精品解析：河南省焦作市焦作城乡一体化示范区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年（上）九年级期中调研试卷 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间90分钟．请用黑色水笔直接答在答题卷上． 2.答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置． 1. 矩形具有但菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角相等、邻角互补 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 2. 若关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 2 3. 一个矩形的两条对角线的夹角为60°，且这个角所对的边长为，则矩形的对角线长是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程可以为（ ） A. B. C. D. 5. 小亮仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程的解，列表如下： 据此可知，方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一张菱形纸板，顺次连接各边中点得到矩形，再顺次连接矩形的各边中点得到一个小的菱形（阴影区域），将一个飞镖投到该菱形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 据记载，金字塔的高度最早是由古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理测得的．胡夫金字塔是古埃及金字塔中最高的金字塔，现仿照泰勒斯的方法，测量胡夫金字塔的高度，右图为示意图．在同一时刻，标杆高度是米，影长是米，胡夫金字塔影长约为米，则胡夫金字塔的高度大约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，平行四边形中，点为边中点，连接、交于点，若的面积为关于的一元二次方程的解，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 已知，则的值为______． 12. 如图，直线，被三条平行线所截，若，，，则的长为______． 13. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是___． 14. 在一个不透明的袋子里装有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，则两次摸出的球是一白一黑的概率为______． 15. 如图，有两个全等的矩形纸片，，点O都是两矩形对角线的交点，固定矩形，使矩形绕着点O顺时针任意旋转，它们重叠的菱形面积记为S，则S的取值范围是_____________________． 三、解答题．（共75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 18. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为； （2）请写出点A的对应点的坐标__________； （3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 20. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　 　． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率． 22. 如图，在四边形中，对角线与相交于点E，且，已知． （1）证明：； （2）求的长． 23. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年（上）九年级期中调研试卷 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间90分钟．请用黑色水笔直接答在答题卷上． 2.答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置． 1. 矩形具有但菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角相等、邻角互补 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质逐个判断即可． 【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等， ②矩形的四个角都是直角， ③矩形的对角线互相平分且相等， 菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等， ②菱形的对角相等， ③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键． 2. 若关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和方程的解的定义列出不等式和等式即可求出结论． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0， ∴ 解①，得 解②，得，或1 ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查的是根据一元二次方程的根，求方程中的参数，掌握一元二次方程的定义和方程的解的定义是解决此题的关键． 3. 一个矩形的两条对角线的夹角为60°，且这个角所对的边长为，则矩形的对角线长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只要证明△AOB是等边三角形，推出OA＝OB＝AB＝6cm，求出AC即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝6cm，AC＝2AO＝2OC，BD＝2OB＝2OD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝6cm， ∴AC＝2OA＝12cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形性质，等边三角形性质和判定，主要考查学生运用定理进行计算和推理的能力． 4. 已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可设这个方程为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是， 可设这个方程为， ∴这个方程可以为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 5. 小亮仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程的解，列表如下： 据此可知，方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据列表，得出当时，的函数值为；当时，的函数值为，再根据，即可得出的一个解的取值范围为． 【详解】解：根据题意，可得：当时，的值为；当时，的值为， ∵， ∴方程的一个解的取值范围为． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解相当于在二次函数的函数值为时，自变量的值． 6. 如图，一张菱形纸板，顺次连接各边中点得到矩形，再顺次连接矩形的各边中点得到一个小的菱形（阴影区域），将一个飞镖投到该菱形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图形可得出小的菱形（阴影区域）面积为菱形纸板面积的，即可求解． 【详解】解：观察图形发现： 顺次连接各边中点得到的矩形面积为菱形面积的，再顺次连接矩形的各边中点得到一个小的菱形（阴影区域）面积为矩形面积的， 所以，小的菱形（阴影区域）面积为菱形纸板面积的，即将一个飞镖投到该菱形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是． 故选：D． 【点睛】本题考查了概率，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 7. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 8. 据记载，金字塔的高度最早是由古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理测得的．胡夫金字塔是古埃及金字塔中最高的金字塔，现仿照泰勒斯的方法，测量胡夫金字塔的高度，右图为示意图．在同一时刻，标杆高度是米，影长是米，胡夫金字塔影长约为米，则胡夫金字塔的高度大约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】设胡夫金字塔的高度为x米，根据题意可得标杆的高度与影长的比等于金字塔的高度与其影长的比，由此建立关系式进行求解即可． 【详解】解：设胡夫金字塔的高度为x米，由题意得： ，解得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查相似三角形性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 9. 如图，平行四边形中，点为边中点，连接、交于点，若的面积为关于的一元二次方程的解，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由因式分解法解一元二次方程得到，再由平行四边形的性质，结合三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：由可知，解得或， 的面积为关于的一元二次方程的解， ， 在平行四边形中，点为边中点，，， ，则， ， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程、平行四边形的性质、中点定义、三角形相似的判定与性质等知识，熟记一元二次方程的解法及三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 10. 如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：设AP＝x，则BP＝8﹣x， 当△PAE∽△PBC时，，即， 解得，， 当△PAE∽△CBP时，，即， 解得，x＝2或6， 可得：满足条件的点P的个数有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用设k法，进行计算即可解答． 【详解】解：设， 则a＝5k，b＝4k，c＝3k， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握用设k法是解题的关键． 12. 如图，直线，被三条平行线所截，若，，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据题意确定是解题关键．根据平行线分线段成比例可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：3． 13. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是___． 【答案】-1 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根得出Δ=42-4×3×（-k）＞0，解之求出k的范围，从而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程3x2+4x−k=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=42-4×3×（-k）＞0， 解得k＞-， 所以k的最小整数值为-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根． 14. 在一个不透明的袋子里装有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，则两次摸出的球是一白一黑的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球是一白一黑的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，摸出的两个球中是一白一黑的有6种情况， ∴摸出的两个球中是一白一黑的概率为：． 故答案为：． 15. 如图，有两个全等的矩形纸片，，点O都是两矩形对角线的交点，固定矩形，使矩形绕着点O顺时针任意旋转，它们重叠的菱形面积记为S，则S的取值范围是_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于边长×高，菱形的高为矩形的宽，是定值，得到当菱形的边长最短和边长最长时，菱形的面积最小和最大，进而得到当菱形的变成为矩形的宽时，菱形的边最短，菱形长的对角线和矩形的对角线重合时，边长最长，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的高为矩形的宽， ∴当菱形的边长最短时，菱形的面积最小，此时菱形的边长为矩形的宽，如图： ∴的最小值为； 当当菱形的边长最长时，菱形的面积最大，此时菱形的一条对角线与矩形的对角线重合，如图： 设菱形的变成为，则：， ∴， 在中，，即：， ∴， 此时：， ∴． 【点睛】本题考查菱形性质，矩形的性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，确定的最大值和最小值，是解题的关键． 三、解答题．（共75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用求根公式法求解即可． （2）先移项，然后用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解：∵中，，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴或 解得：，． 17. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1． 【解析】 【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【详解】（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 18. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为； （2）请写出点A的对应点的坐标__________； （3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1） 画图如下， 则即为所求． ， （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质， （1）根据位似比，结合位置要求画图形即可． （2）根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为或，计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，似比为，， 故位似点的坐标为． 【小问2详解】 解：根据(1)得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下： ∵， 当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 20. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． 21. 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　 　． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝； （2）列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率 22. 如图，在四边形中，对角线与相交于点E，且，已知． （1）证明：； （2）求的长． 【答案】（1） 解：， ． （2）2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据即可得； （2）根据得，计算得，即可得；掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ， 解得． 23. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $