精品解析：河北省保定市第三中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

保定三中2024—2025学年度第一学期期中考试2024级1+3数学试题 考试时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项符合要求的） 1. 若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（　　） A. ±2 B. 2 C. - 2 D. 不能确定 2. 反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 6 3. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 7. 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表： X ﹣1 0 1 3 y ﹣ 3 3 下列结论： （1）abc＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； （3）16a+4b+c＜0； （4）抛物线与坐标轴有两个交点； （5）x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； 其中正确的个数为（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 8. 如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 9. 抛物线过四个点，若四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，…，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，，…，则的结果为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，则的值是_____． 12. 已知抛物线y＝x2＋bx＋4经过（－2，n）和（4，n）两点，则b的值为_____． 13. 如图，已知D、E、F分别是的边上的点，，的面积分别为1、4，四边形的面积为________． 14. 在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝_____． 15. 已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是______． 16. 已知，，，，求的最小值是_____． 三、解答题（本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． （1）求这两个数的差为0的概率；（用列表法或树状图说明） （2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请说明理由． 18. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 19. 如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G． （1）求证：． （2）求证：． 20. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． （1）求上边缘喷出水的最大射程． （2）当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 （3）为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 21. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号），并计算说明理由； ①；②；③． （2）若抛物线（，是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，w的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定三中2024—2025学年度第一学期期中考试2024级1+3数学试题 考试时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项符合要求的） 1. 若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（　　） A. ±2 B. 2 C. - 2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程两根互为相反数，得出，代入系数，即可求出答案． 【详解】∵方程的两实数根互为相反数， 设两个根为a，b， 则， ∴， 故选：B. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题关键． 2. 反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，即可判断． 【详解】解：根据题意，， 解得， 故选：D． 3. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故选：D． 4. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率 【详解】列表如下： 红 红 红 绿 绿 红 ﹣﹣﹣ （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，绿） 红 （红，红） ﹣﹣﹣ （红，红） （绿，红） （绿，红） 红 （红，红） （红，红） ﹣﹣﹣ （绿，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴， 故选：A. 5. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 6. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点， ∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD， ∴EH∥FG，EF=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 假设AC=BD， ∵EH=AC，EF=BD， 则EF=EH， ∴平行四边形EFGH是菱形， 即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形， 故选：D． 【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键． 7. 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表： X ﹣1 0 1 3 y ﹣ 3 3 下列结论： （1）abc＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； （3）16a+4b+c＜0； （4）抛物线与坐标轴有两个交点； （5）x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； 其中正确的个数为（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据表格中的数据大体画出抛物线的图象，进一步即可判断a、b、c的符号，进而可判断（1）； 由点（0，3）和（3，3）在抛物线上可求出抛物线的对称轴，然后结合抛物线的开口方向并利用二次函数的性质即可判断（2）； 由（2）的结论可知：当x＝4和x＝﹣1时对应的函数值相同，进而可判断（3）； 根据画出的抛物线的图象即可判断（4）； 由表中的数据可知：当x＝3时，二次函数y＝ax2+bx+c＝3，进一步即可判断（5），从而可得答案. 【详解】解：（1）画出抛物线的草图如图所示：则易得：a<0，b>0，c>0，∴abc＜0，故（1）正确； （2）由表格可知：点（0，3）和（3，3）在抛物线上，且此两点关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝， 因为a<0，所以，当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误； （3）∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＝4和x＝﹣1时对应的函数值相同， ∵当x=－1时，y<0，∴当x=4时，y<0，即16a+4b+c＜0，故（3）正确； （4）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，故（4）错误； （5）由表中的数据可知：当x＝3时，二次函数y＝ax2+bx+c＝3，∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（5）正确； 综上，结论正确的共有3个，故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的图象和性质以及抛物线与一元二次方程的关系，根据表格中的数据大体画出函数图象、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 8. 如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 抛物线过四个点，若四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据该抛物线的解析式可求得对称轴为直线x=1，再根据已知得y1=y2≤0，可分a＜0和a＞0，根据二次函数的性质讨论列出关于a的不等式组即可求解． 【详解】解：由题意，该抛物线的对称轴为直线， ∴两点关于对称轴x=1对称，即y1=y2， ∵四个数中有且只有一个大于零， ∴y1=y2≤0， 当a＜0时，抛物线开口向下， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，又1+ ＜3＜4， ∴y3、y4必小于0，不符合题意， ∴a＞0，则当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴y3≤0、y4＞0， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、解一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的性质，得出a＞0和y3≤0、y4＞0是解答的关键． 10. 如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，…，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，，…，则的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出P1、P2、P3、P4…的纵坐标，从而可计算出S1、S2、S3、S4…的高，进而求出S1、S2、S3、S4…，从而得出S1＋S2＋S3＋…＋Sn的值． 【详解】解：当x＝1时，P1的纵坐标为2， 当x＝2时，P2的纵坐标1， 当x＝3时，P3的纵坐标， 当x＝4时，P4的纵坐标， 当x＝5时，P5的纵坐标， … 则S1＝1×（2−1）＝2−1； S2＝1×（1−）＝1−； S3＝1×（−）＝； S4＝1×（−）＝−； … Sn＝； S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝2−1＋1−＋−＋−＋…＋−＝2−＝， ∴S1＋S2＋S3＋…＋S2022＝，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数综合题，先根据坐标求出各个阴影的面积表达式，找出规律是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将所求分式拆分为已知分式与常数的和． 将拆分为，结合已知代入计算即可． 【详解】解：， 因为，所以原式． 故答案为：． 12. 已知抛物线y＝x2＋bx＋4经过（－2，n）和（4，n）两点，则b的值为_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据（-2，n）和（4，n）可以确定抛物线的对称轴为x=1，再由对称轴的x=，即可求出b． 【详解】解：∵抛物线经过（-2，n）和（4，n）两点， ∴抛物线的对称轴为， ∴=1， ∴b=-2； 故答案为：-2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 13. 如图，已知D、E、F分别是的边上的点，，的面积分别为1、4，四边形的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明，推出，进而得到，再证明得到，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵的面积为1，的面积为4， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】设 则 且 再利用，列方程，解方程可得答案. 【详解】解：设 则 且 ， 整理得： 解得： 经检验：不符合题意，舍去，则 故答案为： 【点睛】本题考查的是黄金分割的含义，一元二次方程的解法，分式方程的解法，掌握“黄金分割比的含义”是解本题的关键. 15. 已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的计算法则是解题的关键； 根据不等式的计算法则即可求解； 【详解】解：关于的不等式无解， 当时， 无解， 即，无解，满足题意； 当时， 无解， 即恒成立， ， 解得：， 综上，实数的取值范围； 故答案为： 16. 已知，，，，求的最小值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及二次函数的最值，利用根与系数的关系找出是解题的关键．由题意可知m、n是关于x的方程的两个根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】∵，，且， ∴m、n是关于x的方程的两个根， ∴、， ∴ ∵， ∴当时，取最小值， ∴的最小值． 故答案为6． 三、解答题（本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． （1）求这两个数的差为0的概率；（用列表法或树状图说明） （2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 这样的规则不公平，理由如下： 两个数的差为非负数的情况有9种， P（甲获胜），P（乙获胜）， P（甲获胜）P（乙获胜）， 这样的规则不公平． 【解析】 【分析】本题考查的是概率的应用—游戏公平性的判断，熟练掌握概率的计算公式：概率所求情况数总情况数，并通过计算每个参与者获胜的概率是否相等来判定游戏公平性是解题的关键． （1）画出列表法列出所有可能，得到12种等可能的情况，两个数的差为0的情况占3种，依据概率公式计算即可得出结果； （2）利用概率公式分别计算甲、乙获胜的概率，再判断概率是否相等，相等即公平，否则不公平，即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的情况，其中两个数的差为0的情况占3种， P（两个数的差为0）． 答：这两个数的差为0的概率为． 【小问2详解】 略 18. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，一元一次不等式组及方程的应用， （1）将不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可； （2）将不等式的左边因式分解，再结合平方的非负性求解即可； （3）先将不等式右边的常数移项至左边进行分式减法运算，再根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号（注意分式的分母不等于零），从而转化为两个一元一次不等式组求解即可； 掌握有理数的乘法运算法则（两数相乘，同号得正，异号得负）、除运算法则（两数相除，同号得正，异号得负）是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴①或②， 解不等式组①，得：， 解不等式组②，得：空集， ∴原不等式的解集为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵对于任意实数，有， ∴若，则， 解得：， ∴原不等式的解集为； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴①或②， 解不等式组①，得：， 解不等式组②，得：空集， ∴原不等式的解集为． 19. 如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． （2） 证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． （1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可； （2）先证≌，得出，再证∽，得出成比例的线段即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． （1）求上边缘喷出水的最大射程． （2）当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 （3）为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 【答案】（1）8米 （2）不能，理由： 当时，根据题意得，， ∴当时，， ∵， ∴当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键． （1）求得顶点，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）当时，根据题意得，，再算出当时，的值即可判定． （3）根据，求出点的坐标，利用题意可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得点A横坐标为2，纵坐标为， 所以上边缘抛物线的顶点为， 设：， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为米； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得(舍去)， ∴的最大值为， 当时，， 解得(舍去)， 当下边缘抛物线经过点时，的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 21. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号），并计算说明理由； ①；②；③． （2）若抛物线（，是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，w的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． （1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）联立，依题意得出，得出，当时，的最小值，根据题意，即可求解； 【小问1详解】 解：①联立， 解得：， 一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ②联立， 即， 解得：，， 故②不合题意； ③联立， 解得：， 二次函数图象上只有一个“纵三倍点” ，故③正确； 综上，正确的是①③； 故答案为：①③ 【小问2详解】 解：联立， 即， 依题意得：， ， ， 当时，的最小值为， 当时，的最小值恰好等于， 当时，即，当时，有最小值， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时存在常数，使得当时，的最小值恰好等于， 当，即时，的最小值等于， 当时，， 即， 解得：（舍去），， 综上所述，的值为或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $