专题5 与一元一次方程的解有关的问题【两大模块十一种类型】-2024-2025学年七年级数学提优专题训练及试卷测试(人教版）

专题5 与一元一次方程的解有关的问题【两大模块十一种类型】（解析版） 模块一 两个一元一次方程的解的关系 类型一 两个方程解相同 【典例1】（2024春•九台区月考）已知方程x﹣4＝2x﹣8与关于x的方程3a+8＝3（x+a）﹣2a的解相同，求a的值． 【分析】先求出方程x﹣4＝2x﹣8的解为x＝4，再把x＝4代入3a+8＝3（x+a）﹣2a，解出a的值，即可． 【解答】解：x﹣4＝2x﹣8 移项合并同类项得：﹣x＝﹣4， 解得：x＝4， ∵两方程的解相同， ∴3a+8＝3（4+a）﹣2a， 解得：a＝2． 【点评】本题主要查了解一元一次方程，正确进行计算是解题关键． 【变式1-1】已知关于x的方程x﹣3和3a＝3（x+a）﹣2a的解相同，求a的值． 【分析】通过解关于x的方程x﹣3求得x的值，然后将x的值代入3a＝3（x+a）﹣2a列出关于a的新方程，通过解该新方程即可求得a的值． 【解答】解：由关于x的方程x﹣3，得 x＝9； ∵关于x的方程x﹣3和3a＝3（x+a）﹣2a的解相同， ∴3a＝3（9+a）﹣2a， 解得，a． 【点评】本题考查了同解方程的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 类型二 两个方程解互为相反数 【典例2】（2022秋•禹州市期末）已知关于x的方程（x﹣1）＝5+k的解与方程（x﹣1）的解互为相反数，求k的值． 【分析】首先解每个关于x的方程，利用k表示出x，然后根据两个方程的解互为相反数列方程求得k的值． 【解答】解：解方程得， x＝11+2k， 解得x＝18k+1， 根据题意得18k+1+11+2k＝0， 解得：k． 【点评】本题考查了方程的解的定义以及一元一次方程的解法，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键． 【变式2-2】已知关于x的方程（8﹣x）＝7+x的解与方程2a的解互为相反数，求a的值． 【分析】解方程 ，得x＝﹣2，因为关于x的方程 的解与方程 的解互为相反数，所以方程 的解为x＝2．把x＝2代入，得，即可得到a的值． 【解答】解：， 解得 x＝﹣2． ∵关于x的方程 的解与方程 的解互为相反数， ∴方程 的解为＝2． 把x＝2代 入， 得 ， 解得． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这是解一元一次方程的一般步骤． 【变式2-2】（2022春•浚县月考）若方程2（x﹣1）＝1+x的解与关于x的方程2（x﹣m）x+m的解互为相反数，求m的值． 【分析】求出第一个方程的解的相反数，代入第二个方程计算即可求出m的值． 【解答】解：方程2（x﹣1）＝1+x， 去括号得：2x﹣2＝1+x， 移项合并得：2x﹣x＝1+2， 解得：x＝3， 把x＝﹣3代入方程2（x﹣m）x+m得， 2（﹣3﹣m）＝﹣2+m， 去分母得：﹣6﹣2m＝﹣2+m， 移项合并得：﹣2m﹣m＝6﹣2， 合并同类项得：﹣3m＝4， 解得：m． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 类型三 两个方程解互为倒数 【典例3】（2024春•临县月考）若方程6（x+1）＝3x﹣7的解与关于x的方程的解互为倒数，求m的值． 【分析】先解方程6（x+1）＝3x﹣7得到，再根据倒数的定义得到关于x的方程 的解为，据此把代入方程中求出m的值即可． 【解答】解：解方程6（x+1）＝3x﹣7得， ∵方程6（x+1）＝3x﹣7的解与关于x的方程 的解互为倒数， ∴关于x的方程 的解为， ∴， ∴， 解得． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，倒数的定义，利用方程的解满足方程得出关于m的方程是解题关键． 【变式3-1】（2021秋•高港区期中）若关于x的方程x与方程3+4x＝2（3﹣x）的解互为倒数，求m的值． 【分析】先求出方程3+4x＝2（3﹣x）的解（x），求出的倒数是2，再把x＝2代入第一个方程，即可求出m． 【解答】解：解方程3+4x＝2（3﹣x）得：x， ∵关于x的方程x与方程3+4x＝2（3﹣x）的解互为倒数， ∴把x＝2代入方程x得：2， 解得：m． 【点评】本题考查了倒数，一元一次方程的解和解一元一次方程等知识点，能求出关于m的一元一次方程是解此题的关键． 类型四 两个方程的解成倍数关系 【典例4】（2024秋•沙坪坝区期中）若关于x的方程13m+x＝59的解是关于x的方程的解的5倍．求m的值． 【分析】先分别求出两个已知方程的解，再根据题意得出关于m的方程，解方程即可得出m的值； 【解答】解：由方程13m+x＝59解得x＝59﹣13m， 由方程解得x， 由题意得：59﹣13m＝5， 解得：m＝2； 【点评】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程解法正确解出方程求出未知数的值是解题的关键． 【变式4-1】（2024秋•伊通县期末）已知关于x的方程m4的解是关于x的方程的解的2倍，求m的值． 【分析】分别解方程m4和方程1，得到两个含有m的解，根据“关于x的方程m4的解是关于x的方程的解的2倍”，列出关于m的一元一次方程，解之即可． 【解答】解：解方程m4得： x＝12﹣3m， 解方程1得： x＝6﹣m， 根据题意得： 2（6﹣m）＝12﹣3m， 解得：m＝0． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程是解题的关键． 【变式4-2】（2023秋•通州区月考）已知关于x的方程的解是关于x的方程6x﹣1＝2x+7的解的4倍，求m的值． 【分析】先解方程6x﹣1＝2x+7得到x的值，然后根据“关于x的方程的解是关于x的方程6x﹣1＝2x+7的解的4倍”求得4x的值；然后将其代入第一个方程求解即可． 【解答】解：解方程6x﹣1＝2x+7，得x＝2． 则关于x的方程的解为x＝8． 将x＝8代入关于x的方程，得 ， 解得m＝14． 即m的值是14． 【点评】本题考查一元一次方程的解，把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 类型五 两个方程的解有大小关系 【典例5】（2024秋•靖江市期中）已知方程的解比关于x的方程32的解大2，求m的值． 【分析】根据方程的解之间的关系，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：解，得 x＝5． 由方程的解比关于x的方程32的解大2， 得3[1+1]＝2， 解得m． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解之间的关系得出关于m的方程是解题关键． 【变式5-1】（2024秋•海安市期中）已知方程x﹣4（x﹣1）． （1）求方程的解； （2）若上述方程的解比关于x的方程3a+8＝3（x+a）a的解大1，求a的值． 【分析】（1）根据解方程的一般步骤，可得答案； （2）根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：（1）去分母，得 2x﹣8＝3（x﹣1）， 去括号，得 2x﹣8＝3x﹣3， 移项，得 2x﹣3x＝﹣3+8， 合并同类项，得 ﹣x＝5， 系数化为1，得 x＝﹣5， （2）由上述方程的解比关于x的方程3a+8＝3（x+a）a的解大1，得 3a+8＝3（x+a）a的解为x＝﹣6， 将x＝﹣6代入方程，得 3a+8＝3（﹣6+a）a， 去括号，得 3a+8＝﹣18+3aa， 移项，得 3a﹣3aa＝﹣18﹣8， 合并同类项，得 a＝﹣26， 系数化为1，得 a＝﹣6． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于a的方程是解题关键． 【变式5-2】（2023春•卫辉市期中）已知一元一次方程2x﹣（x﹣1）＝3（x﹣1）． （1）求该方程的解． （2）若上述方程的解比关于x的方程的解小4，求m的值． （3）在（2）的条件下，已知一个三角形的三条边的长度之比为2：4：5，最长的边比最短的边长（7+m）厘米，求这个三角形的周长． 【分析】（1）解一元一次方程，可得结论； （2）根据方程的解的定义解决问题即可； （3）设三角形的三边长为2k厘米，4k厘米，5k厘米，构建方程求出k，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵2x﹣（x﹣1）＝3（x﹣1）， ∴2x﹣x+1＝3x﹣3， ∴x＝2； （2）∵上述方程的解比关于x的方程的解小4， ∴方程的解为6， ∴6﹣1， ∴m＝﹣1； （3）∵三角形的三条边的长度之比为2：4：5， ∴可以假设三角形的三边长为2k厘米，4k厘米，5k厘米， 由题意5k﹣2k＝7﹣1， ∴k＝2， ∴三角形的三边长分别为4厘米，8厘米，10厘米， ∴这个三角形的周长＝4+8+10＝22（厘米）． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了一元一次方程的解，三角形的周长等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 类型六 两个方程的解有和差关系 【典例6】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由题意，可求出的解为x＝1﹣（﹣2023）＝2024，再将变形为，则y+1＝x＝2024，从而求解． 【解答】解：（1）∵3x+m＝0， ∴． ∵4x﹣2＝x+10． ∴x＝4． ∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”， ∴， ∴m＝9； （2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1， ∴另一个方程的解为：1﹣n． ∵两个解的差为8， ∴1﹣n﹣n＝8或n﹣（1﹣n）＝8． ∴或； （3）解：∵．∴x＝﹣2023． ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴关于x的一元一次方程的解为x＝1﹣（﹣2023）＝2024． 关于y的一元一次方程可化为：． ∴y+1＝x＝2024． ∴y＝2023． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 【变式6-1】（2022秋•滨湖区期末）（1）若关于x的方程x﹣2（x﹣2m）＝4的解为x＝1，求m的值； （2）若关于x的方程x﹣2（x﹣2m）＝4和的解的和为12，求m的值． 【分析】（1）将x＝1代入x﹣2（x﹣2m）＝4，即可求出m的值； （2）先将方程x﹣2（x﹣2m）＝4求解，得到x＝4m﹣4，再将方程求解，得到x＝6﹣3m，根据两个方程的解的和为12，建立关于m的一元一次方程，求解m的值即可． 【解答】解：（1）当x＝1时，1﹣2（1﹣2m）＝4， 解得：； （2）由x﹣2（x﹣2m）＝4， 解得：x＝4m﹣4， 由， 解得：x＝6﹣3m， ∴4m﹣4+6﹣3m＝12， 解得：m＝10． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义． 【变式6-2】（2023秋•城关区期末）如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x﹣2＝0是方程x﹣1＝0的后移方程． （1）判断方程2x+1＝0是否为方程2x+3＝0的后移方程 　是　（填“是”或“否”）； （2）若关于x的方程3x+m+n＝0是关于x的方程3x+m＝0的后移方程，求n的值． （3）当a≠0时，如果方程ax+b＝0是方程ax+c＝0的后移方程，用等式表达a，b，c满足的数量关系 　a+b﹣c＝0　． 【分析】（1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可； （2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值； （3）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可． 【解答】解：（1）方程2x+1＝0， 解得：x， 方程2x+3＝0， 解得：x， ∵（）﹣（）1， ∴方程2x+1＝0是方程2x+3＝0的后移方程； 故答案为：是； （2）方程3x+m+n＝0， 解得：x， 方程3x+m＝0， 解得：x， 根据题意得：（）＝1， 解得：n＝﹣3； （3）方程ax+b＝0， 解得：x， 方程ax+c＝0， 解得：x， 根据题意得：（）＝1，即1， 整理得：a+b﹣c＝0． 故答案为：a+b﹣c＝0． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解本题的关键． 【变式6-3】（2023秋•无锡期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”， （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值； 【分析】（1）根据“m差解方程”的定义解答即可； （2）根据定义列出方程关于m，n的方程，再去掉绝对值，并求解． 【解答】解：（1）方程2x＝5x﹣12的解是x＝4； 方程3（y﹣1）﹣y＝1的解是y＝2． 根据题意可得|x﹣y|＝|4﹣2|＝2， 所以这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是； 方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m的解是． 根据题意可得， 整理，得， 由m为正数， 得或， 解得或； 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值方程，熟练掌握一元一次方程的解法，绝对值方程的解法，理解新定义是解题的关键． 模块二 探究一元一次方程的解 类型七 特殊解问题 【典例7】若关于x的方程（k﹣2024）x﹣2022＝6﹣2024（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（　　） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【分析】求方程的解，根据其解是整数，确定k的可能值即可． 【解答】解：解方程（k﹣2024）x﹣2022＝6﹣2024（x+1），得x， ∵是整数， ∴k＝±1或±2或±4， ∴整数k的取值个数是4． 故选：A． 【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是本题的关键． 【变式7-1】（2023•沙坪坝区开学）已知关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和（　　） A．﹣9 B．﹣7 C．﹣6 D．0 【分析】先根据一元一次方程的解法将方程的解表示出来，再根据解方程的解为整数即可求解． 【解答】解：， 3（x+1）+2（kx﹣1）＝6k， 3x+3+2kx﹣2＝6k， 解得x， x ＝3， ∵关于x的一元一次方程的解是整数，k为整数， ∴①2k+3＝﹣5时，k＝﹣4； ②2k+3＝﹣1时，k＝﹣2； ③2k+3＝1时，k＝﹣1； ④2k+3＝5时，k＝1； 则符合条件的所有整数k的和为：﹣4+（﹣2）+（﹣1）+1＝﹣6， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，理解题意掌握含参数的方程的解法是解题的关键． 【变式7-2】若关于x的方程ax﹣1＝2的解是自然数，则整数a的值是　1或3　． 【分析】根据方程的解是自然数，可得是自然数，根据约数与倍数，可得答案． 【解答】解：解ax﹣1＝2，得 x， 由关于x的方程ax﹣1＝2的解是自然数，得 3是a的倍数， 即a＝3或a＝1， 故答案为：3或1． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是自然数得出3是a的倍数是解题关键． 【变式7-3】（2023秋•南岗区期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： 2▲1＝4×2﹣3×1＝5 1▲（﹣3）＝4×1﹣3×（﹣3）＝13 （﹣5）▲（﹣2）＝4×（﹣5）﹣3×（﹣2）＝﹣14… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： （1）这种运算方式是：m▲n＝　4m﹣3n　（用含m，n的式子表示）； （2）解方程3▲（2▲x）＝2▲x； （3）若关于x的方程3▲（ax﹣1）＝6的解为整数，求整数a的值； 【分析】（1）根据给定的新运算的法则，进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程进行求解即可； （3）根据新运算的法则，列出方程进行求解，根据解为整数，求出a的值即可． 【解答】解：（1）由题意，得：m▲n＝4m﹣3n； 故答案为：4m﹣3n； （2）2▲x＝4×2﹣3x＝8﹣3x， ∴3▲（2▲x）＝3▲（8﹣3x）＝4×3﹣3⋅（8﹣3x）＝9x﹣12， ∵3▲（2▲x）＝2▲x， 即：9x﹣12＝8﹣3x， 解得：； （3）3▲（ax﹣1）＝6， 即：4×3﹣3（ax﹣1）＝6，解得：， ∵方程的解为整数， ∴为整数， 又a为整数， ∴a＝﹣3，﹣1，1，3． 【点评】本题考查定义新运算，一元一次方程的应用．解题的关键是理解并掌握新运算的法则，正确的列出一元一次方程． 【变式7-4】（2024秋•开福区月考）若关于x的方程（k﹣4）x＝3有正整数解，则自然数k的值是（　　） A．1或3 B．5 C．5或7 D．3或7 【分析】先解方程，得到一个含有字母k的解，然后用完全归纳法解出k的值． 【解答】解：（k﹣4）x＝3， 解得x， 又∵（k﹣4）x＝3有正整数解，k为自然数， ∴自然数k的值是5或7． 故选：C． 【点评】考查了一元一次方程的解，本题难点是对k值进行完全归纳，注意不要漏解． 类型八 无解问题 【典例8】（2023秋•沙坪坝区期末）已知关于x的一元一次方程无解，则m＝　2　． 【分析】解整式方程，当一次项系数等于0时，原方程无解． 【解答】解：去分母，得mx﹣1＝2x+9， 移项，得mx﹣2x＝1+9， 合并，得（m﹣2）x＝10． 当m﹣2＝0，即m＝2时，原方程无解． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程有无解的条件是解决本题的关键． 【变式8-1】（2020秋•锦江区期末）已知关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程1的解相同． （1）求m，n的值； （2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值． 【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值，根据两个方程同解可得n的值； （2）把m和n的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得a的值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程， ∴|m|﹣2＝1，m+3≠0， 解得：m＝3， 当m＝3时，方程为：6x+6n＝0， 解得：x＝﹣n， 1， 2（2x+1）﹣10＝5（x+n）， 4x+2﹣10＝5x+5n， 4x﹣5x＝5n+8， ﹣x＝5n+8， 解得：x＝﹣5n﹣8， ∴﹣5n﹣8＝﹣n， ∴n＝﹣2； （2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y， ∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解， ∴， ∴a＝﹣4． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 类型九 无数解问题 【典例9】（2021春•杨浦区期中）已知关于x的方程2a（x﹣1）﹣（5﹣a）x＝3b有无数多个解，求常数a、b的值． 【分析】首先把方程化成一般形式，方程无数多解，则一次项系数等于0，常数项不等于0，即可求得a，b的值． 【解答】解：去括号，得：2ax﹣2a﹣5x+ax＝3b， 移项、合并同类项得：（3a﹣5）x＝2a+3b， 根据题意得：， 解得：a，b． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确理解方程无解的条件是关键． 【变式9-1】已知关于x的方程3a（x+2）＝（2b﹣1）x+5有无数多个解，求a与b的值． 【分析】先将方程进行化简，得到（3a﹣2b+1）x＝5﹣6a，再根据方程有无数个解，得出3a﹣2b+1＝0且5﹣6a＝0，据此即可求解． 【解答】解：方程3a（x+2）＝（2b﹣1）x+5化简得：（3a﹣2b+1）x＝5﹣6a， 根据题意得：3a﹣2b+1＝0且5﹣6a＝0， 解得：a，b． 【点评】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 类型十 定解问题 【典例10】（2023秋•椒江区期中）若不论k取什么实数，关于x的方程（m，n是常数）的解总是x＝1，求m+n的值． 【分析】把x＝1代入方程计算，求出m与n的值，即可求出m+n的值． 【解答】解：把x＝1代入方程得：2， 去分母得：2（2k+m）＝12+1﹣nk， 整理得：（4+n）k＝13﹣2m， ∵不论k取什么实数，关于x的方程（m，n是常数）的解总是x＝1， ∴4+n＝0，13﹣2m＝0， 解得：n＝﹣4，m＝6.5， 则m+n＝2.5． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式10-1】（2024•金昌三模）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是x＝1，则a﹣b的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】将x＝1代入中，化简得到（4+b）k＝7﹣2a，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是x＝1可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可． 【解答】解：∵不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是x＝1， ∴， ∴4k+2a﹣1+bk＝6， ∴（4+b）k＝7﹣2a， ∴4+b＝0，7﹣2a＝0， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键． 【变式10-2】（2021秋•闽侯县期末）已知关于x的一元一次方程2，其中a，b，k为常数． （1）当k＝3，a＝﹣1，b＝1时，求该方程的解； （2）当k＝2时，原方程有无数多个解，求此时a+4b的值； （3）若无论k为何值时，该方程的解总是x＝﹣3，求ab的值． 【分析】（1）将所给字母的值代入方程即可． （2）先将k值代入方程，再根据条件求a，b． （3）根据题意，建立关于a，b的方程即可． 【解答】解：（1）由题意得：2． ∴3x﹣1﹣2x+6＝12． ∴x＝7． （2）当k＝2时，方程为：2． ∴2x+a﹣2x+4b＝12． ∴0•x＝12﹣a﹣4b． ∵方程有无数解， ∴12﹣a﹣4b＝0． ∴a+4b＝12． （3）该方程化为：kx+a﹣2x+2bk＝12 当x＝﹣3时，（2b﹣3）k＝12﹣a﹣6． ∴（2b﹣3）k＝6﹣a． ∵无论k为何值，等式恒成立， ∴2b﹣3＝0，6﹣a＝0． ∴a＝6，b． ∴ab＝69． 【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a，b的一元一次方程是解此题的关键． 类型十一 错解问题 【典例11】（2024春•仁寿县期中）某同学在解关于y的方程1去分母时，方程右边的﹣1没有乘6，结果求得方程的解为y＝2，试求a的值及其此方程的解． 【分析】根据题意得到去分母结果，把y＝2代入求出a的值，即可确定出方程的解． 【解答】解：根据题意去分母得：4y﹣2＝3y+3a﹣1， 把y＝2代入得：6＝6+3a﹣1， 解得：a， 方程为1， 去分母得：4y﹣2＝3y+1﹣6， 解得：y＝﹣3． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式11-1】（2023秋•石景山区期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．…第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：3（20x﹣3）﹣5（10x+4）＝15．…第②步 去括号，得：60x﹣9﹣50x+20＝15．…第③步 移项，得：60x﹣50x＝15+9﹣20．…第④步 合并同类项，得：10x＝4．…第⑤步 系数化1，得：x＝0.4．…第⑥步 所以x＝0.4为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 （1）第②步的依据是 　等式基本性质2　； （2）第 　③　（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 　60x﹣9﹣50x﹣20＝15　． 【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：（1）等式基本性质2； 故答案为：等式基本性质2； （2）③；60x﹣9﹣50x﹣20＝15． 故答案为：③；60x﹣9﹣50x﹣20＝15． 【点评】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． 【变式11-2】（2023秋•武安市校级期末）关于方程，嘉嘉的解法如下． 解：去分母，得18x﹣3（5x+4）＝x﹣4，…① 去括号，得18x﹣15x﹣12＝x﹣4，…② 合并同类项，得3x﹣12＝x﹣4， 3（x﹣4）＝x﹣4，…③ 两边同时除以（x﹣4），得3＝0．…④ 所以方程无解． （1）嘉嘉从第 　④　步开始出错（填序号），理由是 　两边同时除以（x﹣4）时，未考虑x﹣4＝0的情况　； （2）请正确求解该方程． 【分析】（1）根据等式的性质逐个判断即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：（1）嘉嘉从第④步开始出错（填序号），理由是两边同时除以（x﹣4）时，未考虑x﹣4＝0的情况． 故答案为：④，两边同时除以（x﹣4）时，未考虑x﹣4＝0的情况； （2）， 去分母，得18x﹣3（5x+4）＝x﹣4， 去括号，得18x﹣15x﹣12＝x﹣4， 移项，得18x﹣15x﹣x＝﹣4+12， 合并同类项，得2x＝8， 系数化成1，得x＝4． 【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 与一元一次方程的解有关的问题【两大模块十一种类型】（原卷版） 模块一 两个一元一次方程的解的关系 类型一 两个方程解相同 【典例1】（2024春•九台区月考）已知方程x﹣4＝2x﹣8与关于x的方程3a+8＝3（x+a）﹣2a的解相同，求a的值． 【变式1-1】已知关于x的方程x﹣3和3a＝3（x+a）﹣2a的解相同，求a的值． 类型二 两个方程解互为相反数 【典例2】（2022秋•禹州市期末）已知关于x的方程（x﹣1）＝5+k的解与方程（x﹣1）的解互为相反数，求k的值． 【变式2-2】已知关于x的方程（8﹣x）＝7+x的解与方程2a的解互为相反数，求a的值． 【变式2-2】（2022春•浚县月考）若方程2（x﹣1）＝1+x的解与关于x的方程2（x﹣m）x+m的解互为相反数，求m的值． 类型三 两个方程解互为倒数 【典例3】（2024春•临县月考）若方程6（x+1）＝3x﹣7的解与关于x的方程的解互为倒数，求m的值． 【变式3-1】（2021秋•高港区期中）若关于x的方程x与方程3+4x＝2（3﹣x）的解互为倒数，求m的值． 类型四 两个方程的解成倍数关系 【典例4】（2024秋•沙坪坝区期中）若关于x的方程13m+x＝59的解是关于x的方程的解的5倍．求m的值． 【变式4-1】（2024秋•伊通县期末）已知关于x的方程m4的解是关于x的方程的解的2倍，求m的值． 【变式4-2】（2023秋•通州区月考）已知关于x的方程的解是关于x的方程6x﹣1＝2x+7的解的4倍，求m的值． 类型五 两个方程的解有大小关系 【典例5】（2024秋•靖江市期中）已知方程的解比关于x的方程32的解大2，求m的值． 【变式5-1】（2023秋•海安市期中）已知方程x﹣4（x﹣1）． （1）求方程的解； （2）若上述方程的解比关于x的方程3a+8＝3（x+a）a的解大1，求a的值． 【变式5-2】（2023春•卫辉市期中）已知一元一次方程2x﹣（x﹣1）＝3（x﹣1）． （1）求该方程的解． （2）若上述方程的解比关于x的方程的解小4，求m的值． （3）在（2）的条件下，已知一个三角形的三条边的长度之比为2：4：5，最长的边比最短的边长（7+m）厘米，求这个三角形的周长． 类型六 两个方程的解有和差关系 【典例6】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【变式6-1】（2022秋•滨湖区期末）（1）若关于x的方程x﹣2（x﹣2m）＝4的解为x＝1，求m的值； （2）若关于x的方程x﹣2（x﹣2m）＝4和的解的和为12，求m的值． 【变式6-2】（2023秋•城关区期末）如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x﹣2＝0是方程x﹣1＝0的后移方程． （1）判断方程2x+1＝0是否为方程2x+3＝0的后移方程 　 　（填“是”或“否”）； （2）若关于x的方程3x+m+n＝0是关于x的方程3x+m＝0的后移方程，求n的值． （3）当a≠0时，如果方程ax+b＝0是方程ax+c＝0的后移方程，用等式表达a，b，c满足的数量关系 　 　． 【变式6-3】（2023秋•无锡期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”， （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值； 模块二 探究一元一次方程的解 类型七 特殊解问题 【典例7】若关于x的方程（k﹣2024）x﹣2022＝6﹣2024（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（　　） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【变式7-1】（2023•沙坪坝区开学）已知关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和（　　） A．﹣9 B．﹣7 C．﹣6 D．0 【变式7-2】若关于x的方程ax﹣1＝2的解是自然数，则整数a的值是 　． 【变式7-3】（2023秋•南岗区期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： 2▲1＝4×2﹣3×1＝5 1▲（﹣3）＝4×1﹣3×（﹣3）＝13 （﹣5）▲（﹣2）＝4×（﹣5）﹣3×（﹣2）＝﹣14… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： （1）这种运算方式是：m▲n＝　 　（用含m，n的式子表示）； （2）解方程3▲（2▲x）＝2▲x； （3）若关于x的方程3▲（ax﹣1）＝6的解为整数，求整数a的值； 【变式7-4】（2024秋•开福区月考）若关于x的方程（k﹣4）x＝3有正整数解，则自然数k的值是（　　） A．1或3 B．5 C．5或7 D．3或7 类型八 无解问题 【典例8】（2023秋•沙坪坝区期末）已知关于x的一元一次方程无解，则m＝　 　． 【变式8-1】（2020秋•锦江区期末）已知关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程1的解相同． （1）求m，n的值； （2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值． 类型九 无数解问题 【典例9】（2021春•杨浦区期中）已知关于x的方程2a（x﹣1）﹣（5﹣a）x＝3b有无数多个解，求常数a、b的值． 【变式9-1】已知关于x的方程3a（x+2）＝（2b﹣1）x+5有无数多个解，求a与b的值． 类型十 定解问题 【典例10】（2023秋•椒江区期中）若不论k取什么实数，关于x的方程（m，n是常数）的解总是x＝1，求m+n的值． 【变式10-1】（2024•金昌三模）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是x＝1，则a﹣b的值是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】（2021秋•闽侯县期末）已知关于x的一元一次方程2，其中a，b，k为常数． （1）当k＝3，a＝﹣1，b＝1时，求该方程的解； （2）当k＝2时，原方程有无数多个解，求此时a+4b的值； （3）若无论k为何值时，该方程的解总是x＝﹣3，求ab的值． 类型十一 错解问题 【典例11】（2024春•仁寿县期中）某同学在解关于y的方程1去分母时，方程右边的﹣1没有乘6，结果求得方程的解为y＝2，试求a的值及其此方程的解． 【变式11-1】（2023秋•石景山区期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．…第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：3（20x﹣3）﹣5（10x+4）＝15．…第②步 去括号，得：60x﹣9﹣50x+20＝15．…第③步 移项，得：60x﹣50x＝15+9﹣20．…第④步 合并同类项，得：10x＝4．…第⑤步 系数化1，得：x＝0.4．…第⑥步 所以x＝0.4为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 （1）第②步的依据是 　 　； （2）第 　 　（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 　 　． 【变式11-2】（2023秋•武安市校级期末）关于方程，嘉嘉的解法如下． 解：去分母，得18x﹣3（5x+4）＝x﹣4，…① 去括号，得18x﹣15x﹣12＝x﹣4，…② 合并同类项，得3x﹣12＝x﹣4， 3（x﹣4）＝x﹣4，…③ 两边同时除以（x﹣4），得3＝0．…④ 所以方程无解． （1）嘉嘉从第 　 　步开始出错（填序号），理由是 　 　； （2）请正确求解该方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$