精品解析：河南省开封市河南大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

河南省开封市河南大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月 期中考试数学试题 分值：150分 时长：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 过两点的直线的倾斜角是，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点坐标求斜率与斜率的定义即可得解. 【详解】因为过两点的直线的倾斜角是， 所以，解得. 故选：B. 2. 已知空间向量，.若，则（ ） A. 12 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过两向量的平行关系即可确定、值，即可求解. 【详解】因为，所以有：， 解得，，所以. 故选：A. 3. 若椭圆的焦距为2，则实数的值为（ ） A. 3 B. 3或5 C. 5或8 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】结合椭圆性质，分焦点在轴、轴上计算即可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，有，故， 当椭圆的焦点在轴上时，有，故. 故选：B. 4. 已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和点在圆外得到不等式，求出的取值范围. 【详解】由题意得且，解得. 故选：D 5. 椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等边三角形性质与离心率定义计算即可得. 【详解】设，因为为等边三角形，则，， 因为，所以椭圆的离心率为． 故选：A. 6. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距离，再利用点线距公式建立方程，解之即可. 【详解】由三角形的面积公式可得， 得，由，得， 所以为等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，解得. 故选：C 7. 如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为一组基底，表示求解. 【详解】解：以为一组基底， 则， ， ， ， ， ， ， 所以. 故选：D 8. 已知是曲线上的动点，是直线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】曲线C表示以为圆心，以1为半径的圆，先求得点关于直线的对称点，然后由求解. 【详解】解：如图所示： 曲线，即为， 表示以为圆心，以1为半径的圆， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 连接，， 则， ， 当且仅当共线时，等号成立， 所以则的最小值是， 故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A. B. 离心率为 C. 的面积为6 D. 的面积为12 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A，根据离心率定义判断B，根据A可知三角形为直角三角形，求面积可判断CD . 【详解】由，得，则， 因为是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，故A正确； 对于B，离心率为，故B正确； 对于CD，因为，所以为直角三角形，， 所以，故C正确，D错误． 故选：ABC 10. 圆和圆的交点为，则有（　　） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段的中垂线方程判断B；求出公共弦长判断C；由到的距离加上的半径判断D． 【详解】对于A，由与，两式作差可得，即， ∴公共弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆的圆心为， 圆的圆心， 由圆的性质可得的中垂线为，可得的中垂线方程为， 即，故B正确； 对于C，圆心到直线的距离，半径为， 则，故C错误； 对于D，为圆上一动点，圆心到直线的距离为，半径， 则到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD 11. 在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 过，，三点的正方体的截面面积为3 C. 当在线段上运动时，的最小值为3 D. 若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建系，由异面直线夹角向量法即可判断A, 取的中点，连接，，，确定即为截面即可判断B，由对称性得到进而可判断C, 设点关于平面的对称点为，连接，可判断当与平面的交点为时，最小，即可判断D. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， ∴， ∴与所成角的余弦值为，故A正确； 取的中点，连接，，， 则， 故梯形为过点，，的该正方体的截面， ∵，，， ∴梯形的高为， ∴梯形的面积为，故B错误； 由对称性可知，，故， 又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C正确， 设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时， 最小， 过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，，，故D错误. 故选:AC. 三、填空题：每小题5分，共15分． 12. 已知直线与直线平行，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行关系列出等式求解的值并检验即可. 【详解】因为与平行，所以，解得或. 当时，直线，直线，两直线平行. 当时，直线，直线，化简为， 此时两直线重合，不符合要求，舍去. 故答案为：1. 13. 在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量后可求线面距. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，故， 而平面，平面，故平面， 故直线FC到平面的距离为即为到平面的距离. 设平面的法向量为， 又，故，取，则， 而，故到平面的距离为， 故答案为：. 14. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据长轴及离心率列式求出得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点的坐标，最后计算面积即可. 【详解】根据题意有：，所以椭圆的方程为：， 设，则，，， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以根据正弦定理得， 因为， 所以， 即， 即． 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 ． 因为，所以①． 因为， 所以②． 联立①②可得，解得（负根舍去）， 故的面积为． 16. 已知，圆是的外接圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为,代入三点的坐标求解即可； （2）由题意可得心到直线的距离，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况分别求解即可. 【小问1详解】 解：设圆的一般方程为， 因为圆过三点， 所以，解得， 所以圆的一般式方程为． 【小问2详解】 解：由（1）可知圆心为，半径， 又被圆截得的弦长为6， 所以由垂径定理可得圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，过点， 所以的方程为，圆心到直线的距离，故满足要求． 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，又过点， 所以直线的方程为， 由点到直线的距离公式可得，解得， 直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，是AC的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角余弦值为，求直线OB与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图，连接，菱形中，由得为等边三角形， ∵是AC的中点，∴， ∵平面平面，平面平面平面， ∴平面ABC， ∵平面，∴平面平面ABC. （2） 【解析】 【分析】（1）分析得，面面垂直转化为线面垂直，由线面垂直的性质可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，表示各点坐标，计算平面与平面的法向量，利用条件求出的值，根据线面角向量公式求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面ABC， ∵，是AC的中点，∴， 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵，为等边三角形，∴. 设，则， ∴， 设平面法向量，则， 令，得， 设平面法向量，则， 令，可得， ∴，由，解得， ∴. 设直线OB与平面所成角为， ，即直线OB与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知圆的方程为. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分类讨论，先确定斜率不存在时直线是否是切线，在斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求解； （2）①设点，把已知条件用坐标表示并整理后它与（1）中圆方程相同，由此可求得； ②设，由中点得点坐标，由在圆上得关于的方程组，方程组有解转化为直线与圆有交点， 从而利用圆心到直线的距离不小于半径求得参数范围． 【小问1详解】 圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为. 过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 ①设点，则， ， ，，， 又，化简得， 为圆上任意一点，， 又，，解得，常数. ②由①知，，，点，圆， 设，是线段的中点，， 又，在圆上，即关于的方程组有解， 化简得有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省开封市河南大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月 期中考试数学试题 分值：150分 时长：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 过两点的直线的倾斜角是，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 已知空间向量，.若，则（ ） A. 12 B. 10 C. D. 3. 若椭圆的焦距为2，则实数的值为（ ） A. 3 B. 3或5 C. 5或8 D. 8 4. 已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）． A. B. C. D. 6. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 8. 已知是曲线上的动点，是直线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A. B. 离心率为 C. 的面积为6 D. 的面积为12 10. 圆和圆的交点为，则有（　　） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 过，，三点的正方体的截面面积为3 C. 当在线段上运动时，的最小值为3 D. 若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为 三、填空题：每小题5分，共15分． 12. 已知直线与直线平行，则__________. 13. 在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为______． 14. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为__________. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 16. 已知，圆是的外接圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，是AC的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角余弦值为，求直线OB与平面所成角的正弦值. 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 19. 已知圆的方程为. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $