专题27.1 成比例线段（4大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题27.1 成比例线段（4大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】比例线段 如果选用同一长度单位的两条线段a、b长分别是m和n，就说这两条线段的比是a:b=m:na或写成和数的比一样，两条线段的比 a:b中a叫比的前项，b叫比的后项. 【要点说明】 1. 若a:b=k，则说明a是b的k倍，由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数； 2. 求经时两条线段的长度单位要一致； 3. 经例尺就是图上长度与实际长度的比. 【知识点2】成比例线段 1. 比例线段：四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 即：已知四条线段a、b、c、d，如果那么a、b、c、d叫做组成比例线段的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项. 2.比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即a：b=b：c或那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 【要点说明】 已知四条线段a、b、c、d成比例，要注意位置不能随意颠倒. 【知识点3】比例的基本性质 1.比例的基本性质：如果；如果ad=bc，那么 2.推论 （1）, （2）; （3）合比性质：; （4）等比性质：; 【知识点4】黄金分割 黄金分割：如图，将一条线段AB分割成长短两条线段AP、BP(AP>BP),若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比,即,（此时线段AP是线段PB，AB的比例中项)，经计算，这一比值等于则称这种分割叫黄金分割，点P 点P叫做线段AB的黄金分割点，称为黄金分割比，特别注意一条线段的黄金分割点有两个. 【要点说明】 1黄金三角形：在等腰三角形中，底和腰（或腰和底）之比为的等腰三角形称为黄金三角形； 2.黄金矩形：在矩形中，宽和长之比为 的矩形称为黄金矩形。 知识点与题型目录 【题型1】比例线段.....................................................3 【题型2】成比例线段...................................................3 【题型3】比例的性质...................................................3 【题型4】黄金分割.....................................................3 【题型5】直通中考.....................................................4 【题型6】拓展延伸.....................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】比例线段 【例1】已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 【变式1】（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【变式2】（14-15九年级下·全国·期中）已知，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c＝ ． 【题型2】成比例线段 【例2】（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【变式1】（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知，点C在线段上，是，的比例中项，则的长 ． 【题型3】比例的性质 【例3】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）若，a，c不为零则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·期中）若，，则 ． 【题型4】黄金分割 【例4】（24-25八年级上·上海普陀·期中）线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度． 【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 ．（结果保留根号） 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型5】直通中考 【例1】（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【例2】（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【题型6】拓展延伸 【例1】（20-21九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则          【例2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.1 成比例线段（4大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】比例线段 如果选用同一长度单位的两条线段a、b长分别是m和n，就说这两条线段的比是a:b=m:na或写成和数的比一样，两条线段的比 a:b中a叫比的前项，b叫比的后项. 【要点说明】 1. 若a:b=k，则说明a是b的k倍，由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数； 2. 求经时两条线段的长度单位要一致； 3. 经例尺就是图上长度与实际长度的比. 【知识点2】成比例线段 1. 比例线段：四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 即：已知四条线段a、b、c、d，如果那么a、b、c、d叫做组成比例线段的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项. 2.比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即a：b=b：c或那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 【要点说明】 已知四条线段a、b、c、d成比例，要注意位置不能随意颠倒. 【知识点3】比例的基本性质 1.比例的基本性质：如果；如果ad=bc，那么 2.推论 （1）, （2）; （3）合比性质：; （4）等比性质：; 【知识点4】黄金分割 黄金分割：如图，将一条线段AB分割成长短两条线段AP、BP(AP>BP),若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比,即,（此时线段AP是线段PB，AB的比例中项)，经计算，这一比值等于则称这种分割叫黄金分割，点P 点P叫做线段AB的黄金分割点，称为黄金分割比，特别注意一条线段的黄金分割点有两个. 【要点说明】 1黄金三角形：在等腰三角形中，底和腰（或腰和底）之比为的等腰三角形称为黄金三角形； 2.黄金矩形：在矩形中，宽和长之比为 的矩形称为黄金矩形。 知识点与题型目录 【题型1】比例线段.....................................................3 【题型2】成比例线段...................................................4 【题型3】比例的性质...................................................6 【题型4】黄金分割.....................................................7 【题型5】直通中考.....................................................9 【题型6】拓展延伸....................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】比例线段 【例1】已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 【答案】(1)；(2)直角三角形． 【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解； （）利用勾股定理逆定理即可判断求解； 本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键． 解：（1）设，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，； （2）∵，， ∴， ∴为直角三角形． 【变式1】（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，、比例尺的定义等知识点，根据比例尺的定义列出算式是解题的关键． 根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 解：这段高速公路的实际长度是．故大桥的实际长度是55千米． 故选：D． 【变式2】（14-15九年级下·全国·期中）已知，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c＝ ． 【答案】14 解：令(k≠0)，则a＝5k，b＝7k，c＝8k，由3a－2b＋c＝9得15k－14k＋8k＝9，∴k＝1，∴2a＋4b－3c＝10k＋28k－24k＝14． 【题型2】成比例线段 【例2】（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 解：（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 【变式1】（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 解：∵线段成比例， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知，点C在线段上，是，的比例中项，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项的定义，首先设，由线段，可求得的值，又由是，的比例中项，列方程即可求得线段的长． 解：∵，点C在线段上， ∴设，则， ∵是，的比例中项， ∴， 即， 整理得 解得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型3】比例的性质 【例3】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】(1)； (2)，，． 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）设，得到，，，代入计算即可； （2）根据题意构建方程求出的值，进一步计算即可求解． 解：（1）设， 则，，， ； （2）， ， ， ，，． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）若，a，c不为零则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查比例性质的变形，根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定成立的选项即可 解：A.∵，∴，正确，不符合题意； B. ∵，∴，∴，正确，不符合题意； C. ∵，∴，∴，∴，∴，正确，不符合题意； D.当时，原式不成立，故选项D符合题意， 故选：D 【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由比例式可得，，，代入代数式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【题型4】黄金分割 【例4】（24-25八年级上·上海普陀·期中）线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键． 设，根据点是线段的黄金分割点得出，解方程即可求解． 解：设，则 ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，设C点为的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当时，米；当时，米，则米，从而确定她至少走的路程． 解：设C点为的黄金分割点， 当时，如图， 根据黄金分割点的定义得，， 即，， 整理得，， 解得，，（舍去）， ∴米； 当时，同理可得，米， ∴米， ∵ ∴主持人至少走米才最理想． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的知识，理解并掌握黄金分割点的定义和性质是解题关键．设，则，利用黄金分割点可以得到成比例线段，可知，代入数值并整理，解方程即可获得答案． 解：∵两点都是线段的黄金分割点， 设，则， ∴， ∴， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴的长为． 故答案为：． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型5】直通中考 【例1】（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可． 解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是， ∴，则， 故答案为：． 【例2】（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】+/0.6875 【分析】设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求． 解：设，则，，， ． ，，为非负实数， ， 解得：． 当时，取最大值，当时，取最小值． ， ． ． 故答案为： 【点拨】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设是解题的关键． 【题型6】拓展延伸 【例1】（20-21九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则          【答案】5 【分析】根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线， 得出，进而得出②，两式相加即可得出结论． 解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴ ∴ ∴，即①； ∵CE是∠ACB的外角平分线， ∴ ∴，即②； ①+②，得． 故答案为：5． 【点拨】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键． 【例2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 【答案】(1)的长度为黄金分割数； (2) 【分析】本题考查了黄金分割的定义； （1）设，根据题意列出方程，进而根据黄金分割数的定义，即可求解． （2）根据（1）可得，，即可求解． 解：（1）∵线段的长为1，线段上的点，满足关系式． 设，则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴的长度为黄金分割数； （2）由（1）可得的长是的长的一个黄金分割数，即，的长是的长的一个黄金分割数，即， ……以此类推，， 由（1）可得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$