北京市广渠门中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

北京市广渠门中学2024—2025学年度第一学期期中试题 高二年级数学学科 时间：120分钟 2024.11 本试卷共2页，150分．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知直线与平行，则系数（ ） A. B. C. D. 2. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 4. 若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 5. 已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.若，，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中是的五等分点，则转播台应建在（ ） A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 直线与圆的位置关系是________． 12. 已知圆与圆内切，则______. 13. 已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝____. 14. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 . 15. 定义：若对平面点集中的任意一点，总存在正实数，使得集合，则称为一个“开集”．给出下列集合： ①；②； ③；④． 其中为“开集”的是__________． 三、解答题（共85分） 16. 已知直线：． （1）当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 17. 已知椭圆及直线． （1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； （2）当时，求直线与椭圆相交所得的弦长； （3）求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，．点E是棱PA的中点，连接OE，OP． （1）求证：平面PCD； （2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长． 条件①：平面平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知圆和圆，直线与圆相切于点，圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为． （1）求直线的方程； （2）求圆的方程． 20. 椭圆的左顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程. 21. 已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数. （1）若，求集合和，以及的值； （2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合 ①求证：； ②求的最小值. 北京市广渠门中学2024—2025学年度第一学期期中试题 高二年级数学学科 时间：120分钟 2024.11 本试卷共2页，150分．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（每小题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】相离 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】-2 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】②④ 三、解答题（共85分） 【16题答案】 【答案】（1）； （2） 由直线可改写为，联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证. （3）. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）且. 【18题答案】 【答案】（1） 因为底面是菱形，所以是中点， 因为E是棱PA的中点，所以， 又因为平面PCD, 平面PCD, 所以平面PCD. （2） 【19题答案】 【答案】（1）；（2） 【20题答案】 【答案】（1）； （2）或 【21题答案】 【答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3； （2）①显然. 若A∪B中含有一个不在S中的元素，则，即 . 若，且，则 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素. 所以. 因为， 所以，即. 综上，. ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $