6.2 指数函数【9大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

6.2 指数函数 【考点梳理】 · 考点一：指数函数的概念 · 考点二：求指数函数的定义域（复合型） · 考点三：求指数函数的值域 · 考点四：指数函数的图像问题 · 考点五：指数幂的大小比较 · 考点六：复合型指数函数的单调性或者参数问题 · 考点七：指数函数的不等式问题 · 考点八：指数函数的实际应用 · 考点九：指数函数与不等式的综合 【知识梳理】 知识点一：指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二：两类指数模型 1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型． 2．y＝kax(k>0)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型． 知识点三：指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 知识点四：比较幂的大小 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 知识点五：解指数方程、不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 知识点六：指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 【题型归纳】 题型一：指数函数的概念 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 3．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 题型二：求指数函数的定义域（复合型） 4．（23-24高一上·安徽滁州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式下非负及分母不为零列方程计算即可. 【详解】由题意可知的定义域需要满足解得且. 故选：C. 5．（23-24高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可. 【详解】解：函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为 故选：C 6．（21-22高一上·广西河池·阶段练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的定义域，再令满足的定义域范围求出的范围即可得的定义域. 【详解】由即可得 所以的定义域为， 令，可得，所以函数的定义域为， 故选：A． 题型三：求指数函数的值域 7．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数值域求出值域. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为. 故选：B 8．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 9．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求的范围，再求的值域. 【详解】令，则 在上单调递减，∴，又， ∴的值域为. 故选：A. 题型四：指数函数的图像问题 10．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数的图象如图所示，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象分析函数的定义域、奇偶性以及在上的单调性，然后逐项分析函数的定义域、奇偶性以及在上的单调性，即可得出合适的选项. 【详解】由图可知，函数的定义域为，该函数为奇函数，且函数在上不单调， 对于A选项，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 因为，，， 所以，，，则函数在上不单调，合乎要求； 对于B选项，对于函数，有，即，即， 解得，即函数的定义域为，不合乎要求； 对于C选项，函数的定义域为， ，即函数不是奇函数，不合乎题意； 对于D选项，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以，，即，则函数在上为增函数， 不合乎要求. 故选：A. 11．（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（   ） A． B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项. 【详解】，所以，排除AC，且，排除D. 故选：B 12．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．  C． D．   【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的取值情况判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D； 又，当时， 所以，， 又，所以， 所以，故排除B. 故选：C 题型五：指数幂的大小比较 13．（24-25高一上·广东梅州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比较大小. 【详解】先比较和的大小，，， 因为函数在定义域内为单调递增函数，所以，即， 再比较和的大小，，， 因为函数在定义域内为单调递增函数，所以，即， 又因为，所以， 故选：. 14．（24-25高一上·辽宁·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的性质比较大小即可； 【详解】由指数函数的性质可得当时为增函数，当时为减函数， 所以，而，所以， 故选：A. 15．（24-25高一上·福建厦门·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性即可比较作答. 【详解】，，故， 由于，故 ，故， 故选：D 题型六：复合型指数函数的单调性或者参数问题 16．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，若为上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数单调性，结合指数函数单调性列式求解即得. 【详解】由函数为上的减函数， 得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 17．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性与指数函数、二次函数的单调性判断． 【详解】是增函数，的减区间是， 因此根据同增异减法则得所求复合函数的减区间是. 故选：C． 18．（24-25高一上·浙江·期中）已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将问题转化为分段函数的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到的不等关系，再由题意可分析出的取值范围. 【详解】对于上任意不相同的，都有， 即对于上任意不相同的，都有， 所以是上的增函数，且， 所以，所以， 故由题意可知，存在使得， 所以，且最小值无限逼近， 所以， 故选：A. 题型七：指数函数的不等式问题 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知不等式，且，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性将原不等式化为，然后解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式，且， 所以，，解得， 所以实数x的取值范围为. 故答案为： 20．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 可得在上单调递增， 根据偶函数的性质，不等式，即为， 可得，整理得，解得， 所以的解集为． 故答案为：． 21．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用二次不等式的解法和指数函数的单调性可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，可得或， 又因为函数为上的增函数，则有或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 题型八：指数函数的实际应用 22．（23-24高一上·广东·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】直接根据指数函数定义求解即可. 【详解】由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量， 经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量， 经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量， ， 经过天后，剩留的质量，. 故选：A. 23．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据指数式的运算求解. 【详解】由题可知，所以， 经过天，数量变为原来的16倍，即， 则有，解得， 故选:C. 24．（21-22高一上·江苏南京·期中）核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解． 【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a， 由题意可得，，即， 所以，即， 故． 故选：C． 题型九：指数函数与不等式的综合 25．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)函数在上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）法1：根据求解出的值，并进行检验；法2：根据奇函数定义可得，结合求得的值； （2）计算并将其结果因式分解，根据条件判断出的正负，由此可知的单调性； （3）根据奇偶性将不等式化为，再根据单调性求解出不等式解集. 【详解】（1）法1：函数是定义域为的奇函数， ，即， 又，即， 由①②解得，， 经检验，，符合题意. 法2：函数是定义域为的奇函数， ，即， ，即， ， 又，即， 由①②解得，. （2）函数在上为减函数. 证明如下： 由（1）得函数，任取且， 则， ，，又， ，即， 函数在上为减函数. （3）函数为奇函数， 可化为， 又函数在上为减函数， ，解得：， 原不等式的解集为. 26．（24-25高一上·山东·期中）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用复合函数的单调性及指数函数值域求的值域； （2）只需证明，即可证结论； （3）根据（2）结论有，令得，结合题设条件有，即可求参数范围. 【详解】（1）由复合函数的单调性，易知在R上单调递减， 由指数函数性质知，，即，故； （2）由，即，故关于中心对称，得证； （3）由（2）及，知， 对于，以为主元且，则在上递减， 所以，问题化为任意，都有， 只需，则，则，又， 所以，即参数n的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，问题化为任意，使为关键. 27．（24-25高一上·山东·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值； （3）问题化为有解，求右侧最小值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，而， 所以； （2）令，则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时无最值，不满足； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得（正值舍）. （3）由题意有解，即有解， 对于，当且仅当时取等号， 又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷， 故只需，即. 【高分达标】 一、单选题 28．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数为奇函数.则（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的定义和性质即可求出结果. 【详解】因为奇函数，所以， 即， 得到，所以， 当时，的定义域为关于数0对称，符合意义， 所以. 故选：B. 29．（23-24高一上·江苏淮安·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和函数值域判断即可得出结果. 【详解】函数,即可知函数的定义域为R, 即为偶函数，排除A、C， 又由指数函数性质可以，即，排除B, 故选：D. 30．（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数，且在是增函数 B．为偶函数，且在是增函数 C．为奇函数，且在是减函数 D．为偶函数，且在是减函数 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可排除B,D，再利用指数函数的性质可判断出函数在区间上的单调性，即可判断A正确，C错误. 【详解】已知函数的定义域为, 且， 所以函数为奇函数，则B,D错误； 又函数在上单调递增， 在上单调递减， 所以在上是增函数， 故A正确，C错误， 故选:A. 31．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用分段函数在上单调递增可知，在上单调递增，且在上单调递增，且. 【详解】由题意知，， 故选：D. 32．（23-24高一上·江苏镇江·期中）设函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、和三种情况讨论，结合指数函数的性质求解即可. 【详解】当时，， 所以恒成立， 则； 当时，， 所以恒成立， 则； 当时，， 所以， 解得，则. 综上所述，满足的实数的取值范围是. 故选：C. 33．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数（，且）的图象恒过点，正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数（，且）的图象恒过点，得，从而可得，令，则，再结合基本不等式即可求解. 【详解】函数（，且）的图象恒过点，则， 则正实数满足，则， 则， 令，则， 则， 所以， 当且仅当，即，此时，等号成立， 则的最小值是. 故选：D. 34．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将不等式转化为，再由在区间单调递增，得，然后求出的最小值，从而可求出的取值范围 【详解】由，得， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以可化为 因为在区间单调递增， 所以，所以， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，解得， 即的取值范围是， 故选：A 二、多选题 35．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则函数可能取到的函数值是（  ） A．3 B．5 C．21 D．22 【答案】AB 【分析】根据题意，得出函数y的解析式并根据函数的性质求出函数y的定义域，再利用换元法，令，得到关于t的二次函数，再根据二次函数的性质即可得出函数的取值范围，即函数的取值范围，即可求解． 【详解】由题意，得函数，即 因为的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 令，则， 则， 又因为在上单调递增， 所以，即， 故选：AB. 36．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义域为R的奇函数，则下列选项中正确的是（    ） A．实数 B．函数在定义域R上单调递减 C．函数的值域为 D．若，则对任意实数，有 【答案】BCD 【分析】A选项，根据函数为奇函数得到，得到；B选项，利用定义法判断函数的单调性；C选项，先得到当时，，结合函数的奇偶性得到函数值域；D选项，计算出，从而得到，D正确. 【详解】A选项，由题意得，即，解得， 经检验，当时，为奇函数，所以，A错误； B选项，， 因为在R上单调递增，所以在定义域R上单调递减，B正确； C选项，当时，， 故，， 由为奇函数，故时，， 又，故函数的值域为，C正确； D选项，因为为奇函数，所以， 故，D正确. 故选：BCD 37．（22-23高一上·宁夏银川·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图像关于原点对称 B．，且，则恒成立 C． D．的值域为 【答案】AD 【分析】判断函数的奇偶性即可判断A；判断函数的单调性即可判断B；举反例可判断C；结合指数函数的性质可求得的值域，判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为R，且， 故为奇函数，的图像关于原点对称，A正确； 对于B，，由于是R上的增函数， 故在R上单调递减，则在R上单调递增， 不妨设，且，，则， 故，B错误； 对于C，取，则， 即，C错误； 对于D，由于，且， 故，则，故， 即的值域为，D正确， 故选：AD 38．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．为上的增函数 C．的解集为 D．的值域为 【答案】AC 【分析】由奇函数的性质求出的值，再代入检验，即可判断A，再根据指数型复合函数的单调性判断B，由及指数函数的性质求出不等式的解集，即可判断C，首先求出，即得到的取值范围，即可求出的值域，从而判断D. 【详解】解：因为函数为奇函数， 所以，即，解得， 此时，则，符合题意， 故，即A正确； 因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递减， 所以在定义域上单调递减，故B错误； 由，即，所以，即，即，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 因为，所以，所以，即的值域为，故D错误； 故选：AC 三、填空题 39．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，则的值为 ． 【答案】8 【分析】直接利用解析式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 40．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据结合指数函数性质分析求解即可. 【详解】因为，且在单调递减， 则，且， 所以的值域为. 故答案为：. 41．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若在上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性和一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为在上是增函数， 所以有， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 42．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，则的大小关系是 .（用号连接） 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性，即可比较的大小关系，即得答案. 【详解】由题意知， 而在R上单调递减，故， 故， 故答案为： 43．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）若函数，对恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】. 【分析】结合奇偶性与单调性，应用换元法转化为二次函数恒成立问题求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称；又因为， 所以是上的偶函数； 因为，设，则，因为，所以， 所以，则函数在单调递增，又其为偶函数， 得在单调递减，则对恒成立， 即， 即， 即， 即, 令， 则不等式组化为， 即与都要在上恒成立， 则，解得. 实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】抽象函数不等式问题一般情况要结合奇偶性与单调性求解. 四、解答题 44．（24-25高一上·江苏·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据奇函数的定义进行求解； （2）结合指数函数的单调性，利用定义法进行单调性证明即可； （3）由为奇函数，不等式化为，再结合函数单调性求解即可. 【详解】（1）为上的奇函数，则，即 ，整理可得，可得 （2）为上的单调递增函数. 证明如下：设，且， 则，因为， 根据指数函数的性质，则，，， 所以，即， 所以为上的单调递增函数. （3）因为为奇函数，不等式化为， 又因为为上的单调递增函数，所以，解得不等式的解集为或 45．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数的图象经过点． (1)求的值，判断的单调性并说明理由； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；是上的单调递增函数，理由见解析； (2), 【分析】（1）由函数经过点求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性； （2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在,上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围． 【详解】（1）函数经过点， 所以，解得，即， ， 则是上的单调递增函数，理由如下： 任取、，且，则， 则， 所以，即， 所以是定义域上的单调递增函数． （2）因为， 故是奇函数且在上单调递增， 则不等式等价于， 所以，即， 即存在,不等式有解， 即在,上有解， 由,，可得， 由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增， 且，故在的最大值为， 所以，即 所以， 即实数的取值范围是,． 46．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，为实数． (1)当时，求的值域； (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法来求得的值域. （2）通过求在区间上的最值、在区间上的最值，以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，令， 则在区间上单调递增，， 所以的值域为. （2）对于函数，， 所以在区间上的值域为，最小值为. 对于函数，令， 则的开口向上，对称轴为. 当时，函数在上单调递增， ， 要使“对任意的，总存在，使得成立”， 则. 当时，函数在处取得最小值， 即，不符合题意. 当时，函数函数在上单调递减， ， 要使“对任意的，总存在，使得成立”， 则，与矛盾，不符合. 综上所述，. 【点睛】求解含指数的二次项函数的最值，主要的解题方法是换元法，换元后，利用二次函数的性质来求得函数的最值.求解不等式恒成立、能成立的问题，往往转化为求函数的值域或最值来进行求解. 47．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合，化简得到恒成立，即可求解； （2）根据题意，求得，令，结合指数函数的性质，求得，，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为上的偶函数，则， 即， 即，即恒成立， 所以. （2）解：由（1）知， 可得， 令，因为函数在都是增函数， 所以函数在上为递增函数，则， 所以， 因为函数的对称轴为，所以函数在递增， 所以，当时，， 要使得，都有成立，则，即实数的取值范围. 48．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)是否存在实数使函数为奇函数； (2)判断并用定义法证明的单调性； (3)在（1）的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)存在，时是奇函数； (2)是R上的增函数，证明见解析； (3) 【分析】（1）利用题给条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值； （2）利用增函数定义和指数幂的运算规则即可证得为增函数； （3）利用题给条件列出关于的不等式，利用不等式性质即可求得的取值范围. 【详解】（1）若是上奇函数， 则， 当时，满足 ，则是奇函数. （2）是R上的增函数， 证明如下： 设 ，则                                  由可得 ，，则 则，即 则 是R上的增函数. （3）对，不等式恒成立， 即恒成立， 又是奇函数，则不等式可化为. 又是R上的增函数，则恒成立 ， 即恒成立，则恒成立, 又 ，则 ， 则的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 指数函数 【考点梳理】 · 考点一：指数函数的概念 · 考点二：求指数函数的定义域（复合型） · 考点三：求指数函数的值域 · 考点四：指数函数的图像问题 · 考点五：指数幂的大小比较 · 考点六：复合型指数函数的单调性或者参数问题 · 考点七：指数函数的不等式问题 · 考点八：指数函数的实际应用 · 考点九：指数函数与不等式的综合 【知识梳理】 知识点一：指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二：两类指数模型 1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型． 2．y＝kax(k>0)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型． 知识点三：指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 知识点四：比较幂的大小 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 知识点五：解指数方程、不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 知识点六：指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 【题型归纳】 题型一：指数函数的概念 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 题型二：求指数函数的定义域（复合型） 4．（23-24高一上·安徽滁州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D． 5．（23-24高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一上·广西河池·阶段练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型三：求指数函数的值域 7．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型四：指数函数的图像问题 10．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数的图象如图所示，则可以为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（   ） A． B．  C．   D．   12．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．  C． D．   题型五：指数幂的大小比较 13．（24-25高一上·广东梅州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·辽宁·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·福建厦门·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型六：复合型指数函数的单调性或者参数问题 16．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，若为上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·浙江·期中）已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：指数函数的不等式问题 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知不等式，且，则实数x的取值范围为 ． 20．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，则的解集为 ． 21．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 . 题型八：指数函数的实际应用 22．（23-24高一上·广东·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 23．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 24．（21-22高一上·江苏南京·期中）核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 题型九：指数函数与不等式的综合 25．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 26．（24-25高一上·山东·期中）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 27．（24-25高一上·山东·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 【高分达标】 一、单选题 28．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数为奇函数.则（     ） A．2 B．1 C． D． 29．（23-24高一上·江苏淮安·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数，且在是增函数 B．为偶函数，且在是增函数 C．为奇函数，且在是减函数 D．为偶函数，且在是减函数 31．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·江苏镇江·期中）设函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数（，且）的图象恒过点，正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 35．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则函数可能取到的函数值是（  ） A．3 B．5 C．21 D．22 36．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义域为R的奇函数，则下列选项中正确的是（    ） A．实数 B．函数在定义域R上单调递减 C．函数的值域为 D．若，则对任意实数，有 37．（22-23高一上·宁夏银川·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图像关于原点对称 B．，且，则恒成立 C． D．的值域为 38．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．为上的增函数 C．的解集为 D．的值域为 三、填空题 39．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，则的值为 ． 40．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 41．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若在上是增函数，则实数的取值范围是 . 42．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，则的大小关系是 .（用号连接） 43．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）若函数，对恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 44．（24-25高一上·江苏·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)求不等式的解集. 45．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数的图象经过点． (1)求的值，判断的单调性并说明理由； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围． 46．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，为实数． (1)当时，求的值域； (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围． 47．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 48．（23-24高一上·江苏南京）已知函数. (1)是否存在实数使函数为奇函数； (2)判断并用定义法证明的单调性； (3)在（1）的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$