可得到答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是“垂美四边形”． 故答案为：是． ②四边形是“垂美四边形”，理由如下： 设与分别相交于点M和点N，    ∵以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形是“垂美四边形”； （2）．理由如下： 如图3，设相交于点O，    已知四边形中，∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴； （3）∵，，． ∴， 过点P作于点D，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当四边形是四边形是“垂美四边形”时，则， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，，， 经检验，是原方程的解， 当时， ，此时点P在线段上， 当时， ，此时点P在线段的延长线上， 当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，的值为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 相似三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第4章（相似三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若．则的值为（    ） A．6 B． C． D． 2．下列四条线段中，成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 4．下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，直线，，则的长为（    ） A．6 B． C．4 D．8 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 7．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 8．如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是8，则k的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为4的正方形中，点在边上，且，连接，过点作，交于点．连接，并延长交的延长线于点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 10．如图，平行四边形的边长，，平分，E为的中点，F在边上，且，分别与、相交于点M，N，则的长为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为 ． 12．“浔阳江头夜送客，枫叶荻花秋瑟瑟”，枫叶自古以来都是深秋时节的象征，被赋予一种优伤、愁虑的意象．如图是一片枫叶，其叶尖到叶柄末端可近似看作线段，点B是的黄金分割点（）．经测量得知的长度为14厘米，则的长度为 厘米．（结果保留根号）    13． 如图，在中，点分别在边上，连结，则 ． 14．如图，在中，点D、E分别在边上，与相交于点O，，如果，那么的值等于 ． 15．在中，，，．现有动点P从点A出发，沿线段向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动．如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为．当 秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 16．如图，在正方形中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则点到的距离为 ． 三、解答题：本题共8小题，17-21 每题 8 分，22、23 每题 10 分，24 题 12 分 共72分． 17．已知实数x、y、z满足，试求的值． 18．如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 19．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧画出放大后的； (2)直接写出点，，的坐标． 20．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像在光屏上且像距为，蜡烛火焰成倒立的像的高度为，则：                  (1)点燃的蜡烛的火焰高度是多少？ (2)若将蜡烛沿着正对小孔的方向靠近小孔移动，光屏位置保持不变，则此时火焰星倒立的像的高度为多少？ 21．在中，点D、E分别在边、上，与交于点F. 若平分，． (1)求证： ； (2)若，交边的延长线于点G，求证：． 22．在的正方形网格中，点均在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，过点作． (2)在图②中，以的一边为直角边，构造一个与面积相等的格点直角三角形． (3)在图③中，作，使的面积等于面积的． 23．◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 24．综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．    （1）①如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”．（填“是”或“不是”） ②如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．那么四边形是“垂美四边形”吗？请说明理由． 拓展探究 （2）如图3，四边形是“垂美四边形”，则两组对边与之间有什么数量关系？请说明理由． 迁移应用 （3）如图4，在中，，，．分别是射线，上一个动点，同时从点出发，分别沿和方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接与交于点，当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$