第六章《幂函数、指数函数和对数函数》同步单元必刷卷（培优卷）-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

第六章《幂函数、指数函数和对数函数》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式. 【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2． 当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意； 当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1． 不等式化为， 函数在和上单调递减， 故或或，解得或． 故应选：D． 2．若函数在R单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数为单调函数，保证两段都是单调函数，考虑端点即可. 【详解】若函数在R单调递增, 则，解得. 若函数在R单调递减, 则，无解 综上所得，实数a的取值范围是. 故选：B. 3．函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断. 【详解】方法一：因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选:D. 方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除； 又，所以排除A. 故选：D. 4．已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可. 【详解】由题意有，可得，其定义域为R， 且，则函数为奇函数， 所以. 故选：A. 5．已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 7．已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得出，分析函数的单调性，可得出，即可得出，结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数， ，因为，其中， 所以，，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出，将所求代数式转化为以为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理. 8．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在单调递增，进而关于直线对称，且在单调递增，结合条件可得，解不等式即得. 【详解】因为的定义域为R，又，故函数为偶函数， 又时， ，单调递增，故由复合函数单调性可得函数在单调递增，函数在定义域上单调递增， 所以在单调递增， 所以， 所以关于直线对称，且在单调递增． 所以， 两边平方，化简得，解得． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而即得. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数，则（    ） A．的图象经过点和 B．当的图象经过点时，为奇函数 C．当的图象经过点时，为偶函数 D．当时，存在使得 【答案】BC 【分析】利用幂函数的的性质一一判断求解即可. 【详解】根据幂函数的图象性质可知，当时，幂函数不经过点，故A错误； 当的图象经过点时，， 因为经过点， 所以时，的定义域为，时，的定义域为，都关于坐标原点对称， 又， 所以为奇函数，B正确； 当的图象经过点时，， 因为经过点， 所以时，的定义域为，时，的定义域为，都关于坐标原点对称， 又， 所以为偶函数，C正确； 当时，在单调递增， 所以，D错误， 故选：BC. 10．已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，根据题设得真数不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得.对于B，直接代入求解即可.对于C ，根据，求解即可.对于D ,根据对数型函数的单调性和真数大于零即可解得. 【详解】对于A，要使定义域为R，只需恒成立， 所以判别式，所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A对 对于B，若， 即，整理得，得， 此时，故B错； 对于C，，因为与m无关，所以过定点（1,2),故C正确； 对于D，若在上单调递减，只需函数在上递减，且，即，解得，故D对. 故选：ACD 11．设函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数的最大值为3 D．函数的最小值为0 【答案】AD 【分析】在同一坐标系作出和的图象如图所示，结合题意可得分段函数的图像与解析式，根据图象和解析式逐项分析判断. 【详解】在同一坐标系作出和的图象如图所示，    当时，令，解得，可求得； 当时，令，解得，可求得； 由题意可知：，其图象是图中粗线部分. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：当时，，显然，故B错误； 对于选项C、D：由题可知，函数有最小值0，无最大值，故C错误，D正确. 故选：AD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，易得函数为奇函数，且为增函数，则不等式，即为，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】令， 因为，所以函数为奇函数， 由函数都是增函数，可得为增函数， ， 则不等式， 即为，即， 即， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．已知函数是偶函数，且在区间上是增函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由与图象的平移关系，可得的对称性与单调性，利用单调性解抽象不等式即可. 【详解】因为函数是偶函数，且在区间上是递增增函数， 而函数图象可由函数向右平移个单位得到， 故函数关于直线对称，且在区间上是递增增函数， 由，且， 得，即，解得. 不等式的解集为. 故答案为：. 14．若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为 ． 【答案】1 【分析】令，转化问题为，进而根据函数的单调性求出，转化问题为，即可求解． 【详解】解：， ， ，， 令， 若存在使得不等式成立， ， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， ， 即， ， 解得：， ， 实数的最大值为1， 故答案为：1． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．若函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数m的值； (2)若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 【答案】(1)1 (2)①在区间上单调递增，证明见解析；② 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）①根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； ②利用①的结论求解抽象不等式即得. 【详解】（1）由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1. （2）①，在区间单调递增.证明如下： 任取，则， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. ②由①知，在区间单调递增， 又由可得：，解得解得，所以实数t的取值范围是. 16．已知定义在R上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)是奇函数 (2)或 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明； （2）根据单调性的性质可得是R上减函数，利用奇偶性结合单调性分析求解； （3）根据指数函数性质结合不等式运算可得的值域，由恒成立问题可得，换元设，结合二次函数的最值运算求解. 【详解】（1）因为定义域是R，且， 所以是奇函数. （2）设，则， 因为在R上递增，且在上递减， 所以是R上减函数， 又因为在R上是奇函数， 则可转化为， 且在R是减函数，则，整理得， 解得或，可得或， 所以不等式的解集为或. （3）由题意可得： 因为，即，则，可得， 所以的值域是， 若，，使成立，只需， 设，， 则 可知在上单调递增， 可知：，即时，取到最大值为， 所以，解得， 所以实数m的取值范围. 17．已知函数是偶函数. (1)求的值; (2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数的性质即可求解的值； （2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为是偶函数， 所以， 即， ， ， ， ， ， ， ， 所以，即. （2）， 因为对任意的 ，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围为. 18．设函数，. (1)求函数的值域； (2)设函数，若对，，，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式求函数值域； （2）将问题转化为的值域为值域的子集求解. 【详解】（1）∵，又∵，， ∴，当且仅当，即时取等号， 所以， 即函数的值域为. （2）∵， 设，因为，所以，函数在上单调递增， ∴，即， 设时，函数的值域为A.由题意知， ∵函数 ①当，即时，函数在上递增， 则，即 ，∴ ②当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者， 而且，不合题意， ③当，即时，函数在上递减， 则，即 ，满足条件的不存在， 综上所述，实数a取值范围为. 【点睛】对于双变量双函数类似，，的问题转化为值域包含值域的问题. 19．已知函数. (1)若，求在区间上的值域； (2)若方程有实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. （2）由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. （3）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章《幂函数、指数函数和对数函数》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若函数在R单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 4．已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 5．已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数，则（    ） A．的图象经过点和 B．当的图象经过点时，为奇函数 C．当的图象经过点时，为偶函数 D．当时，存在使得 10．已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 11．设函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数的最大值为3 D．函数的最小值为0 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 13．已知函数是偶函数，且在区间上是增函数，则不等式的解集为 . 14．若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．若函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数m的值； (2)若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 16．已知定义在R上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 17．已知函数是偶函数. (1)求的值; (2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 18．设函数，. (1)求函数的值域； (2)设函数，若对，，，求实数a取值范围. 19．已知函数. (1)若，求在区间上的值域； (2)若方程有实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$