专题强化06：指对幂函数题型归纳【10大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

专题强化06：指对幂函数题型归纳 【题型归纳】 题型一：指对幂函数的定义域问题 题型二：指对幂函数的值域问题 题型三：指对幂函数图像问题 题型四：指对幂函数求单调性 题型五：指数函数性质应用 题型六：对数函数性质的应用 题型七：幂函数性质的应用 题型八：指对幂大小比较 题型九：指对幂函数实际应用 题型十：指对幂函数的综合问题 【题型探究】 题型一：指对幂函数的定义域问题 1．（20-21高一上·江苏徐州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 3．（21-22高一上·江苏扬州·期中）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型二：指对幂函数的值域问题 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（20-21高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：指对幂函数图像问题 7．（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（ ） A．B．C． D． 8．（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 9．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 题型四：指对幂函数求单调性 10．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·山西朔州·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 题型五：指数函数性质应用 13．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是定义在上的单调函数，若对，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·重庆·期中）设，函数. (1)若函数是奇函数，求的值； (2)若，求函数的定义域和值域. 题型六：对数函数性质的应用 16．（24-25高一·上海）若函数在上严格单调递减，则实数的取值范围是 ． 17．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 18．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 题型七：幂函数性质的应用 19．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在定义域上单调递减 20．（24-25高一上·福建福州·期中）幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C．是奇函数 D．是偶函数 21．（24-25高一上·山西·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对，，使得成立，求实数的取值范围. 题型八：指对幂大小比较 22．（24-25高一上·广东江门·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·山东淄博·期中）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知， 则（     ） A． B． C． D． 题型九：指对幂函数实际应用 25．（21-22高一上·江苏南京·期中）核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 26．（21-22高一上·辽宁大连·期中）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时 27．（24-25高一上·全国）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为米，若同学大喝一声的声强大约相当于个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（    ）    A．5米 B．10米 C．45米 D．50米 题型十：指对幂函数的综合问题 28．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知幂函数是非奇非偶函数. (1)求函数的解析式； (2)已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 29．（24-25高一上·广东·期中）已知函数 是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断并用定义证明在定义域上的单调性； (3)若，不等式 成立，求实数k的取值范围. 30．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【高分强化】 一、单选题 31．（25-26高一上·上海）已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 32．（24-25高一上·山东青岛·期中）若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·浙江丽水·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·浙江杭州·期中）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数n”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的（   ） A．20倍 B．倍 C．100倍 D．1000倍 35．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 36．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间[2，4]上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 39．（24-25高一上·吉林·期中）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在上单调递增 40．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数的图象经过点，则（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．在上最大值为 41．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（    ） A． B．为偶函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 42．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 43．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 三、填空题 44．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是 . 45．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 46．（24-25高一上·广东潮州·期中）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 47．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数在上单调递增，且满足不等式，则的取值范围为 ． 48．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 四、解答题 49．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知幂函数是定义在上的偶函数. (1)求的解析式； (2)在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 50．（24-25高一上·广东梅州·期中）已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. (1)求函数在上的解析式; (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 51．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中是奇函数． (1)求a的值； (2)求解不等式； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围． 52．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在定义域上的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化06：指对幂函数题型归纳 【题型归纳】 题型一：指对幂函数的定义域问题 题型二：指对幂函数的值域问题 题型三：指对幂函数图像问题 题型四：指对幂函数求单调性 题型五：指数函数性质应用 题型六：对数函数性质的应用 题型七：幂函数性质的应用 题型八：指对幂大小比较 题型九：指对幂函数实际应用 题型十：指对幂函数的综合问题 【题型探究】 题型一：指对幂函数的定义域问题 1．（20-21高一上·江苏徐州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据二次函数的性质与对数函数的性质列出不等式且，即可求解. 【详解】由题意可得且， 即且， 整理可得， 解得： 所以函数的定义域为 故选：C 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】因为函数是幂函数且在上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 3．（21-22高一上·江苏扬州·期中）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根的被开方数为非负数，分母不为零得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得，解得，综上可得原不等式的解集为，即函数的定义域为； 故选：B 题型二：指对幂函数的值域问题 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数值域为，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题. 【详解】当时，单调递增， 所以 当时，单调递增， 所以， 要使得函数值域为， 则恒成立， 令， 如图所示：    由图可知有两个交点，且交点的横坐标分别为， 所以若要，则， 也即函数的值域为时， 则实数的取值范围为：， 故选：D. 5．（20-21高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质可知，要能取到的所有数，分情况讨论的取值范围. 【详解】设，， 因为函数的值域为，所以要能取到的所有数， 当时，满足条件； 当时，，得； 当时，不成立. 综上可知，. 故选：D 6．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出当时，的取值范围，再根据对数函数的单调性求出的值域，结合分段函数的值域即可求解. 【详解】由函数， 当时，， 当时，，若时， 函数单调递减，所以， 若时，函数单调递增，所以， 又因为分段函数的值域为[1，+∞）， 所以，， 所以. 所以的取值范围是. 故选：D 题型三：指对幂函数图像问题 7．（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（ ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可. 【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 故选：A. 8．（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的增长速度，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 当时，，， 当时，，， 故对任意的，，所以，函数为偶函数，排除BD选项； 当时，，则函数在的增长速度快于函数的增长速度，排除C选项. 故选：A. 9．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 题型四：指对幂函数求单调性 10．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出复合过程，根据复合函数单调性同增异减得出结论. 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 11．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 12．（24-25高一上·山西朔州·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得函数的定义域，再由复合函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，解得或， 即函数的定义域为. 令，则的图像开口向上，且对称轴为直线，在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 的单调递减区间是. 故选：B 题型五：指数函数性质应用 13．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数在每一段上的单调性求的取值范围，再根据函数在分段处的函数值确定的取值范围. 【详解】由题意：在上单调递减，所以， 又由. 所以的取值范围是：. 故选：D 14．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是定义在上的单调函数，若对，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得，从而求得的值，再由函数的单调性，即可求解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的单调函数， 且对，都有，则为常数， 设这个常数是，则，即， 又，即，所以， 因为在上单调，所以方程有唯一解，则， 所以，且在上单调递增，又， 由可得，解得，所以不等式的解集为. 故选：C 15．（24-25高一上·重庆·期中）设，函数. (1)若函数是奇函数，求的值； (2)若，求函数的定义域和值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义可得，建立方程，解之可得，验证即可； （2）由题意可得，根据指数函数的性质即可求解. 【详解】（1）若为奇函数，则， 得，整理得，解得. 经检验，当时，符合题意. 所以. （2）当时，， 由，得，即的定义域为； ， 又，所以， 令，则，得， 解得或， 即的值域为. 题型六：对数函数性质的应用 16．（24-25高一·上海）若函数在上严格单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，即可得解. 【详解】因为函数在上严格单调递减， 所以， 即， 所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 17．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知在上单调递减，令，则由复合函数单调性可知二次函数在上单调递减，由此列不等式组即可求解. 【详解】由题意可知，在上单调递减， 令，则在上单调递减，且在上恒成立， 所以，解得， 故答案为： 18．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 题型七：幂函数性质的应用 19．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在定义域上单调递减 【答案】D 【分析】由条件求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质判断即可. 【详解】∵幂函数的图象过点，设， ∴，即，得， ∴，其定义域为，故B错误； ∵定义域关于原点不对称，∴为非奇非偶函数，故A错误； ∵定义域为，，∴的值域是，故C错误； ∵，∴在定义域上单调递减，故D正确. 故选：D. 20．（24-25高一上·福建福州·期中）幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 因为，都有成立， 所以该函数在是减函数，所以， 即，定义域为， 则， 所以是奇函数， 故A、B错误，选项C正确，选项D错误， 故选：C. 21．（24-25高一上·山西·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由幂函数的概念及单调性列出等式求解即可； （2）由幂函数的单调性列出不等式即可； （3）由题意通过，及，即可求解. 【详解】（1）由幂函数在上单调递增， 可得，解得， 所以； （2）因为在上单调递增， 则可化为，解得，所以的取值范围为； （3）由（1）知， 因为对，使得都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为8，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 题型八：指对幂大小比较 22．（24-25高一上·广东江门·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性即可. 【详解】由指数函数的单调性可知，即， 又，即， 所以. 故选：D. 23．（24-25高一上·山东淄博·期中）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为函数在上为减函数，所以，即， 所以. 故选：D. 24．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数性质比较，再结合指数函数性质即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 题型九：指对幂函数实际应用 25．（21-22高一上·江苏南京·期中）核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解． 【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a， 由题意可得，，即， 所以，即， 故． 故选：C． 26．（21-22高一上·辽宁大连·期中）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时 【答案】B 【分析】根据保鲜时间与储藏温度满足函数关系：，并结合食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，可求出，然后再将代入，即可得出答案. 【详解】解：由题可知，保鲜时间与储藏温度满足函数关系：， 则，即，所以， 于是当时，＝18(小时). 故选：B. 27．（24-25高一上·全国·课后作业）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为米，若同学大喝一声的声强大约相当于个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（    ）    A．5米 B．10米 C．45米 D．50米 【答案】C 【分析】设同学的声强为，喷出泉水高度为，可得，，两式相减即可求出的值. 【详解】设同学的声强为，喷出泉水高度为， 则同学的声强为，喷出泉水高度为， 由题意知，， 即①， 又， 即②， 得， 解得. 故选：C. 题型十：指对幂函数的综合问题 28．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知幂函数是非奇非偶函数. (1)求函数的解析式； (2)已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据幂函数的定义，建立方程求得参数，结合奇偶函数的定义，分情况验根，可得答案； （2）（i）根据奇函数的性质，可得函数解析式；（ii）根据函数解析式作图，结合图象建立不等式，可得答案. 【详解】（1）由题知，，即， 即，解得或， 当时，，是非奇非偶函数， 当时，，是偶函数， 所以的解析式是. （2）当时，， （ⅰ）设，则，所以， 又为奇函数，所以，所以当时，. 即. （ⅱ）作函数的图像如图所示， 要使在上单调递增，结合的图象知，所以， 所以的取值范围是. 29．（24-25高一上·广东·期中）已知函数 是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断并用定义证明在定义域上的单调性； (3)若，不等式 成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由是上的奇函数，则，解得，检验可得所求值； （2）在上单调递减．运用函数的单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤； （3）由函数的奇偶性和单调性，可得，成立，即可分离参数求解最值得解. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，解得， 时，，满足是上奇函数； 故 （2），则在上单调递减． 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； （3）因为是上奇函数， 所以等价于， 因为为上单调递减； 则，对成立，即成立， 故，故 30．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【详解】（1） ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. （2）由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 【高分强化】 一、单选题 31．（25-26高一上·上海）已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】A 【分析】利用幂函数的定义及性质直接列式计算并判断作答. 【详解】因为函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数， 所以，解得， 故选：A 32．（24-25高一上·山东青岛·期中）若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式以及对数的性质求解的定义域，即可求解的定义域. 【详解】的定义域需要满足： ，解得， 故的定义域为， 的定义域需满足，解得， 故的定义域为， 故选：A 33．（24-25高一上·浙江丽水·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性列式得，求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 34．（24-25高一上·浙江杭州·期中）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数n”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的（   ） A．20倍 B．倍 C．100倍 D．1000倍 【答案】D 【分析】根据已知可得，分别计算当时和时的值，即可求解. 【详解】因为，所以， 当时，， 当时，， 所以，即“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的倍. 故选：. 35．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】令，，分、两种情况讨论，结合指数函数、二次函数的单调性计算可得. 【详解】令，则，令； 当时，因为，所以，且在定义域上单调递减， 要使在上单调递增，则在上单调递减，则，解得； 当时，因为，所以，且在定义域上单调递增， 要使在上单调递增，则在上单调递增，则，； 综上可得. 故选：A 36．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数值域，以及对数函数在区间上的值域，夹逼出一次函数在区间上的值域与的关系，列出关于的不等式求解即可. 【详解】当时，单调递增，又，故在上的值域为， 又在上的值域为，故是在上的值域的子集； 又当时，； 当时，显然不满足题意； 当时，在上单调递减，故在上的值域为不满足题意； 当时，在上单调递增，故在上的值域为， 若满足题意，则，即，故. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 37．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间[2，4]上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数列出系数的等式，解方程得的两个值，由偶函数，确定的值得到函数，代入得到解析式，由对称轴得出单调区间，列出不等式，求出的范围. 【详解】因为是幂函数， 所以，所以或， 又因为是偶函数， 所以时，是奇函数，舍去；时，是偶函数， 所以， 所以关于对称， 所以在区间上单调递减， 所以，所以. 故选：A. 38．（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数的单调性和奇偶性，以及运用参数分离和基本不等式、结合能成立思想，可得所求范围． 【详解】因为是上的奇函数，所以，所以. 因为，所以，解得， 所以， 检验，此时为上的奇函数， 因为函数为减函数， 所以函数为增函数； 因为能成立， 所以能成立， 参变分离，即能成立. 因为（当且仅当，即时取等号）， 故选：D. 二、多选题 39．（24-25高一上·吉林·期中）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】利用函数的奇偶性定义可判定A，利用对勾函数与指数函数的定义、性质结合复合函数的性质计算即可判定B，C，D. 【详解】因为，所以， 所以不是奇函数，则A错误. 由题意可得的定义域是，则B正确. 因为在R上单调递增，而函数在和上单调递增， 在上单调递减， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又当时，，所以； 当时，，所以. 则的值域是，则C、D正确. 故选：BCD 40．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数的图象经过点，则（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．在上最大值为 【答案】BC 【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，进而利用的解析式，结合偶函数的定义与复合函数的单调性，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】因为的图象经过点， 所以，解得，则， 对于A，因为在处无意义， 所以的图象不经过点，故A错误； 对于B，因为的定义域为， 又， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，故B正确； 对于C，因为在上单调递增，且， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D，由选项C可知在上最大值为，故D错误. 故选：BC. 41．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（    ） A． B．为偶函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得， 解得 或舍去，所以，故A正确， 为单调递增函数，C正确； 由于，故为奇函数，故B错误； 的值域为R，D错误， 故选： 42．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 【答案】AD 【分析】由对数函数的定义域求得函数定义域，由复合函数对称性得到对称轴，复合函数的单调性求得单调区间，由单调区间求得最大值. 【详解】，∴定义域为，A选项正确； ，令， 则，因为二次函数的图象的对称轴为直线， 又因为的定义域为，所以的图象关于直线对称，D选项正确； 且在上单调递增，在上单调递减，B选项错误； 当时，有最大值，所以，C选项错误； 故选：AD. 43．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】BC 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断AB，由复合函数的单调性即可判断C，由函数的单调性结合函数图像即可求解函数值域，从而判断D. 【详解】    函数，由，解得， 因此的定义域为， 显然，函数是奇函数，错误，B正确； 函数，显然在单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 于是在上单调递增，正确； 当或时，， 函数在上单调递减， 于是在上单调递减，图像如图所示， 所以值域为，故D错误. 故选:BC． 三、填空题 44．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由已知条件求出幂函数的解析式，再由幂函数的单调性解不等式即可 【详解】设，则，解得， ， 因为在和上单调递减，， 或或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 45．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况分别求出分段函数每段上的值域，再由的值域为，可求出实数的取值范围． 【详解】①当时， 当时，在上递增，则， 当时，， ∵时，； 时，，即， ∴当时，， 因为的值域为， 所以，得，所以． ②当时， 当时，在上递增，则， 当时，，则，在上递增， 所以， 因为的值域为， 所以，得， 在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示， 由图可知，当时，， 所以当时，不等式成立， 综上，，即实数的取值范围. 故答案为：． 46．（24-25高一上·广东潮州·期中）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数得对任意恒成立，构造函数令，，，根据函数的单调性和最小值，即可得出答案． 【详解】对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，， 令，由于函数均在单调递增， 在上单调递增， ，， 故实数的取值范围为 故答案为： 47．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数在上单调递增，且满足不等式，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得，解得的值，进而结合偶函数和单调性解不等式即可. 【详解】由题意得，解得， 所以，定义域为， 而，则函数为偶函数， 又函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 由，得，即， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 48．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得，即可得到不等式，解出即可得. 【详解】因为，所以，所以，即， 由，则，即， 因为对于任意，存在，使得， 所以，则，解得，即. 故答案为：. 四、解答题 49．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知幂函数是定义在上的偶函数. (1)求的解析式； (2)在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，解得的值，再根据常见幂函数的奇偶性即可求解； （2）转化问题为对恒成立，即，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或，又函数为偶函数，故，. （2）由（1）知，， 则原题可等价转化为对恒成立， 分离参数得，因为对恒成立，则， 当时，， 当且仅当，即时取得最小值，即， 所以实数的取值范围为. 50．（24-25高一上·广东梅州·期中）已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. (1)求函数在上的解析式; (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增函数，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解； （2）利用单调递增函数的定义证明； （3）根据奇函数和单调递增函数的性质可得，再转化为恒成立问题求解即可. 【详解】（1）当时，， 任取，则,， 又∵为定义在上的奇函数， ∴， 又∵也符合上式， ∴； （2）任取，且， ∵ ∴∴， 又∵， ∴∴在上单调递增； （3）由得， ∴∴，即， ∴对，都有恒成立， ∴，当时， ∴，解得， ∴实数的取值范围为. 51．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中是奇函数． (1)求a的值； (2)求解不等式； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的奇函数，满足，列式求解； （2）根据（1）的结果，解指数不等式； （3）首先判断函数的单调性，再根据函数是奇函数，化简不等式得，再讨论得到取值，求解的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以， ， 则，则； （2），即， 整理得，则， 所以． （3），所以在和上是严格减函数， 且当时，；当时，； 由可得：，， 当时，， 当时，，所以，即，又，所以； 当时，，则，而，，则满足题意； 函数的定义域，则时不符，舍去． 综上． 52．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在定义域上的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2)在上单调递增；证明见解析 (3)． 【分析】（1）将代入可得解析式，利用结合可得解析式； （2）证明当时，即可； （3）不等式可化简为，后令，结合双沟函数单调性可得答案. 【详解】（1）由题意，过点，即，解得， 所以，． 为上的奇函数，，解得，即， 其定义域为，关于原点对称， 且 ，故此时为奇函数； （2）在单调递增. 设，则， 因为，，， 所以，于是在上单调递增； （3）由在区间上恒成立， 得，即， 令，，则， 令，，设，， 根据对勾函数单调性知在上单调递减， 而为单调递增函数，则根据复合函数单调性知： 在上单调递减，， 若关于的不等式在区间上恒成立，则， 又为正实数，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$