专题强化07：指对幂函数解答题训练【压轴培优 27道】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

专题强化07：指对幂函数解答题训练 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 2．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围. 3．（23-24高一上·湖北·期末）已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减． (1)求和的值； (2)求满足的实数的取值范围． 4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·安徽安庆·期末）设定义域为的奇函数，（其中为实数）． (1)求的值； (2)是否存在实数和，使不等式成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 6．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求和实数b的值； (2)若满足，求实数t的取值范围． 7．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数. (1)设，若，试判断是否有最小值，若有，求出最小值；若没有，说明理由； (2)若，使成立，求实数的取值范围． 8．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知. (1)证明是奇函数，并说出在其定义域上的单调性； (2)若存在实数和，使得，且，求的取值范围. 9．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数，． (1)求方程的解集； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围． 10．（23-24高一上·湖北·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 11．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数是奇函数． (1)求的值和函数在区间上的值域； (2)若不等式对于任意的上恒成立，求实数的取值范围． 12．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 13．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数，（，且）． (1)当时，求函数的单调区间； (2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 14．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 15．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数 是定义域为的奇函数. (1)求并判断 的单调性； (2)解关于 的不等式. 16．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值及的定义域； (2)求的单调区间； (3)若，比较与的大小． 17．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数，且图像不过原点. (1)求出的表达式，并写出它的单调区间； (2)记，判断函数的奇偶性，并证明. 18．（21-22高一·全国·单元测试）已知幂函数的定义域为全体实数R. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数k的取值范围. 19．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求m的值，并写出的解析式； (2)解关于x的不等式，其中. (3)已知，，且.求. 20．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数. (1)解关于x的不等式； (2)若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围； (3)设函数，.当时，求的最大值. 21．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若，且，求实数n的取值范围. 22．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，（其中且）． (1)若函数定义域为R ，求实数的取值范围； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 23．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 24．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 25．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知是偶函数. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增. 26．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数为奇函数，. (1)求实数的值； (2)，，使得，求实数的取值范围. 27．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数. (1)若函数为定义域上的偶函数，求实数的值； (2)当时，对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化07：指对幂函数解答题训练 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 2．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据奇函数的性质，计算出，，然后在代回原函数中检验即可； （2）不等式成立等价于，两个函数的最大值均由函数单调性法求出. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以有，即， 又，化简得：，， 而此时， ， （2）令， ∵且单调递减，∴在上单调递减， 又∵在上单调递减， 在上单调递减且的最大值是， 又令，对于任意，存在， 使得，等价于成立，即成立， ，则在上单调递减， ，故，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 3．（23-24高一上·湖北·期末）已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减． (1)求和的值； (2)求满足的实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数以及奇偶性等知识求得. （2）根据函数的单调性以及对分类讨论来求得的取值范围. 【详解】（1）由函数为幂函数， 则，解得； 由()在上单调递减， 得，解得，而，故或， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意. 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故. （2）由（1）得，则，即. 故或或， 解得或或，. 故实数的取值范围为. 4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解，要注意验证； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）通过函数性质把问题转化为对任意，有恒成立，换元，利用二次函数性质求解最值即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以， 又，即，所以，当，时，， 此时，所以为奇函数，故，； （2）函数在上单调递增，证明如下： 因为，设， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以在上单调递增； （3）因为为奇函数，所以不等式可变形为， 又在上单调递增，所以， 即对任意，有恒成立， 令，则，所以，， 故，所以，故实数的取值范围为. 5．（23-24高一上·安徽安庆·期末）设定义域为的奇函数，（其中为实数）． (1)求的值； (2)是否存在实数和，使不等式成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）由是定义在的奇函数，利用，即可求出的值，再利用定义验证. （2）先证明函数单调性脱去不等式中的，转化为不等式恒成立问题，通过分离参数转化为函数最值问题求解. 【详解】（1）由是定义在的奇函数，则有，得，把代入函数得， 而，所以符合题意. （2），因为函数且在单调递增， 所以在上单调递减，从而在上单调递减. 因为在上单调递减. 所以 设函数，要想满足题意，只需大于在上的最小值或者小于在上的最大值即可， 由双勾函数的性质可知在递减，在递增，在上递减， 所以在上的最小值为，在上的最大值为. 所以存在. 6．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求和实数b的值； (2)若满足，求实数t的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， 【分析】（1）直接将代入，并结合奇函数定义和对数运算求解得b值； （2）分离常数判断真数的单调性，再结合复合函数单调性分情况，列不等式求解 【详解】（1）根据题意可得，           又是定义在上的奇函数， 所以，               即，解得（负值舍去）． （2）由（1）可知，， 易知函数在上单调递减， 由奇函数性质及可得， 当时，由复合函数单调性可知在上单调递增， 需满足解得；            当时，由复合函数单调性可知在上单调递减， 需满足解得；                  ． 所以当时，；当时，． 【点睛】易错点点睛：本题考查对数复合函数的奇偶性及单调性质应用，第二问注意列不等式时真数在内. 7．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数. (1)设，若，试判断是否有最小值，若有，求出最小值；若没有，说明理由； (2)若，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)没有最小值，理由见解析 (2). 【分析】（1）当时，，令，转化为在求最小值即可； （2），令，则，存在性问题，分离参数，转化为求函数的最大值问题求解即可. 【详解】（1）当时，. 令，因为，则.， 所以， 当时，，此时，没有最小值. （2）， 令，，则. 由，得， 即，由于，使成立， 只需， 因为在上单调递减，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 8．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知. (1)证明是奇函数，并说出在其定义域上的单调性； (2)若存在实数和，使得，且，求的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）直接由奇函数的定义证明即可，由复合函数单调性证明即可. （2）首先得在有解，等价转换为在上有解，分类讨论即可得解. 【详解】（1）因为的定义域为关于原点对称， 且，所以是奇函数， 由复合函数单调性可知单调递减. （2）因为，是奇函数，且在上单调递减， 所以， 由题意得在有解， ， 令，则， 令，则， 由得， 因为在上单调递减，在上单调递增，且时，，或时，， 所以， 在有解，等价于在上有解. 当时，， 因为，所以满足题意； 当时，因为，所以满足题意； 当时，， 令，解得， 所以在上有解，所以的取值范围为. 9．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数，． (1)求方程的解集； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）将看成整体计算即可得； （2）可将原不等式转化为对于恒成立，结合基本不等式即可得. 【详解】（1）， 因为，则，即， 则或，解得或， 所以方程的解集为； （2）对，，设，， 所以不等式对于恒成立等价于 不等式对于恒成立，即对于恒成立， 设，，则， 当且仅当时，等号成立，故取得最小值， ∴，即m的取值范围为． 10．（23-24高一上·湖北·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数定义求出的值，由偶函数性质求出符合题意的，得到解析式； （2）由一元二次不等式的解法对分，，三种情况讨论得到不等式的解集. 【详解】（1）由题意，因为为幂函数， 所以，解得或. 当时，，定义域为，关于原点对称， 显然成立，故为偶函数，符合题意； 当时，， 此时的定义域为，不关于原点对称， 故不是偶函数，不符合题意. 故函数. （2）因为，则不等式等价于，即. 当时，有，不等式的解集为； 当时，有，不等式的解集为； 当时，有，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 11．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数是奇函数． (1)求的值和函数在区间上的值域； (2)若不等式对于任意的上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由奇函数代特值求出，再利用复合函数单调性求值域； （2）先化简，再分离参数结合基本不等式求出函数最值可得解. 【详解】（1）由得， 所以定义域为， 由是奇函数，则， 即，解得. 所以经检验满足. 令，易知在单调递减，则 故，所以函数在区间上的值域为. （2），其中， 所以，即，所以， 令， 则恒成立， 因为，当且仅当即等号成立， 所以，所以 12．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，结合的值域为，得到，即可求解； （3）根据题意，求得和，转化为恒成立，令，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.， 【详解】（1）解：函数的定义域为， 即在上恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围是； （2）解：函数的值域为， 则满足，解得或，即实数的取值范围； （3）解：因为且，可得在上单调递增， 所以，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，所以， 当，即时，，解得，所以无解； 当，即时，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 13．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数，（，且）． (1)当时，求函数的单调区间； (2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)存在，或 【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性即可求解； （2）先令，并求值域，再分别对进行分类求的最大值，进而求的值. 【详解】（1）由题意可得，即函数的定义域为. 当时，， 令，则，易知函数在上单调递增. 函数图象的对称轴为直线， 当，函数在上递增，在上递减． 所以，由复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），（，且）. 令，由，得， 则的值域为. （ⅰ）时，在上单调递减， 所以函数在上的最大值为， 则，，满足题意. （ⅱ）时，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为， 则，满足题意． 综上所述：的值为或. 14．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性计算即可； （2）根据（1）的结论结合复合函数的单调性确定的单调性去函数符号得对任意的恒成立，分类讨论分参结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）依题可知， 设，则，所以， 又是上的奇函数，， 则，则， 当时，， 综上所述，； （2）当时，， 易知在定义域上为增函数，在定义域上为减函数， 在上单调递减， 又是上的奇函数，在上单调递减， 从而在上单调递减， 由， 可得， 又在上单调递减， ， 即对任意的恒成立， 当时，恒成立； 当时， 令 当且仅当即时等号成立， ，即实数的取值范围为. 15．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数 是定义域为的奇函数. (1)求并判断 的单调性； (2)解关于 的不等式. 【答案】(1)，在上单调递减； (2)． 【分析】（1）由求得，并检验其为奇函数，然后由单调性定义证明； （2）利用奇偶性与单调性化简不等式后再求解． 【详解】（1）由题意，， 此时，，是奇函数， 设任意两个实数满足， 则， 因为，所以，所以，又， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）因为是奇函数，因此原不等式化为， 又在上单调递减，所以不等式化为，即， 所以，又，故解得， 所以原不等式的解集为． 16．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值及的定义域； (2)求的单调区间； (3)若，比较与的大小． 【答案】(1)， (2)单调增区间为，单调减区间为 (3) 【分析】（1）由求得，由对数函数的定义得定义域； （2）根据二次函数、对数函数的单调性及复合函数的“同增异减”求函数的单调区间； （3）指数式改写为对数式，然后比较的大小，并由已知得出的范围，在此范围内由的单调性得大小关系． 【详解】（1）因为在函数的图象上， 所以， 即，解得. 由，解得， 所以的定义域为. （2）由， 令， 当时，单调递增，时，单调递减， 又单调递减，由复合函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 故的单调增区间为，单调减区间为. （3），， ，， ，， 所以，，则，， 因为，所以，，即， ，， 所以，， 由（2）知，在上是减函数， 所以． 17．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数，且图像不过原点. (1)求出的表达式，并写出它的单调区间； (2)记，判断函数的奇偶性，并证明. 【答案】(1)，单调减区间为，无单调减区间. (2)奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义列出方程结合图象不过原点即可得函数不等式，进一步得单调区间. （2）直接根据函数奇偶性的定义进行判断并证明即可. 【详解】（1）由，解得或， 又图像不过原点，故，单调递减区间为，无单调递增区间. （2）函数是定义域上的奇函数， 证明：，定义域为， 任取，都有，即定义域关于原点对称， 又由， 所以函数是定义域上的奇函数. 18．（21-22高一·全国·单元测试）已知幂函数的定义域为全体实数R. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式; （2）将在上恒成立转化为函数在上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案． 【详解】（1）∵是幂函数，∴，∴或2. 当时，，此时不满足的定义域为全体实数R， ∴m＝2,∴. （2）即，要使此不等式在上恒成立， 令,只需使函数在上的最小值大于0. ∵图象的对称轴为，故在上单调递减， ∴， 由，得， ∴实数k的取值范围是. 19．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求m的值，并写出的解析式； (2)解关于x的不等式，其中. (3)已知，，且.求. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据幂函数的概念及性质即可求解； （2）根据函数的奇偶性和单调性即可求解； （3）根据奇函数的性质，结合指对运算可得，构造函数，根据函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为为幂函数，且在上单调递增， 则， 解得， 所以； （2）函数为奇函数且在上单调递增，则在R上递增， 由，则， 故， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为； （3）且，则，即， 则 考察函数，由于函数均在单调递增，且值为正， 故在在单调递增， 故 ，则，， 则. 【点睛】关键点点睛：根据指对运算由得，利用函数的单调性得. 20．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数. (1)解关于x的不等式； (2)若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围； (3)设函数，.当时，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由求解； （2）由题意得的相关函数为，根据题意得到时，恒成立求解； （3）易得，设，利用复合函数的单调性求解. 【详解】（1）依题意得，则，所以，所以原不等式的解集为 （2）由题意得，所以，所以的“伴随”函数为. 依题意，对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，即当时，恒成立① 由，对任意的总成立，结合题设条件有，在此条件下， ①等价于当时，恒成立，即，即. 设，要使当时，恒成立 只需，即成立，解得，即，且， 即a的取值范围是. （3）由（2）可得当时，在区间上，， 即 设，则，令，则 所以， 因为（当且仅当时，等号成立），可得，当时，等号成立， 满足，则t的最大值为， 所以的最大值是 21．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若，且，求实数n的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，利用对数运算法则将函数化为，根据二次函数性质求解值域即可； （2）换元法，设，，即可化为关于t的函数，再利用根与系数的关系，即可解出. 【详解】（1）当，令，所以， 则在上单调递减， 所以，，故的取值范围为； （2）设，，因为，所以，即， 则的两根为，，整理得， ，， 所以，，所以，则， 所以，则， 即实数的取值范围为. 22．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，（其中且）． (1)若函数定义域为R ，求实数的取值范围； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)是偶函数 【分析】 （1）首先求出的解析式，依题意可得恒成立，即可得到，从而求出参数的取值范围； （2）设，首先求出定义域，再根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）由题意得， 因为函数定义域为， 所以恒成立， 即， 解得， 故实数的取值范围. （2）设， 定义域需满足：，解得， 故函数的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 又因为， 即， 所以是偶函数，即是偶函数. 23．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】 （1）由奇函数性质即可得解，并注意检验； （2）结合指数函数单调性以及单调性的定义即可得证； （3）由奇函数的性质、以及函数单调性可等价转换表达式为一元二次不等式，由此即可顺利得解. 【详解】（1）由题意，函数定义域为R，则，解得， 当时，，定义域为全体实数，且， 所以函数是奇函数，满足题意； （2）由（1）可知单调递增，理由如下： 不妨设，则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数单调递增； （3）由题意， 所以实数的取值范围为. 24．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明； （2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解； （3）将问题转化为或，结合单调性即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数； （2）对任意的、，不妨设， 所以， 因为，所以，，， 所以，， 所以在上单调递增， 则，， 所以， 由于在上单调递增， 所以， 要使对任意的、，总存在，使得成立， 则，即， 所以实数的取值范围是； （3）对任意的，，总有成立， 所以或， 则或， 由（2）可得当，，， ，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 25．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知是偶函数. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数为偶函数得到，计算出，求出； （2）定义法求解函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论. 【详解】（1）易知的定义域为，对，都有. 因为是偶函数， 所以 ， 所以. （2）因为，所以. 设，则， 其中， 因为，所以，，， 所以， 所以，，， 又，所以，， 所以在上单调递增. 26．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数为奇函数，. (1)求实数的值； (2)，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由奇函数的性质得恒等式，解出参数并检验即可得解. （2）首先得，，进一步通过换元， 并对进行分类讨论即可得解. 【详解】（1）因为是奇函数，所以， 即， 整理得. 所以. 解得， 当时，，舍去， 当时，函数的定义域为，符合题意. 所以. （2）设， 根据题意可得，. 由（1）知， 当时，，故. ， 设，函数，. ①当时，，可得，符合题意； ②当时，，图象的对称轴为. （i）当时，对称轴， 所以在区间上单调递减，故， 由，得，即， 所以； （ii）当时， 若，即时，， 由，得， 所以； 若，即时，， 由，得， 所以； 综上所述，的取值范围是. 27．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数. (1)若函数为定义域上的偶函数，求实数的值； (2)当时，对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数的定义求值； （2）将不等式转化为，结合真数恒正及常数分离求得的取值范围. 【详解】（1）定义域为，由题知， 即， 化简得， 即对任意恒成立，得. （2）当时， 因为不等式对恒成立， 所以①，且②对恒成立. 由①得. ②即对恒成立，令， 则， 当且仅当时，所以， 综上：的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$