专题27.2 相似多边形（3大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题27.2 相似多边形（3大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】相似图形 把形状相同的图形叫做相似图形.相似图形之间的互相变换称为相似变换. 如图（1）（2） 图1 图2 【要点说明】 （1）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； （2）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关. 【知识点2】相似多边形的性质 1.相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形； 2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比； 3.性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似多边形对应对角线的比等于相似比； (3)相似多边形周长的比等于相似比； (4)相似多边形面积的比等于相似比的平方. 【知识点3】相似多边形的判定 如果两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形相似. 【题型目录】 【题型1】相似图形的认识...............................................2 【题型2】相似多边形的性质.............................................2 【题型3】相似多边形的性质与判定.......................................3 【题型4】相似多边形的性质与判定综合...................................4 【题型5】直通中考.....................................................5 【题型6】拓展延伸.....................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】相似图形的认识 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？ 【变式1】（21-22九年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，能够相似的一组图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是 【题型2】相似多边形的性质 【例2】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，四边形四边形，求角的大小和的长度． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 【题型3】相似多边形的判定 【例3】（18-19九年级上·山东青岛·课后作业）如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以2cm/s的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论．    【变式1】（24-25九年级上·河南南阳·期中）在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（    ） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 【变式2】（2021·江苏无锡·中考真题）下列命题中，正确命题的个数为 ． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 【题型4】相似多边形的性质与判定综合 【例4】（24-25九年级上·河南郑州·期中）某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）． (1)设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）； (2)若休闲区的总面积为，求甬道的宽度； (3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由． 【变式1】（20-21九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 【变式2】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形．    （1）若矩形与矩形相似，则的长是 ； （2）若矩形与矩形相似（两矩形全等的情况除外），则的长是 ． 【题型5】直通中考 【例1】（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（    ） A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16 【例2】（2019·四川内江·中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则 ． 【题型6】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·山东淄博·期末）将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.2 相似多边形（3大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】相似图形 把形状相同的图形叫做相似图形.相似图形之间的互相变换称为相似变换. 如图（1）（2） 图1 图2 【要点说明】 （1）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； （2）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关. 【知识点2】相似多边形的性质 1.相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形； 2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比； 3.性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似多边形对应对角线的比等于相似比； (3)相似多边形周长的比等于相似比； (4)相似多边形面积的比等于相似比的平方. 【知识点3】相似多边形的判定 如果两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形相似. 【题型目录】 【题型1】相似图形的认识................................................2 【题型2】相似多边形的性质..............................................3 【题型3】相似多边形的性质与判定........................................5 【题型4】相似多边形的性质与判定综合....................................7 【题型5】直通中考.....................................................10 【题型6】拓展延伸.....................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】相似图形的认识 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？ 【答案】③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同 【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形是指形状相同的图形，根据题中的图形逐个判断即可得到答案，熟记相似图形定义是解决问题的关键． 解：③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同． 【变式1】（21-22九年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，能够相似的一组图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 解：A、对应边的比值不相等，对应角不对应相等，不符合相似形的定义，故错误； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故正确; C、形状不同，不符合相似形的定义，故错误； D、形状不同，不符合相似形的定义，故错误． 故选：B． 【点拨】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 【变式2】（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是 【答案】②③⑤ 【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质、圆的性质逐一进行判断即可． 解：①所有的等腰三角形都相似，错误，如等腰锐角三角形与等腰直角三角形不相似； ②所有的正三角形都相似，正确； ③所有的正方形都相似，正确； ④所有的矩形都相似，错误； ⑤所有的圆都相似，正确， 故答案为：②③⑤． 【点拨】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般． 【题型2】相似多边形的性质 【例2】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，四边形四边形，求角的大小和的长度． 【答案】，，． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和，利用相似多边形的性质：对应边的比相等，对应角相等，即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 解：∵四边形四边形， ∴，，， ∴， 解得， 在四边形中，． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例． 先由折叠可得，再根据矩形DMNC与矩形ABCD相似得出矩形对应边的比例式，求出AB的长即可． 解：由折叠可得， ∵矩形， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 解：设， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 【题型3】相似多边形的判定 【例3】（18-19九年级上·山东青岛·课后作业）如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以2cm/s的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论．    【答案】运动或能使矩形与矩形相似，证明见解析 【分析】设运动时间能使矩形与矩形相似，分是矩形的长和是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可． 解：设运动时间能使矩形与矩形相似， 由题意或， 解得：或． 当时，， ∵， 又∵与都是矩形， ∴矩形与矩形相似． 同理可证当时矩形与矩形相似． 【点拨】本题考查了相似多边形的判定，进行分类讨论是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·河南南阳·期中）在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（    ） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 解：如图所示， 据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确． 乙：设原矩形边长为，． 向外扩张一个单位后边长变为，． 则 ∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确； 丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故丙正确， 故选：B． 【变式2】（2021·江苏无锡·中考真题）下列命题中，正确命题的个数为 ． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 【答案】1 【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断． 解：所有的正方形都相似，所以①正确； 所有的菱形不一定相似，所以②错误； 边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误； 对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误； 故答案是：1． 【点拨】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键． 【题型4】相似多边形的性质与判定综合 【例4】（24-25九年级上·河南郑州·期中）某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）． (1)设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）； (2)若休闲区的总面积为，求甬道的宽度； (3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)甬道的宽度为 (3)不能满足其要求，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似多边形的性质； （1）设甬道宽度为，根据图形可得，，即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，即可求解； （3）根据相似多边形的性质，对应边相等列出比例式，进行计算即可求解． 解：（1）设甬道宽度为，依题意， ∴； （2）根据题意得，， 解得（不合题意，舍去）． 答：甬道的宽度为． （3）假设能满足要求，则， 解得， 因为不符合实际情况，所以不能满足其要求． 【变式1】（20-21九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 【答案】B 【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可． 解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为， 要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可， ∴． 故选：B． 【点拨】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形．    （1）若矩形与矩形相似，则的长是 ； （2）若矩形与矩形相似（两矩形全等的情况除外），则的长是 ． 【答案】 2或8 【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质．根据相似写出比例关系是解题的关键． （1）由矩形的性质可知，，设，则，由矩形与矩形相似，分当时，当时，两种情况求出满足要求的解即可； （2）由矩形与矩形相似，可知，即，计算求出满足的解即可． 解：（1）∵矩形， ∴，， 设，则， ∵矩形与矩形相似， ∴当时，即，解得（舍去）； 当时，即，解得； 综上，， 故答案为：； （2）∵矩形与矩形相似， ∴，即，整理得，，解得或， ∴的值为2或8； 故答案为：2或8． 【题型5】直通中考 【例1】（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（    ） A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16 【答案】D 【分析】过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比为OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根据在反比例函数y图象在第二象限，即可算出k的值． 解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F， ∵D点在双曲线y上， ∴S矩形OEDF=|xy|=|k|， ∵D点在矩形的对角线OB上， ∴矩形OEDF∽矩形OABC， ∴， ∵S矩形OABC=36， ∴S矩形OEDF=16， ∴|k|=16， ∵双曲线y在第二象限， ∴k=-16， 故选：D． 【点拨】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k|． 【例2】（2019·四川内江·中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则 ． 【答案】． 【分析】根据题意利用正方形的性质求出是等腰直角三角形，设，则，，根据题意列出方程即可解答 解：设，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ， ∵，， ∴， ， ∴， 故答案为． 【点拨】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，解题关键在于求出是等腰直角三角形 【题型6】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，根据矩形的性质求出，利用相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律即可求解，根据相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律是解题的关键． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， 矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线， ∴， 故选：． 【例2】（23-24八年级下·山东淄博·期末）将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可． 解：如图，设． 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵剩下的平行四边形与原来平行四边形相似， ∴对应边成比例， 分两种情况讨论： ①， ∴， 设，分子分母同时除以，得：， 解得：； ②， ， 设，则：， 解得：， 两个答案都满足， 综上：平行四边形的相邻两边与的比值是或． 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$