精品解析： 湖北省老河口市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024年秋初中生期中素养综合作业 八 年 级 数 学 （本试卷共4页，满分120分） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的学校，班级，姓名，考试号填写在试题卷和答题卡上． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3、非选择题（主观题）用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 4、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一．选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将其序号填涂在答题卡上相应位置．) 1. 二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　） A. ）  B.    C.    D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 下列设计中，没有利用三角形稳定性的是（ ） A. 自行车的三角形车架 B. 自动伸缩门 C. 屋顶三角形钢架 D. 长方形门框的斜拉条 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性是解题关键．根据三角形的特性：三角形具有稳定性，逐一判断即可． 【详解】A．自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性，故不符合题意；       B．伸缩门，没有利用三角形稳定性，故符合题意； C．屋顶三角形钢架，利用了三角形的稳定性，故不符合题意； D．长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性，故不符合题意． 故选：B． 3. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段，即为三角形的一条高，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：结合选项可知，只有D选项作法正确，符合题意； 故选：D． 4. 已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】C 【解析】 【详解】根据多边形的内角和可得：（n-2）180°=540°， 解得：n=5，则这个多边形是五边形． 故选C． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边和的夹角， ． 故选：D． 6. 如图，在下列条件中，不能判定的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形判定定理中，最容易出错的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意角．已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，则所加角必须是所加边和公共边的夹角对应相等才能判定两个三角形全等．根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； B、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； C、，，，符合，和不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意； D、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 已知：在中，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． 根据等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形． 故选：B． 8. 等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于明确该三角形为钝角等腰三角形．由题意知，的内角为等腰三角形的顶角，进而可求底角． 【详解】解：∵在一个内角是的等腰三角形中，该内角必为顶角， ∴底角的度数为， 故选：A． 9. 已知点P在ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知点P在线段的垂直平分线上，对选项逐个判断即可． 【详解】解：满足PA＝PC，则点P在线段的垂直平分线上 A、由作图痕迹可得，P在线段的垂直平分线上，不符合题意； B、由作图痕迹可得，P在线段的垂直平分线上，符合题意； C、由作图痕迹可得，P在的角平分线上，不符合题意； D、由作图痕迹可得，，不在线段的垂直平分线上，不符合题意； 故选B 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及尺规作图的性质是解题的关键． 10. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【解析】 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 二．填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡的对应位置的横线上．） 11. 一个三角形的三边长均为整数，已知两边长分别为3，4，第三边长可以是____（填一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．根据三角形两边之和大于第三边确定第三边的范围，根据题意计算即可． 【详解】解：设三角形的第三边长为x， 则，即， ∵第三边的长为整数， ∴或3或4或5或6． 故答案为：2（答案不唯一）． 12. 在平面直角坐标系中，与点A（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是_____． 【答案】（-5，-1）． 【解析】 【分析】考查平面直角坐标系点的对称性质． 【详解】解：点A（m，n）关于y轴对称点的坐标A′（-m，n） ∴点A（5，-1）关于y轴对称的点的坐标为（-5，-1）． 故答案为：（-5，-1）． 【点睛】此题考查平面直角坐标系点对称的应用． 13. 如图，___度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角可得外围六个角的和等于三个三角形的内角和减去一个三角形的内角和，由此即可求解． 【详解】解：如图： 由三角形内角和定理可得： ， ， , ， 又∵，，， ∴， ∵， ， , ∴ 故答案为：． 14. 如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是___． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由在等边三角形中，，可求得，则可求得，又由，由三线合一的知识，得出，即可求得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 15. 在中，点D，E分别在上，，的平分线交于点F，的平分线交于点G，若，则的长是___． 【答案】4或6 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，等角对等边．分情况求解是解题的关键． 由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解作答即可． 【详解】解：由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解； 当在左侧时，如图1， ∵，是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在右侧时，如图2， 同理，， ∴； 综上所述，的长为4或6， 故答案为：4或6 三．解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．） 16. 如图，在中，平分，平分，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线等知识．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，由平分，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴的度数为． 17. 如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，，．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件 ，使得，并证明． 【答案】 答案不唯一，参考如下： 添加条件． 证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，可以添加条件．先根据， 得出，进而利用证明． 【详解】略 18. 如图，的高，相交于点，若，求证：． 【答案】 证明：∵ ，是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定与性质，由 ​，​是​的高，得​，然后证明，再通过全等三角形的性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 19. 如图，，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） ，， 且，， 在与， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等”是解本题的关键． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，再由即可求值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，， ． 20. 如图，在中，． （1）作的垂直平分线，分别与，相交于，两点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图即为所求作的图形． （2） 证明：如图，连接． ∵的垂直平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质． （1）分别以为圆心，大于的一半为半径画弧，得到两弧的交点，再过两个交点作直线即可； （2）连接．由的垂直平分，可得．．利再根据等角的余角相等证明，即可得．从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，于点，且的垂直平分线分别交，于，两点，连接并延长交于点 （1）求证：； （2）若，求 的度数． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴． ∴． ∵，于点， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握角平分线、垂直平分线的性质是解本题的关键，综合性较强，在解得题目过程中，巧妙设方程求值，也是种不错的解题方法． （1），且垂直平分，易得，，由， ，根据等腰三角形三线合一可得，进而可证：； （2）设，则，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，有． 解得． ∴． 22. 如图，点E，F在上，，，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中 ， ∴． ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）证明，得出，根据平行线的判定得出答案即可； （2）设，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质证明，得出，根据三角形内角和定理得出，求出x的值即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，． 在中，有． 解得． ∴． 23. 为等边三角形，点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． （1）如图1，当点D在延长线上时，交于点F， ①求证：； ②若，，求的长； （2）如图2，当点D在延长线上时，连接，若，请直接写出线段与线段的关系． 【答案】（1）①证明：，为等边三角形， ， ，．              ， ．        在和中 ， ()． ②3 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定及性质等； （1）①由可判定，即可得证；②由线段垂直平分线得垂直平分，由全等三角形的性质得，即可求解； （2）由等边三角形的性质得，由全等三角形的性质，，由线段垂直平分线的判定方法得垂直平分，由线段垂直平分线的性质得，，再由等腰三角形的性质及平行线的判定方法，即可求证； 掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 ① 略 ②，为等边三角形， ，，， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：，； ， ， ，为等边三角形， ， ， 同理可证：， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：． （1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题． 【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？ （2）如图2，请你回答老师的提问，并证明． 【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长． （3）请你解答兴趣小组提出的问题． 【答案】 （1）证明：作于点E． ∵， ∴， ∴ ∵和的平分线交于点P， ∴， ∴． （2）成立． 延长交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中 ∴． ∴． （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，并熟练应用角平分线的性质解决问题． （1）作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据角平分线的性质和平行线的性质得，再得即可得证； （3）根据平行线的性质得，则，同理得，再由，得，则有，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 同理． ∴． 由（2）可知，， ∴． ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋初中生期中素养综合作业 八 年 级 数 学 （本试卷共4页，满分120分） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的学校，班级，姓名，考试号填写在试题卷和答题卡上． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3、非选择题（主观题）用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 4、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一．选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将其序号填涂在答题卡上相应位置．) 1. 二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　） A. ）  B.    C.    D.   2. 下列设计中，没有利用三角形稳定性的是（ ） A. 自行车的三角形车架 B. 自动伸缩门 C. 屋顶三角形钢架 D. 长方形门框的斜拉条 3. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在下列条件中，不能判定的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知：在中，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A. B. C. 平分 D. 8. 等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（　　） A. B. C. D. 或 9. 已知点P在ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 二．填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡的对应位置的横线上．） 11. 一个三角形的三边长均为整数，已知两边长分别为3，4，第三边长可以是____（填一个即可）． 12. 在平面直角坐标系中，与点A（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是_____． 13. 如图，___度． 14. 如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是___． 15. 在中，点D，E分别在上，，的平分线交于点F，的平分线交于点G，若，则的长是___． 三．解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．） 16. 如图，在中，平分，平分，若，求的度数． 17. 如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，，．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件 ，使得，并证明． 18. 如图，的高，相交于点，若，求证：． 19. 如图，，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，在中，． （1）作的垂直平分线，分别与，相交于，两点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 21. 如图，在中，，于点，且的垂直平分线分别交，于，两点，连接并延长交于点 （1）求证：； （2）若，求 的度数． 22. 如图，点E，F在上，，，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的度数． 23. 为等边三角形，点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． （1）如图1，当点D在延长线上时，交于点F， ①求证：； ②若，，求的长； （2）如图2，当点D在延长线上时，连接，若，请直接写出线段与线段的关系． 24. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：． （1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题． 【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？ （2）如图2，请你回答老师的提问，并证明． 【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长． （3）请你解答兴趣小组提出的问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $