6.3对数函数【10大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

6.3对数函数 【考点梳理】 · 考点一：对数函数的定义 · 考点二：对数函数的定义域（复合型对数函数） · 考点三：对数函数的值域问题 · 考点四：对数函数的图像问题 · 考点五：对数函数的单调性问题求参数 · 考点六：对数函数解不等式问题 · 考点七：对数函数的单调性比较大小 · 考点八：对数函数的应用 · 考点九：对数函数的最值问题 · 考点十：对数函数的综合问题 【知识梳理】 知识点一：对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点二：对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 知识点三:不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴； 对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 【题型归纳】 题型一：对数函数的定义 1．（23-24高一上·全国）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 2．（20-21高一·全国·课后作业）下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】根据对数函数的概念确定正确选项. 【详解】形如（且）的函数为对数函数， 故③④为对数函数， 所以共有个. 故选：B 【点睛】本小题主要考查对数函数的概念，属于基础题. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的概念直接求解即可. 【详解】设对数函数的解析式为 (且)， 由已知可得，即， 解得，即函数解析式为， 故答案为： 题型二：对数函数的定义域（复合型对数函数） 4．（23-24高一上·安徽安庆·期中）函数 的定义域为（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】A 【分析】由题意得，解不等式可得解. 【详解】由题知，解得或， 即函数的定义域为{或}. 故选：A. 5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为恒成立，求实数a的取值范围即可. 【详解】由题函数的定义域为R， 所以恒成立，令 当时，不恒成立，舍去； 当时，若恒成立， 则需解得， 综上实数a的取值范围为. 故选：D 6．（22-23高一上·江苏南京·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于零，列不等式即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：B. 题型三：对数函数的值域问题 7．（21-22高二下·山西运城·期末）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的范围，然后可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 故选：D 8．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则函数在上的值域为等价于在上，结合基本不等式求解即可. 【详解】设， 因为的值域为，所以， 又，，所以， 即，解得：且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 9．（21-22高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为R可得或，利用复合函数的单调性和二次函数的性质可得a的取值范围. 【详解】因为函数的值域为R， 所以取得一切正数， 即方程有实数解， 得，解得或； 又函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数，且在上恒成立， 则，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 故选：B 题型四：对数函数的图像问题 10．（23-24高一上·江苏）已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】分别分析与的单调性及恒过的定点即可判断. 【详解】因为，所以在上单调递增， 又定义域为， 所以由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒过， 故选：A. 11．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断. 【详解】方法一：因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选:D. 方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除； 又，所以排除A. 故选：D. 12．（22-23高一上·四川泸州·期末）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断即可. 【详解】因为， （3）是，（4）是，又与关于轴对称， （1）是． 故选：B． 题型五：对数函数的单调性问题求参数 13．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数、二次函数的单调性及复合函数的单调性列出不等式组求解. 【详解】令， 因为为增函数，函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故选：C 14．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为在上恒成立，且在上单调递增，进而可求得结果. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以在上恒成立，且在上单调递增， 所以， 故选：D. 15．（21-22高一上·山东日照·期末）已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性的定义可得函数在上单调递增，结合分段函数、对数函数的单调性，列出不等式即可得解. 【详解】因为函数满足时，恒有成立， 即函数满足时，恒有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得. 故选：D. 题型六：对数函数解不等式问题 16．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数性质把不等式化为，再利用函数单调性得，最后利用对数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为是定义域为R的偶函数且，所以不等式等价， 又函数在上单调递减，所以，所以或， 所以或，即满足的的取值范围是. 故选：D 17．（2023高一·江苏·专题练习）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性，结合对数函数的定义域即可求解． 【详解】因为在上递减，， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． 18．（21-22高一上·河南焦作·期末）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，由已知条件可得，解此不等式即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 所以，对任意的，， 则，所以，函数的图象关于直线对称， 因为函数在上单调递增， 由可得， 即，不等式两边平方得，解得. 故选：A. 题型七：对数函数的单调性比较大小 19．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，， ， 所以. 故选：B 20．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可与之间值0，1比较求解. 【详解】由于，故. 故选：C 21．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b， c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性分别求出a，b，c的大致范围，结合中间数比较大小． 【详解】， ，则， ，则， 所以. 故选：D. 题型八：对数函数的应用 22．（22-23高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 【答案】A 【分析】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，利用对数的运算性质结合指数与对数的互化可求得的值. 【详解】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则， 上述两个等式作差可得，则，故. 故选：A. 23．（22-23高一上·四川眉山·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，利用对数的运算性质可求得的值. 【详解】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、， 则，即， 所以，. 故选：B. 24．（21-22高一上·四川成都·期中）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（    ）倍．(参考数据：) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得． 【详解】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，则其满足关系和， 两式作差可以得到， 即，所以， 故选：C． 题型九：对数函数的最值问题 25．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值； 又因为在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 结合题意可得，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 26．（22-23高一上·山西大同·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零. 【详解】令，则函数为减函数， 又函数为增函数， 所以函数是减函数， 故在区间上的最大值是，最小值是， 由题设得，则， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 27．（21-22高一·全国·单元测试）已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D．（1，4） 【答案】A 【分析】将问题化为在对应定义域内，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围. 【详解】由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可． 当时，， 由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故． 当时，单调递增，则， 所以，可得． 故选：A 题型十：对数函数的综合问题 28．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解， （2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解， （3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解. 【详解】（1）因为 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为． （2）由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或． （3）由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 29．（24-25高一上·吉林延边·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义求解； （3）将转化为求解. 【详解】（1）解：由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）， 则<3，化简得 且， 解得或. 30．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常数函数是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的性质求出. （2）由（1）求出函数，结合对数函数单调性及单调函数的定义判断推理即可. （3）根据给定条件，将不等式转化为，再结合函数的单调性求出最值即可. 【详解】（1）函数为上的奇函数，则，且， 即，整理得， 即，于是，解得，， 当，时，，此时，函数无意义； 当，时，，函数无意义； 当，时，，函数为常数函数，不符合要求； 当，时，，定义域为，符合题意， 所以，. （2）由（1）知，，函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， ，则，， 于是，而函数在上单调递增， 因此，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增，则，， 由，，，得， 因此，， 当时，，，， 当且仅当时取等号，于是， 所以的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 【高分达标】 一、单选题 31．（24-25高一上·全国）已知函数则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由分段函数的性质求值即可． 【详解】因为 所以， 又，所以． 故选：C． 32．（24-25高一上·山东淄博·期中）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为函数在上为减函数，所以，即， 所以. 故选：D. 33．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得函数的对称轴，结合单调性的定义可得，计算即可. 【详解】显然，又因为函数图象的对称轴方程为， 又函数在上单调递增，所以，即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 34．（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数的性质求得两定点的坐标，从而得解. 【详解】对于，令，得，， 所以的图象恒过点，即； 对于，令，得，， 所以的图象恒过点，即； 所以. 故选：B. 35．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的值域为，可得函数的值域应包含，利用即可得解. 【详解】函数的值域为， 则函数的值域应包含， 则有，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 36．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 37．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数每一段都是增函数，且左侧函数值不大于右侧函数值求解. 【详解】由题意可知是上的单调递增函数，则，解得． 故选：B. 38．（24-25高一上·福建厦门·期中）若函数（，为常数）在区间上有最大值，则在区间上（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】C 【分析】构造新函数为奇函数，利用奇函数求解． 【详解】设， 则， 所以是奇函数， 在上有最大值，则在上有最大值， 所以在上有最小值，于是在区间上有最小值， 故选：C． 二、多选题 39．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是减函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【分析】根据对数函数的性质一一判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 又，所以为奇函数，故B正确，D错误； 因为在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在定义域上是减函数，故C正确. 故选：ABC 40．（23-24高一上·四川广安·期末）已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 【答案】ABD 【分析】A选项，由真数大于0得到不等式，求出定义域；B选项，求出函数单调性，得到值域；CD选项，先得到定义域关于原点对称，再由得到函数为偶函数. 【详解】A选项，由题意得，解得，故定义域为，A正确； B选项，，定义域为， 由于在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，值域为，B正确； CD选项，定义域为，关于原点对称， 且， 故为偶函数，C错误，D正确； 故选：ABD 41．（23-24高一上·甘肃定西·期末）已知且，则函数与的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项. 【详解】若，则函数的图象单调递减且过点， 函数的图象单调递减且过点； 若，则函数的图象单调递增且过点， 而函数的图象单调递增且过点； 只有BD的图象符合． 故选：BD. 42．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（     ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的单调递增区间为 D．的单调递减区间为 【答案】BD 【分析】根据对数的真数大于零即可求出函数的定义域，根据符合函数的单调性结合对数函数的单调性即可求出函数的单调区间. 【详解】由， 得，解得或， 所以的定义域为，故A错误，B正确； 令，其在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域内为增函数， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误，D正确. 故选：BD. 43．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）若偶函数在上单调递增，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用函数的单调性、奇偶性分析运算即可得解. 【详解】因为函数为偶函数，所以，即，化简得； 又因为偶函数在上单调递增，则， 所以，所以，故A正确； 又，，所以，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 44．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】首先根据分段函数求出，然后根据 的值求出的值即可． 【详解】由题意，可得， 又， 故， 故答案为：． 45．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）函数的单调增区间 . 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性原理和对数函数的性质求解即可 【详解】由得或． 又，对称轴为， 所以当时，关于为减函数，当时，关于为增函数． 又为上的减函数， 所以时，原函数单调递增； 时，原函数单调递减． 故函数的单调增区间为． 故答案为： 46．（24-25高一上·全国·随堂练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是 . 【答案】/ 【分析】代入，利用对数的运算求解出此时的值. 【详解】当时，. 故答案为：. 47．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【答案】 2 【分析】根据对数真数大于0，求定义域；对函数变形，再结合对数函数单调性和基本不等式求最值即可. 【详解】第一个空：根据题意得到，，解得，即，则的定义域是. 第二个空：由于函数. 继续化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值. 所以，则的最小值是2. 故答案为：；2. 48．（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合函数是定义在上的增函数得在上单调递增且在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 而函数是定义在上的增函数， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为：. 49．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得，即可得到不等式，解出即可得. 【详解】因为，所以，所以，即， 由，则，即， 因为对于任意，存在，使得， 所以，则，解得，即. 故答案为：. 四、解答题 50．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 51．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先可得函数的定义域，根据奇函数的性质得到，求出参数的值，再检验即可； （2）首先求出在上的值域，再利用换元法求出在上的值域，依题意，即可得到不等式组，解答即可. 【详解】（1）由题意可得，函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，可得， 经检验，对于，成立，所以． （2）由（1）可得， 因为，所以，，， ，， 所以当时的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立， 即，所以，解得，即实数m的取值范围是． 52．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，，过定点． (1)若，求函数的定义域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求出的值，即可得到解析式，从而得到，结合对数函数的性质求出函数的定义域； （2）由对数函数的单调性得到在上恒成立且恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合函数的单调性求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为过定点， 所以，解得，所以， 所以， 则，解得，所以的定义域为. （2）因为， 所以不等式在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立且恒成立， 则且在上恒成立， 因为， 且，均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时取得最小值， 所以，解得，即的取值范围. 53．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）， ，， 令，则， 易知单调递减，该函数值域为即； （2）令，则在上恒成立， 当时，恒成立，； 当时，等价于恒成立， 令. 当且仅当时取等号，. 综上，. 54．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值； （2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解. 【详解】（1）由可得，又，所以， 又因为的解集为，所以， 因为，所以，即， 解得或，因为，所以； （2）由（1）可得， 令，则，设， ①当 时，在上单调递增， 则，解得，符合要求； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，故； ③当时，在上单调递减， ，解得，不合题意； 综上所述，存在实数或符合题意. 55．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数定义得，代入计算即可求； （2）由（1）得出解析式，结合指数函数性质解不等式即可； （3）借助（2）中解析式求出值域，利用换元法求出的值域，由题意得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数， 所以，即， 整理得， 所以. （2）由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得， 所以实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3对数函数 【考点梳理】 · 考点一：对数函数的定义 · 考点二：对数函数的定义域（复合型对数函数） · 考点三：对数函数的值域问题 · 考点四：对数函数的图像问题 · 考点五：对数函数的单调性问题求参数 · 考点六：对数函数解不等式问题 · 考点七：对数函数的单调性比较大小 · 考点八：对数函数的应用 · 考点九：对数函数的最值问题 · 考点十：对数函数的综合问题 【知识梳理】 知识点一：对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点二：对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 知识点三:不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴； 对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 【题型归纳】 题型一：对数函数的定义 1．（23-24高一上·全国）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一·全国）下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一上·全国）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 题型二：对数函数的定义域（复合型对数函数） 4．（23-24高一上·安徽安庆·期中）函数 的定义域为（    ） A．或 B． C． D．且 5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·江苏南京·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型三：对数函数的值域问题 7．（21-22高二下·山西运城·期末）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高一上·新疆省直辖县级单位）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 题型四：对数函数的图像问题 10．（23-24高一上·江苏）已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（    ） A．B．C． D． 11．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 12．（22-23高一上·四川泸州·期末）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 题型五：对数函数的单调性问题求参数 13．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高一上·山东日照·期末）已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型六：对数函数解不等式问题 16．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 17．（2023高一·江苏·专题练习）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 18．（21-22高一上·河南焦作·期末）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：对数函数的单调性比较大小 19．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 21．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b， c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 题型八：对数函数的应用 22．（22-23高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 23．（22-23高一上·四川眉山·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 24．（21-22高一上·四川成都·期中）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（    ）倍．(参考数据：) A． B． C． D． 题型九：对数函数的最值问题 25．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高一上·山西大同·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（21-22高一·全国·单元测试）已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D．（1，4） 题型十：对数函数的综合问题 28．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 29．（24-25高一上·吉林延边·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 30．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常数函数是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)已知，且，求的取值范围． 【高分达标】 一、单选题 31．（24-25高一上·全国）已知函数则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 32．（24-25高一上·山东淄博·期中）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·福建厦门·期中）若函数（，为常数）在区间上有最大值，则在区间上（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 二、多选题 39．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是减函数 D．为偶函数 40．（23-24高一上·四川广安·期末）已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 41．（23-24高一上·甘肃定西·期末）已知且，则函数与的大致图象可能是（    ） A． B．C．D． 42．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（     ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的单调递增区间为 D．的单调递减区间为 43．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）若偶函数在上单调递增，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 44．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，则 ． 45．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）函数的单调增区间 . 46．（24-25高一上·全国·随堂练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是 . 47．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 48．（24-25高三上·四川德阳）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 49．（23-24高一下·上海嘉定）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 四、解答题 50．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 51．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 52．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，，过定点． (1)若，求函数的定义域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 53．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 54．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 55．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$