精品解析：山东省济宁市第一中学2024-2025学年高二上学期期中数学试题

济宁市第一中学2024-2025学年度阶段性 学业检测高二年级数学试题 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷考试时间为120分钟，满分为150分. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由直线的方向向量可得其斜率，从而可得直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 又，所以. 故选：C. 2. 设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用椭圆的定义，即可求解. 【详解】如图，的周长为 又椭圆，得到，所以的周长为， 故选：B. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求出两圆圆心距与两圆半径间的关系，再利用圆与圆位置关系的判断方法，即可求解. 【详解】因圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 又，所以，所以圆与圆内切， 故选：B. 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 5. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮㭘有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果。 【详解】由随机数表可得，表示运动员三次投篮恰有两次命中的有共三个， 由此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 6. 如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行六面体，利用空间向量的几何运算，得到，利用数量积的运算得，再利用条件，即可求解. 【详解】因为， 所以， 又，， 所以，得到， 故选：A. 7. 如果实数满足等式，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用两点连线的斜率公式知，表示圆上的点与点连线的斜率，从而将问题转化成直线与圆的位置关系来处理，即可求解. 【详解】设，则表示圆上的点与点连线的斜率， 所以求的取值范围就等价于求同时经过点和圆上的点的直线中斜率的最大值与最小值， 从图中可知，当过点的直线与圆相切时取最大值和最小值，此时对应的直线斜率分别为和， 由圆心到直线的距离，解得或， 所以的取值范围是， 故选：B. 8. 已知两点到直线的距离分别为，则满足条件的直线共有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成以为圆心，半径分别为的两圆的公切线的条数，再判断出两圆的位置关系，即可求解. 【详解】以为圆心，为半径的圆的方程为， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 又，所以圆和圆外切， 当直线与圆和圆均相切时，两点到直线的距离分别为， 所以满足条件的直线共有条， 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与，则（ ） A. 若，则两直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若两直线平行，则与的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件得两直线斜率之积为，即可判断；对于B，通过变形得，由，即可求出定点，从而作出判断；对于C，直接求出横纵截距，即可判断；对于D，根据条件，求出，再利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，斜率为， 又直线的的斜率为，所以，故两直线垂直，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 由，得到，所以直线过定点，故选B正确， 对于选项C，令，得到，令，得到，所以直线在两坐标轴上的截距不相等，故选项C错误， 对于选项D，当时，，得到，此时， 所以两平行线间的距离为，故选项D正确， 故选：ABD. 10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件是互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】先列举各事件，再根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率特征逐一判断即可； 【详解】列举各事件如下：，，， A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确； B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误； C：因为，故C正确； D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确； 故选：ACD. 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的正弦值为 C. 到平面的距离为 D. 存在实数使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系 ，求出 . 对于A，计算 的值即可判断； 对于B，计算 的值即可判断； 对于 C，先计算 得 ，接着计算 ，再由 和 且结合锥体体积公式即可计算求解； 对于 D，由 计算求出，即可解答. 【详解】由题意，建立如下坐标系. 则 , , , , , , ， 所以 , , , , ， 对于A，，故 与 不垂直，故A错误； 对于B，，， 所以直线与所成角的正弦值为，故B正确； 对于C，由上 ，所以 ， 所以 即 ，又 ， 所以， 因为 ，又由正方体性质可知 平面 ，即 平面 ， ， 所以 ， 又，由余弦定理可得：， 所以，所以， 设G到平面的距离为，则， 所以，故C正确； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以 ，所以，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的性质求出，再利用向量模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以，即，有， 可知. 故答案为：. 13. 已知事件与事件相互独立，如果，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式可得，再由代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 且事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 所以， 则. 故答案为： 14. 已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线的几何性质以及二次函数的性质来求得四边形的面积的最小值. 【详解】由圆，得， 四边形的面积， ∵点是直线上的一点，∴， 则， 又， ∴，则， ∴四边形的面积的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得，， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 16. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为，分别为的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，连接，相交于，连接，因为四棱锥为正四棱锥， 则面，，可建立如图所示的空间直角坐标系，又底面边长和高均为， 则， 又分别为的中点，得到， 所以，得到，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，相交于，连接，根据条件建立空间直角坐标系，求得，从而有，即可证明结果； （2）求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得到，所以， 又，设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. （1）求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； （2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 【答案】（1）和 （2）. 【解析】 【分析】（1）借助对立事件的性质及相互独立事件乘法公式计算即可得； （2）借助相互独立事件乘法公式计算即可得. 【小问1详解】 设甲､乙､丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件. 因为，所以. 又，所以，即. 又，所以， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和. 【小问2详解】 设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 18. 如图，五面体中，，，平面ABCD． （1）求证：； （2）若，，，求点E到直线AB的距离； （3）若，，，二面角的余弦值为，求DE的长． 【答案】（1）证明：因为，平面，平面，可得平面， 又因为平面，平面平面， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得平面，结合线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，可得，利用空间向量求点到线的距离； （3）根据（2）中坐标系，设，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量处理二面角问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知：，平面ABCD， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 若，，，则， 可得， 所以点E到直线AB的距离为. 【小问3详解】 由（2）中坐标系，若，，， 则， 设，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可知：设平面的法向量， 则，解得， 所以DE的长为. 19. 已知圆的方程为. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分类讨论，先确定斜率不存在时直线是否是切线，在斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求解； （2）①设点，把已知条件用坐标表示并整理后它与（1）中圆方程相同，由此可求得； ②设，由中点得点坐标，由在圆上得关于的方程组，方程组有解转化为直线与圆有交点， 从而利用圆心到直线的距离不小于半径求得参数范围． 【小问1详解】 圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为. 过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 ①设点，则， ， ，，， 又，化简得， 为圆上任意一点，， 又，，解得，常数. ②由①知，，，点，圆， 设，是线段的中点，， 又，在圆上，即关于的方程组有解， 化简得有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济宁市第一中学2024-2025学年度阶段性 学业检测高二年级数学试题 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷考试时间为120分钟，满分为150分. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 内含 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮㭘有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如果实数满足等式，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知两点到直线的距离分别为，则满足条件的直线共有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 二､多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与，则（ ） A. 若，则两直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若两直线平行，则与的距离是 10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件是互斥事件 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的正弦值为 C. 到平面的距离为 D. 存在实数使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则___________ 13. 已知事件与事件相互独立，如果，则__________. 14. 已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的面积. 16. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为，分别为的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. （1）求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； （2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 18. 如图，五面体中，，，平面ABCD． （1）求证：； （2）若，，，求点E到直线AB的距离； （3）若，，，二面角的余弦值为，求DE的长． 19. 已知圆的方程为. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $