精品解析：安徽省阜阳市第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题

阜阳一中2027届高一上学期期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 命题人：韩亚男 审题人：姚孝猛 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 6. 若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（    ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（    ） A. B. 的值域为 C. 是R上的减函数 D. 函数图象关于点对称 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11. 若定义域为，对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 是倒数函数 B. 是倒数函数 C. 若在上是倒数函数，则 D. 若存在，使得在定义域上是倒数函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是______. 13. 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________. 14. 若函数的表达式为，且存在最小值，则a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）当，时，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）对任意，函数恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集. 17. 某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入万元，文创作品的销售量可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元． （1）求该文旅公司在旅游季增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； （2）当为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？ 18. 已知函数定义域为，函数． （1）解不等式； （2）若存在两个不等的实数a，b使得，且，求实数m的取值范围． 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围； （3）试比较和的大小， 并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜阳一中2027届高一上学期期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 命题人：韩亚男 审题人：姚孝猛 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】， 由指数函数的性质可得， 所以. 故选：D. 2. 命题“，”的否定为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】根据全称量词命题的否定知“，”的否定为“，”， 故选：A 3. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】若为幂函数，则，解得或， 因当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意. 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的充要条件． 故选：B. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】ACD选项可以根据排除法解决，B选项根据不等式的性质判断. 【详解】A选项，取，满足，但是，A选项错误； B选项，显然，则，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以可得，，B选项正确； C选项，取，，，此时，C选项错误； D选项，若，则，D选项错误. 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项. 【详解】设，则， ∴函数为奇函数，选项B错误. 当时，， 由得，， ∴，∴，CD错误，选项A符合要求. 故选：A. 6. 若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知变形为，作出，，直线l图象，由指数函数性质结合图象可得解. 【详解】由已知得，易知， 设直线l：，作出，，直线l图象， 如图：当时，，， 当时，，， 所以不可能成立， 故选: 7. 已知函数的定义域为，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的对称性、单调性、图象等知识求得不等式的解集. 【详解】依题意，函数的定义域为， 所以的图象关于直线对称， ，当时，， 所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 对于不等式，即， 设，的开口向上，对称轴为直线， ， ， 由此画出的大致图象、的图象如下图所示， 由图可知的解集为. 故选：D 8. 从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的对称性，然后根据函数的对称性确定根，从而列出关于的方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为， 所以关于对称，所以的根应成对出现， 又因为的方程恰有三个不同的实数根且， 所以该方程的一个根是，得，且， 所以，由得， 当，即，即时，，① 则，② 由①②得，解得，所以； 当，即，即时，，③ ，④ 由③④得，即， 解得，此时，不合题意，舍去， 综上，. 故选：B. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（    ） A. B. 的值域为 C. 是R上的减函数 D. 函数图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数性质及复合函数单调性判断A、B、C，由是否成立判断D. 【详解】由，A正确； 由的值域是，故的值域是，B错误； 由恒正且在R上递增，故是R上的减函数，C正确； 由于，D正确． 故选：ACD 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，平方后得到，故，B错误；C选项，将3替换为，变形得到，利用基本不等式求出最小值；D选项，化简得到，由基本不等式“1”的代换得到最小值 【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 故，故B错误. C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ， 其中，，，故， 所以 ， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 11. 若定义域为，对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 是倒数函数 B. 是倒数函数 C. 若在上是倒数函数，则 D. 若存在，使得在定义域上是倒数函数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】翻译题目可得在定义域上是“倒数函数”当且仅当，其中的值域、的值域分别为，对于AB，直接根据等价命题判断即可，对于C，首先求得，根据倒数函数的定义可得（1）且（2），解出即可判断；对于D，对进行适当划分并分类讨论，由必要性得，反过来验证充分性是否成立即可. 【详解】由题意对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”， 则在定义域上是“倒数函数”当且仅当对任意，存在唯一，使得； 即当且仅当的值域是的值域的子集， 定义的值域、的值域分别为， 所以在定义域上是“倒数函数”当且仅当； 对于A，的值域为，而的值域为，显然满足，故A正确； 对于B，由对勾函数性质可得，的值域为， 而的值域为，不满足，故B错误； 对于C，由题意在上是倒数函数， 首先当时，单调递减，此时， 由倒数函数定义可知，不包含0，即（1）； 从而在时的值域为， 由题意， 所以要满足题意，还需满足（2）； 只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当，解得，故C正确； 对于D，必要性：情形一：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形二：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形三：当时，注意到的对称轴为，则， （i）当时，， 由二次函数性质可知存在使得，即此时， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； （ii）当时，由二次函数性质可知， 即此时，注意到， 若在定义域上是倒数函数， 首先，其次结合，可得应该满足； 充分性：，有， 此时的值域为，，， 故存在，使，此时存在两个，使，不合题意，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决C选项的关键是要依次得出（1）以及（2），解决D选项的关键在于先由必要性求参数，再验证充分性即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围即可． 【详解】由题设，可得，则. 故答案为： 13. 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致. 【详解】在上单调递增， 在单调递减， 则，即， 同时 需满足，即， 解得， 综上可知 故答案为： 【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题. 14. 若函数的表达式为，且存在最小值，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】若，，∴，符合题意； 若，当时，单调递增，当时，， 故没有最小值，不符合题目要求； 若，当时，单调递减，， 当时，， ∴或，解得. 综上所述，a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）当，时，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将代入集合，解出，从而求出.再求出，与集合一起计算出； （2）解出集合，由得，由子集关系可求得参数的范围. 【详解】（1）当时，，即 解得，即，则 ， 又或， ； （2）由解得， 又，，即， 由得， ，， ，即的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题考查了指数不等式的求解，以及集合的运算，由包含关系求参数范围.其中转化为是一个关键，再由其求出参数范围. 16. 已知函数. （1）对任意，函数恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）通过转换主参变量的方法来列不等式，从而求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集. 【小问1详解】 依题意，恒成立， 恒成立， 又因为恒大于0， 所以， 即. 【小问2详解】 ， 当时，，由，解得： 当时，令，解得. 当时，，即由，解得； 当时，，即，解得或 当时，，由，解得； 当时，，即，由，解得或 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：在解题过程中，利用不等式恒成立条件，转化主参变量进行推导，利用分类讨论法时，要做到不重不漏，确保所有可能的情况都得到分析． 17. 某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入万元，文创作品的销售量可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元． （1）求该文旅公司在旅游季增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； （2）当为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】（1） （2）当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元. 【解析】 【分析】（1）由利润公式，结合与的函数关系式，分段写出函数解析式； （2）根据（1）的结果，分段求函数的最值，再比较即可求解. 【小问1详解】 本季度增加的利润， 当时，， 当时，， 所以该公司增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系式为； 【小问2详解】 ， 当时，， 当，即时，等号成立， 当时，是减函数，当时，取得最大值16， 因为，所以当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元. 18. 已知函数定义域为，函数． （1）解不等式； （2）若存在两个不等的实数a，b使得，且，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合函数的单调性和奇偶性求解即可； （2）由已知结合函数的单调性及奇偶性可得，进而推导出代，令，则代入化简可得，令，只需即可. 【小问1详解】 函数定义域为，关于原点对称， ，所以易知，在上单调递增， 因为，是奇函数， 由可得， 所以，解得：. 故不等式的解集为：. 【小问2详解】 由可得， 所以，不妨设，则， 因为，令，则， 所以， ，所以， 令， 因为，所以， 所以， 所以，所以 所以实数m的取值范围为：. 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围； （3）试比较和的大小， 并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有. 【答案】（1）是，理由如下： 对任意的，且， ，. 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”. （2） （3），证明如下： 对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以.   此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据“L函数”的定义进行判断即可. （2）根据“L函数”的定义把问题转化成关于恒成立的问题，求的取值范围. （3）先用作差法证明，再分情况讨论，根据“L函数”的定义证明. 【小问1详解】 函数是函数在上的“L函数”，理由略； 【小问2详解】 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得. 【小问3详解】 因为，，所以. 所以当时，. 当 时，. 综上：. 证明略. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄清楚“L函数”的定义，注意不能转化成两个函数的值域的包含关系分析问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $