第六章《幂函数、指数函数和对数函数》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

第六章《幂函数、指数函数和对数函数》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若幂函数在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果. 【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以且， 由，得或， 当时，，满足题意； 当时，足，不符合题意. 综上. 故选：A. 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得. 【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 3．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 4．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的单调性列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】函数， 若在上为单调递增函数， 则，解得； 若在上为单调递减函数， 则，无解． 综上所述，实数的取值范围为． 故选：C 5．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解． 【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a， 由题意可得，，即， 所以，即， 故． 故选：C． 6．已知不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分成，两种情况，结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】当时，不等式即为，由解得，又，所以； 当时，不等式即为，由解得或； 又，所以. 综上，实数的取值范围为. 故选：B. 7．若函数()的值域是，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质可得时，，然后根据指数函数的性质结合条件可得，进而即得. 【详解】当时，，， 若，当时，则，与函数的值域为不符， 若，当时，则，又函数的值域为， 所以，又 所以， 综上，实数 的取值范围是. 故选：A. 8．已知函数的定义域为，其图象关于原点及对称．当时，则下列叙述正确的是（    ） A．是周期函数 B．的图象关于对称 C．在单调递增 D．的值域为 【答案】C 【分析】根据条件，作出函数的图象逐项判断. 【详解】解：因为函数的定义域为，其图象关于原点及对称． 且时，其图象如图所示： 由函数图象知：为奇函数，在单调递增，其值域为， 不是周期函数，图象也不关于对称， 故选：C． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】解：对于A，函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数在区间上单调递增，故A正确； 对于B，函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，易知在上单调递增，故B正确； 对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，函数在区间上单调递减，故D错误. 故选：AB. 10．若函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．当时， C．的解集为 D． 【答案】ABD 【分析】根据对数函数的图象性质解决即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，故A正确； 对于B：函数在上单调递减，所以当时，，故B正确； 对于C：函数在上单调递减，，即，解得，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选:ABD． 11．已知函数，下面命题正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数在内单调递减 【答案】ACD 【分析】分析函数的奇偶性从而可判断AB选项；结合指数函数的值域判断的值域即可判断C；根据复合函数的单调性判断的单调性即可判断D. 【详解】因为，所以的定义域为，且定义域关于原点对称， 又因为，所以为奇函数，故A正确，B错误； 又因为，， 所以，所以，故C正确； 因为，时， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故D正确； 故选：ACD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若＜，则实数m的取值范围 ． 【答案】 【分析】结合幂函数的定义域以及其在(0,+∞)上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为幂函数的定义域是{x|}，且在(0,+∞)上单调递增， 则原不等式等价于，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 13．已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ． 【答案】(1,2) 【分析】由指数函数经过(2,9)求出该函数的解析式，再结合指数函数的单调性求的解集. 【详解】设且，所以有，解得，即， 因此函数为R上的增函数， 因为，所以，解得， 故答案为：. 14．已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 利用基本不等式求出函数的值域，根据题意可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】对任意的，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的值域为，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设幂函数，根据题意，得到，即可求出解析式； （2）根据题意可得：当时，，结合函数奇偶性，即可求出结果. 【详解】（1）设，代入点，得，解得， 所以. （2）因为，当时，， 设，则， 又因为是R上的偶函数， 所以， 即当时，. 16．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在R上单调递增，证明见解析 【分析】（1）求出定义域，得到，得到函数为奇函数； （2）利用定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论. 【详解】（1），易知的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴是奇函数； （2）在R上单调递增，理由如下： 设，，且， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，且， ∴，即， ∴在R上单调递增. 17．已知函数的图像关于原点对称，其中为常数. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)奇函数 (3) 【分析】(1)由题意可知该函数为奇函数，所以其定义域必然关于原点对称，然后解其定义域使其关于原点对称即可； (2)由该函数图像关于原点对称可知其为奇函数； (3)由题可知，然后计算其最值求解即可. 【详解】（1）因为关于原点对称，所以该函数为奇函数， 所以其定义域也关于原点对称， 由题可知：，得，要使定义域关于原点对称，显然， 所以令，可知，， 由定义域关于原点对称可知：， 所以，经检验，成立； （2）因为函数图像关于原点对称， 所以该函数为奇函数； （3）由题可知：， 因为， 所以，又因为恒成立， 所以. 18．已知函数是奇函数，且. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数满足，再代入求解即可； （2）化简可得恒成立，令，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解最大值即可. 【详解】（1）是奇函数， 经检验当时，是奇函数符合题意， 又或（舍）， ； （2）， 即， 又，故恒成立， 令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减， . 19．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性； (3)若存在，使成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上是减函数 (3) 【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出. （2）将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断. （3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意问题等价于，由此即可得解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以， 又因为，所以，将代入，整理得， 当时，有，即， 又因为当时，有，所以，所以. 经检验符合题意，所以. （2）由（1）知：函数， 因为为上单调增函数，且，则函数在上是减函数. （3）因为存在，使成立，又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数， 所以，所以，令， 由题意可知：问题等价转化为,又因为，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章《幂函数、指数函数和对数函数》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若幂函数在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 6．已知不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．若函数()的值域是，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，其图象关于原点及对称．当时，则下列叙述正确的是（    ） A．是周期函数 B．的图象关于对称 C．在单调递增 D．的值域为 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．若函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．当时， C．的解集为 D． 11．已知函数，下面命题正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数在内单调递减 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若＜，则实数m的取值范围 ． 13．已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ． 14．已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式； 16．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明. 17．已知函数的图像关于原点对称，其中为常数. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 18．已知函数是奇函数，且. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 19．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性； (3)若存在，使成立，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$