第四章指数函数、对数函数与幂函数单元测试-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 单元测试 一、单选题 1．下列函数中，在内有零点且单调递增的是（ ） A． B． C． D． 2．假设某地初始物价为1，其物价每年以5%的增长率递增，当该地物价不低于1.5时，至少需要经过的年数为（    ）（参考数据：取，，） A．8 B．9 C．10 D．11 3．设，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．设是定义在上的奇函数，对，都有，且当时，，  则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 6．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，（），则函数所有零点的和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 7．下列函数与相等的是（　　） A． B． C． D． 8．声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）．下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍 D．声强级增加，则声强变为原来的倍． 三、填空题 9．已知函数，若的定义域为，则实数的取值范围为 ；若的值域为，则实数的取值范围为 . 10．函数的单调递增区间是 . 11．若， ， .，则a，b，c的大小关系用“”表示为 . 12．设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 13．关于的方程，其中是实常数． （1）当时，解上述方程 （2）根据的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数． 14．已知，. (1)分别求、的值； (2)若，且，求的值. 15．求函数，的值域. 16．求函数的零点． 参考答案 1．B 【详解】选项A，对数函数的零点是x=1，不在内，故不正确； 选项B，指数函数的定义域，底数大于1是增函数，故正确； 选项C，二次函数在上是减函数，在上是增函数，故不正确； 选项D，在定义域是减函数，故不正确． 故选B． 2．B 【分析】应用指数函数表示x年后该地物价，可得指数不等式，结合指对数的关系及对数的运算性质求解即可. 【详解】经过x年后该地物价为， ∴由题意得：，得，而， ∴，故至少需要经过的年数为9. 故选：B. 3．D 【分析】根据指数函数可得为增函数，比较的大小即可求解. 【详解】函数在上为增函数， 因为在定义域内为增函数， 所以， 由在定义域内为增函数， 所以， ， 所以，所以. 故选：D 4．A 【分析】根据指数和对数的性质，分别判断三个数的所在范围，可得大小关系． 【详解】，，， 又，∴. 故选：A. 5．B 【分析】由函数的奇偶性与对称性得周期后求解 【详解】由题意，而是的奇函数，故， 可得，故是以4为周期的周期函数， ，又，， 故， 故选：B 6．D 【分析】画出和的图象，数形结合可知的零点成对出现，且关于对称，结合的取值范围，则可得交点的个数，据此可以求得结果. 【详解】因为零点，等价于与函数图像交点的横坐标， 因为，故可得是周期为的函数； 又因为，当时，， 解得. 不妨在同一直角坐标系中画出两者的图象如下所示：    数形结合可知，有6个交点， 则有6个零点，且每两个零点关于对称， 则每组零点之和为，共有3组， 故可得所有零点之和为. 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点问题，涉及数形结合，对数函数的绘制，属综合性中档题. 7．AC 【分析】根据函数相等的定义进行判断． 【详解】函数的定义域为，值域为， 函数的定义域为，则与函数相等，故A正确； 函数，与解析式、值域均不同，则与函数不相等，故B错误； 函数，且定义域为，则与函数相等，故C正确； 函数的定义域为，与定义域不相同，则与函数不相等，故D错误. 故选：AC． 8．ABD 【分析】根据已知条件先计算出，然后再根据的变化确定的变化确定正确选项． 【详解】因为，时，，带入公式得， A：时，，故A正确； B：由题意，即，因此，解得，故B正确； C：当变为时，代入有，故C错误； D：设声强变为原来的倍，则，解得，故D正确； 故选：ABD． 9． 【分析】由的定义域为知的图象恒在轴的上方，由二次函数性质可构造不等式组求得结果；由的值域为知要取遍所有的正数，由二次函数值域可构造不等式组求得结果. 【详解】若的定义域为，则的图象恒在轴的上方， ，解得：，即实数的取值范围是； 若的值域为，则要取遍所有的正数， 或，解得：，即实数的取值范围是. 故答案为：；. 10． 【解析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减来求得函数的单调递增区间. 【详解】由得. 设，则在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查对数型复合函数单调区间的求法，属于基础题. 11．cab 【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果 【详解】，即； ，即； ，即， 综上可得， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 12． 【分析】先由题意分析出性质，将零点问题转化为交点问题，再对分和讨论，再找到临界位置，从而得到不等式组， 范围即可. 【详解】∵，则函数关于直线对称， 又∵函数是定义在R上的奇函数，则， 即，则， 故函数是以4为周期的周期函数， 又∵，即， 故函数关于点对称， 令，则， 原题等价于与在上有4个交点，且的定义域为， 当时，则若在上4个交点，则，解得， 当时，则若在上有4个交点，则，解得， 综上. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将函数零点问题转化为两函数交点问题，再对进行分类讨论，作出符合题意的图象，找到临界位置，得到不等式组，解出即可. 13．（1）（2）见解析 【分析】（1）由对数的含义及运算法则，转化为二次方程的解，解出即可；（2）由对数的含义及运算法则，转化为二次方程的解得问题处理即可，注意定义域． 【详解】（1）时，，， 故，整理得：， ， ，∵， 故； （2）由题意且，所以， 又， 所以在上有两个实根， 即判断在上个实根的个数． 所以，， 令，， ，，， 当，或时，方程有1个实根， 当时，方程有2个实根， 当或时，方程无实根． 【点睛】本题考查二次方程实根分布问题、对数的运算法则，同时考查等价转化思想，属于中档题． 14．(1)， (2) 【分析】（1）利用指数的运算性质可求得的值，利用对数的运算性质可求得的值； （2）利用指数与对数的互化得出，，再利用换底公式、对数的运算性质以及对数与指数的互化可求得的值. 【详解】（1）解：， . （2）解：，，，因为，则，，从而且， 所以，，则，因此，. 15． 【分析】根据对数运算整理函数解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】. 设，且，故， 则且，图象的对称轴为， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，，当时，. ∴的值城为. 16． 【分析】先求出函数的定义域，令，通过解方程，即可求解. 【详解】由，得到，所以函数的定义域为， 由，得到，两边平方并化简得到，解得（舍）或， 所以函数的零点为. 学科网（北京）股份有限公司 $$