安徽省合肥市第五十中学东校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年安徽省合肥五十中东校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤1 3．（3分）已知点（a，b）在y＝2x﹣1的图象上，则2a﹣b的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2 4．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确 5．（3分）关于一次函数y＝﹣x+4的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数y＝﹣x+8的图象 D．图象与y轴的交点是（4，0） 6．（3分）直线BD∥EF，两个直角三角板如图摆放，若∠CBD＝10°，则∠1＝（　　） A．75° B．80° C．85° D．95° 7．（3分）如图，一次函数y＝mx+n与y＝mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A＝2∠B＝3∠C，③∠A：∠B：∠C＝1：2：3，④∠A＝90°﹣∠B，⑤中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P，则下列结论错误的是（　　） A．方程﹣x+a＝bx﹣4的解是x＝1 B．不等式﹣x+a＜﹣3和不等式bx﹣4＞﹣3的解集相同 C．不等式组bx﹣4＜﹣x+a＜0的解集是﹣2＜x＜1 D．方程组的解是 10．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（x，y），若点A的坐标为（，则称A'为A（x，y）的倒映点，已知点P1（a，b）的倒映点为P2，点P2的倒映点为P3，P3的倒映点为P4…，Pn﹣1的倒映点为Pn，若不论n取任意正整数，点Pn恒在y轴左侧，则a，b应满足的条件为（　　） A．0＜a＜1，﹣1＜b＜﹣ B．﹣1＜a＜0，﹣1＜b＜﹣ C．﹣1＜a＜0， D．0＜a＜1， 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．（4分）命题“对顶角相等”的逆命题是 　 　． 12．（4分）根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为　 　． x ﹣2 0 1 y 3 p 0 13．（4分）如图，△ABC三边上的中线AD，BE，CF相交于点G且AG：GD＝2：1．若S△ABC＝24，则图中阴影部分面积是 　 　． 14．（4分）已知正比例函数y＝kx，当﹣4≤x≤4时，函数有最大值3，则k的值为 　 　． 15．（4分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝﹣x+a的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是　 　． 三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）．将△ABC向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A′B′C′，其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点． （1）请在所给坐标系中画出△A′B′C′，并直接写出点C′的坐标； （2）若AB边上一点P经过上述平移后的对应点为P′（x，y），用含x，y的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可） （3）求△A′B′C′的面积． 17．（6分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）若a＝5，b＝2，且c为奇数，求△ABC的周长． 18．（6分）如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数； （2）若AB＝12，AC＝10，CD＝8，求BE的长． 19．（10分）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ 20．（10分）如图1，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D． ①若∠BAO＝60°，则∠D＝ 　 　°； ②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由． （2）如图2，若∠OAD＝∠OAB，∠NBC＝∠NBA，求∠D的度数. 21．（10分）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，快快同学从A地跑步到C地，同时乐乐同学从B地跑步到A地，休息1min后接到通知，要求乐乐比快快早1min到达C地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地路程s（m）与快快跑步时间t（min）之间的函数图象． （1）a＝ 　 　，乐乐去A地的速度为 　 　m/min； （2）结合图象，求出乐乐从A地到C地对应的函数表达式（写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两人与B地的距离相等的时间． 2024-2025学年安徽省合肥五十中东校八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：点（﹣1，2）在第二象限． 故选：B． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤1 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【解答】解：∵x﹣1≥0， ∴x≥1． 故选：A． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 3．（3分）已知点（a，b）在y＝2x﹣1的图象上，则2a﹣b的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出b＝2a﹣1，变形后即可得出结论． 【解答】解：∵点（a，b）在y＝2x﹣1的图象上， ∴b＝2a﹣1， ∴2a﹣b＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键． 4．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确 【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 【解答】解：根据题意知，从△ABD的一个顶点D向底边AB作垂线，垂足A与顶点D之间的线段叫做三角形的高．即AD是△ABD的高，即②正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，掌握三角形的高的概念即可解题，属于基础题． 5．（3分）关于一次函数y＝﹣x+4的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数y＝﹣x+8的图象 D．图象与y轴的交点是（4，0） 【分析】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴的交点进行分析判断． 【解答】解：A、由于一次函数y＝﹣x+4中的k＝﹣1＜0，b＝4＞0，所以函数图象经过第一、二、四象限，故A错误，不符合题意； B、由于一次函数y＝﹣x+4中的k＝﹣1＜0，所以y随x的增大而减小，故B正确，符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数y＝﹣x的图象，故C错误，不符合题意； D、直线y＝﹣x+4，令x＝0可得：y＝4，函数图象与y轴的交点坐标为（0，4），故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题关键． 6．（3分）直线BD∥EF，两个直角三角板如图摆放，若∠CBD＝10°，则∠1＝（　　） A．75° B．80° C．85° D．95° 【分析】先由已知条件求出∠ABD，再根据平行线的性质求出∠BAAF，最后根据三角形内角和定理即可求出∠1． 【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠CBD＝10°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝30°+10°＝40°， ∵BD∥EF， ∴∠BAF＝∠ABD＝40°， ∵∠EFD＝45°， ∴∠1＝180°﹣∠BAF﹣∠EFD＝180°﹣40°﹣45°＝95°． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键． 7．（3分）如图，一次函数y＝mx+n与y＝mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据m、n同正，同负，一正一负时利用一次函数的性质进行判断． 【解答】解：①当mn＞0时，m、n同号，y＝mnx过一三象限，同正时，y＝mx+n经过一、二、三象限；同负时，过二、三、四象限； ②当mn＜0时，m、n异号，y＝mnx过二四象限，m＞0，n＜0时，y＝mx+n经过一、三、四象限；m＜0，n＞0时，过一、二、四象限； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 8．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A＝2∠B＝3∠C，③∠A：∠B：∠C＝1：2：3，④∠A＝90°﹣∠B，⑤中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据三角形内角和为180°，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故①正确； ②∠A＝2∠B＝3∠C， ∴， ∴， ∴△ABC不是直角三角形，故②不正确； ③∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴最大角∠C＝180°×＝90°；故③正确； ④∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°，故④正确； ⑤∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故⑤正确； 综上所述，是直角三角形的是①③④⑤共4个． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，关键是三角形内角和定理的熟练应用． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P，则下列结论错误的是（　　） A．方程﹣x+a＝bx﹣4的解是x＝1 B．不等式﹣x+a＜﹣3和不等式bx﹣4＞﹣3的解集相同 C．不等式组bx﹣4＜﹣x+a＜0的解集是﹣2＜x＜1 D．方程组的解是 【分析】由图象交点坐标可得方程组的解，根据图象及点P坐标可得不等式﹣x+a＜﹣3和bx﹣4＞﹣3的解，由点P坐标可得a的值，从而可得直线y1＝﹣x+a与x轴的交点，从而可得bx﹣4＜﹣x+a＜0的解集． 【解答】解：由图象可得直线y1＝x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P（1，﹣3）， ∴方程﹣x+a＝bx﹣4的解是x＝1， 由图象可得当x＜1时，y1＞﹣3＞y2， ∴﹣x+a＜﹣3和bx﹣4＞﹣3的解都是x＜1， 将（1，﹣3）代入y1＝﹣x+a得﹣3＝﹣1+a， 解得a＝﹣2， ∴y1＝﹣x﹣2， 将y＝0代入y1＝﹣x﹣2得0＝﹣x﹣2， 解得x＝﹣2， ∴﹣2＜x＜1时，直线y1＝﹣x+a在x轴下方且在直线y2＝bx﹣4上方， ∴bx﹣4＜﹣x+a＜0的解集是﹣2＜x＜1． ∵直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P， ∴方程组的解为， ∴选项D错误． 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系． 10．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（x，y），若点A的坐标为（，则称A'为A（x，y）的倒映点，已知点P1（a，b）的倒映点为P2，点P2的倒映点为P3，P3的倒映点为P4…，Pn﹣1的倒映点为Pn，若不论n取任意正整数，点Pn恒在y轴左侧，则a，b应满足的条件为（　　） A．0＜a＜1，﹣1＜b＜﹣ B．﹣1＜a＜0，﹣1＜b＜﹣ C．﹣1＜a＜0， D．0＜a＜1， 【分析】根据题意写出P2，P3，P4，P5，发现P5和P1一样，后面的点开始循环，使P1，P2，P3，P4，P5的横坐标都小于0即可求出a，b的范围． 【解答】解：设Pn（an，bn），根据题意， 得，，，， 可知P4以后的点和前面的开始重复， ∵点Pn恒在y轴左侧， ∴a＜0，﹣2b+1＜0，﹣a﹣1＜0，2b﹣2＜0， 解得：﹣1＜a＜0，＜b＜1， 故选：C． 【点评】本题主要考查新定义的坐标的变化规律，关键是要能通过计算发现第五个数开始和前面的数重合，属于循环的变化规律，这样只需要考虑前四个点的横坐标就可以了． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．（4分）命题“对顶角相等”的逆命题是 　相等的角为对顶角　． 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题． 【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”． 故答案为：相等的角为对顶角． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 12．（4分）根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为　1　． x ﹣2 0 1 y 3 p 0 【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把x＝﹣2，y＝3；x＝1时，y＝0代入即可得出k、b的值，故可得出一次函数的解析式，再把x＝0代入即可求出p的值． 【解答】解：一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵x＝﹣2时y＝3；x＝1时y＝0， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1， ∴当x＝0时，y＝1，即p＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式．解题时，利用了一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 13．（4分）如图，△ABC三边上的中线AD，BE，CF相交于点G且AG：GD＝2：1．若S△ABC＝24，则图中阴影部分面积是 　8　． 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝12， ∵AG：GD＝2：1， ∴S△ABG＝S△ABD＝×12＝8，S△ACG＝S△ACD＝×12＝8， ∵CF是AB边上的中线， ∴AF＝BF， ∴S△BFG＝S△ABG＝×8＝4， ∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝CE， ∴S△CEG＝S△ACG＝×8＝4， ∴S阴影＝S△BFG+S△CEG＝4+4＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查三角形的重心、三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 14．（4分）已知正比例函数y＝kx，当﹣4≤x≤4时，函数有最大值3，则k的值为 　或﹣　． 【分析】根据函数的增减性，再由x的取值范围得出x＝﹣4时，y＝3或x＝4时，y＝3，分别代入代入函数解析式得出k的值即可． 【解答】解：当k＞0时，函数y随x的增大而增大， ∴当x＝4时，y＝3， ∴4k＝3， 解得k＝； 当k＜0时，函数y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣4时，y＝3， ∴﹣4k＝3， 解得k＝﹣． ∴k的值为或﹣． 故答案为：或﹣． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键． 15．（4分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝﹣x+a的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是　a＜﹣1　． 【分析】令y＝x﹣a+1＜0，x＜﹣1+a；令y＝﹣x+a＜0，x＞2a，当﹣1+a＞2a时，x＜﹣1+a与x＞2a有解，则a＜﹣1；当﹣1+a≤2a时，x＜﹣1+a与x＜2a无解，据此即可求解． 【解答】解：∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方， 令y＝x﹣a+1＜0， ∴x＜﹣1+a， 令y＝﹣x+a＜0， ∴x＞2a， ①当﹣1+a＞2a时，x＜﹣1+a与x＞2a有解，则a＜﹣1， ②当﹣1+a≤2a时，x＜﹣1+a与x＞2a无解， ∴a＜﹣1； 故答案为a＜﹣1． 【点评】本题考查一次函数图象及性质以及函数与不等式的关系；将问题转化为不等式的解是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）．将△ABC向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A′B′C′，其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点． （1）请在所给坐标系中画出△A′B′C′，并直接写出点C′的坐标； （2）若AB边上一点P经过上述平移后的对应点为P′（x，y），用含x，y的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可） （3）求△A′B′C′的面积． 【分析】（1）根据题中的平移方式作图即可求解； （2）根据题意可得将点P′（x，y）向左平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P，即可求解； （3）利用分割法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，C′（6，﹣5）； （2）∵将△ABC向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A′B′C′， ∴将点P′（x，y）向左平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P， ∴P（x﹣7，y+4）； （3）由图可得，． 【点评】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 17．（6分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）若a＝5，b＝2，且c为奇数，求△ABC的周长． 【分析】（1）直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为奇数得出c的值，进而可得出结论． 【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； （2）∵△ABC的三边长分别为a，b，c，a＝5，b＝2， ∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7， ∵c为奇数， ∴c＝5， ∴△ABC的周长＝5+2+5＝12． 【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，非负数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 18．（6分）如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数； （2）若AB＝12，AC＝10，CD＝8，求BE的长． 【分析】（1）利用三角形内角和定理分别求出∠A和∠ABE的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（50°+80°）＝50°． ∵BE和CD是△ABC的两条高线， ∴∠AEB＝∠BDO＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BOC＝∠ABE+∠BDO＝40°+90°＝130°． （2）由三角形的面积公式， 得， 即， ∴． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19．（10分）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ 【分析】（1）根据“商场获利＝（甲种服装每件售价﹣甲种服装每件进价）×甲种服装购进数量+（乙种服装每件售价﹣乙种服装每件进价）×乙种服装购进数量”解答即可； （2）根据“甲种服装每件进价×甲种服装购进数量+乙种服装每件进价×乙种服装购进数量≤15000”列关于x的一元一次不等式并求解，再根据“甲种服装不少于60件”得到x的取值范围；由y与x之间的函数的增减性，确定当x为何值y值最大，求出其最大值即可． 【解答】解：（1）根据题意，得y＝（210﹣160）x+（150﹣120）（100﹣x）＝20x+3000， 答：y与x之间的函数关系式为y＝20x+3000． （2）根据题意，得160x+120（100﹣x）≤15000， 解得x≤75， ∵x≥60， ∴60≤x≤75， ∵y＝20x+3000中20＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵60≤x≤75， ∴当x＝75时，y值最大，y最大＝20×75+3000＝4500． 答：若购进100件服装的总费用不超过15000元，最大利润为4500元． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． 20．（10分）如图1，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D． ①若∠BAO＝60°，则∠D＝ 　45　°； ②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由． （2）如图2，若∠OAD＝∠OAB，∠NBC＝∠NBA，求∠D的度数. 【分析】（1）①先求出∠OBA＝30°，则∠ABN＝150°，再根据角平分线定义得∠DAB＝30°，∠NBC＝75°，则∠DBO＝∠NBC＝75°，进而得∠DBA＝105°，然后再根据三角形的内角和定理可得出∠D的度数； ②设∠BAO＝2θ，则∠OBA90°﹣2θ，∠ABN＝90°+2θ，再根据角平分线定义得∠DAB＝θ，∠NBC＝45°+θ，则∠DBO＝∠NBC＝45°+θ，进而得∠DBA＝∠DBO+∠OBA135°﹣θ，然后再根据三角形的内角和定理可得出∠D的度数； （2）根据∠OAD＝∠OAB，∠NBC＝∠NBA，设∠OAB＝4α，∠NBA＝4β，则∠OAD＝3α，∠NBC＝3β，进而得∠DBO＝∠NBC＝3β，∠DAB＝α，∠OBA＝90°﹣4α，再根据三角形的内角和定理得∠D＝90°﹣3（β﹣α），然后再根据∠OBA+∠NBA＝180°得β﹣α＝22.5°，由此可得出∠D的度数． 【解答】解：（1）①∵∠MON＝90°，∠BAO＝60°， ∴∠OBA＝180°﹣（∠MON+∠BAO）＝30°， ∴∠ABN＝180°﹣∠OBA＝150°， ∵BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D， ∴∠DAB＝∠BAO＝30°，∠NBC＝∠ABN＝75°， ∴∠DBO＝∠NBC＝75°， ∴∠DBA＝∠DBO+∠OBA＝75°+30°＝105°， 在△ABD中，∠D＝180°﹣（∠DBA+∠DAB）＝180°﹣（105°+30°）＝45°， 故答案为：45； ②∠D的度数不随A，B的移动发生变化，始终是45°，理由如下： 设∠BAO＝2θ， 则∠OBA＝180°﹣（∠MON+∠BAO）＝180°﹣（90°+2θ）＝90°﹣2θ， ∴∠ABN＝180°﹣∠OBA＝180°﹣（90°﹣2θ）＝90°+2θ， ∵BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D， ∴∠DAB＝∠BAO＝θ，∠NBC＝∠ABN＝×（90°+2θ）＝45°+θ， ∴∠DBO＝∠NBC＝45°+θ， ∴∠DBA＝∠DBO+∠OBA＝45°+θ+90°﹣2θ＝135°﹣θ， 在△ABD中，∠D＝180°﹣（∠DBA+∠DAB）＝180°﹣（135°﹣θ+θ）＝45°； （2）∵∠OAD＝∠OAB，∠NBC＝∠NBA， ∴设∠OAB＝4α，∠NBA＝4β， ∴∠OAD＝3α，∠NBC＝3β， ∴∠DBO＝∠NBC＝3β，∠DAB＝∠OAB﹣∠OAD＝α ∵∠MON＝90°， ∴∠OBA＝180°﹣（∠MON+∠OAB）＝180°﹣（90°+4α）＝90°﹣4α， ∴∠DBA＝∠DBO+∠OBA＝3β+90°﹣4α， 在△ABD中，∠D＝180°﹣（∠DBA+∠DAB）＝180°﹣（3β+90°﹣4α+α）＝90°﹣3（β﹣α）， ∵∠OBA+∠NBA＝180°， ∴90°﹣4α+4β＝180°， ∴β﹣α＝22.5°， ∴∠D＝90°﹣3×22.5°＝22.5°． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． 21．（10分）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，快快同学从A地跑步到C地，同时乐乐同学从B地跑步到A地，休息1min后接到通知，要求乐乐比快快早1min到达C地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地路程s（m）与快快跑步时间t（min）之间的函数图象． （1）a＝ 　2　，乐乐去A地的速度为 　200m/min　m/min； （2）结合图象，求出乐乐从A地到C地对应的函数表达式（写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两人与B地的距离相等的时间． 【分析】（1）根据题意结合图象以及速度、路程和时间的关系解答即可； （2）先确定F、G的坐标以及t的取值范围，然后利用待定系数法解答即可； （3）先运用待定系数法确定DE、OH，然后根据图像联立解析式求解即可． 【解答】解：（1）∵乐乐在A地休息1分钟， ∴a＝3﹣1＝2， 乐乐去A地的速度为400÷2＝200（m/min）， 故答案为：2；200m/min； （2）设乐乐从A地到C地对应的函数表达式为s＝kt+b（k≠0）． ∵F（3，0），G（7，1200）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴乐乐从A地到C地对应的函数表达式为s＝300t﹣900（3≤t≤7）； （3）设线段OH对应的函数表达式为s＝mt（k≠0）． ∵H（8，1200）在函数图象上， ∴8m＝1200， 解得m＝150． ∴线段OH对应的函数表达式为s＝150t（0≤t≤8）． ①当0≤t≤2时，200t＝400﹣150t，解得； ②当2＜t≤3时，400＝150t﹣400，解得（不合题意，舍去）． ③当3＜t≤7时，400﹣（300t﹣900）＝150t﹣400或300t﹣900＝150t，解得或t＝6． ④当t＝8时，两人距B地的路程相等． 综上所述，两人距B地的路程相等的时间为或或6min或8min． 【点评】本题主要考查了列式计算、一次函数图象与行程问题等知识点，审清题意、明确函数图象各点的意义是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$