北京市八一学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

北京市八一学校 2024～2025 学年度第一学期期中试卷 高一 数学 制卷人 高鹤 审卷人 王明辉 一、选择题.共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 设集合M = { x −1 < x < 1} ，N = {x | 0x < 3}，则M N = ( )班 级 姓 名 学 号 考场号 A. {x | −1 < x < 3} B. {x | 0x < 1} C. {x | 0 < x < 1} D. {x | −1 < x < 0} 2. 下列函数中，是(0, +∞ ) 上单调减函数的是( ) A. f (x) = x + 1 B. C. f (x) =−x2 + 2 D. 3. 下列命题中正确的是( ) A. 若a > b ，则 B. 若a > b ，则 ac2 > bc2 C. 若a > b ，则 a2 > b2 D. 若a > b ，则 a − c > b − c 4. 设x ∈ R ，“ x > 0 ”是“ x + 1> 0 ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 二次函数y = ax2 + bx + c(a, b, c 为常数且a ≠ 0) 的图象如右图所示， 则一次函数y = ax + b 与反比例函数 的图象可能是( ) A. B. ( C. )D. ( x 1 2 3 4 g ( x ) 2 1 4 3 )6. 若函数f (x) 和g (x) 分别由下表给出： x 1 2 3 4 f (x) 2 3 4 1 满足g(f (x)) = 3 的x 值是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第1页 （全卷共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 7. 已知函数 − x2 ，则函数f (x) 的零点所在区间为( ) A. (−1, 0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3) 8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选 1 名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 5 时再 增选 1 名代表．那么各班可推选的代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y = [x]([x] 表 示不大于 x的最大整数) 可以表示为( ) A. B. C. D. 9. 已知函数y = f (x) 在[−1,1] 上单调递增，且函数f (x) 的图象关于直线x = 1 对称，设 a = f ， b = f (2) ， c = f (3) ，则 a, b, c 的大小关系为( ) A. c < a < b B. c < b < a C. a < b < c D. b < a < c 10. 已知函数 若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x) = b 有三个不同的根，则实数 m 的取值范围是( ) A. (0, 2) B. (−2, 0) (2, +∞) C. (−2, 0) D. (−∞, −2) (0, 2) 二、填空题.共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. 已知函数 ，函数f 的定义域是 . 12. 已知x1 ，x2 是一元二次方程x2 − x −1 = 0 的两实数根，则x1 + x2 = ,| x1 − x2 |= . 13. 当x > 1 时，函数y = x + 的最小值是 . 14. 已知函数 −1 ，若f 在 上单调递减，则a 的取值范围是__________. 15. 已知函数f (x) ，对于给定的实数t ，若存在a > 0 ，b > 0 ，满足： x∈[t − a, t + b] ，使得 | f (x) − f (t) |≤ 2 ，则记 a + b的最大值为H(t) . ①当f (x) = 3x 时，H(0) = ； ②当f (x) = x2 且t ∈[1,3] 时，函数H(t) 的值域为 . 第2页 （全卷共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题.共 5 小题，共 50 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题 8 分） 设集合A = {x | −1 < x < 2} ，集合B = {x | (x −1)(x − 3) > 0} ,集合C = {x | x |< a} . ( Ⅰ )求 A B , CR B ； (Ⅱ)若C A ，求实数a 的取值范围. 17. （本小题 10 分） 已知函数f (x) 为二次函数，f (x) 的零点为 −1 和2 ，且 f (0) = −4 . ( Ⅰ ) 求f(x) 的解析式，并写出f(x) 的单调区间； ( Ⅱ ) 求f(x) 在区间[0,3] 上的最大值和最小值. 18. （本小题 12 分） 已知函数 为奇函数. ( Ⅰ ) 求a 的值； ( Ⅱ ) 用定义证明：f (x) 在区间[0,1] 上是增函数； (Ⅲ) 若函数h(x) 为定义在(−1,1) 上的偶函数，且x∈[0,1) 时，h(x) = f (x) .求h(x) 的解析式，并求不 等式 的解集. 第3页 （全卷共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 19. （本小题 12 分） 已知函数f (x) = x2 + ax + 3 ,g(x) = 2x . ( Ⅰ ) 若方程f (x) = 0 的根为 −1 和b ，求a 和b 的值； ( Ⅱ ) 若函数f(x) 在区间[1, 2] 上的最小值，与函数g(x) 在区间[1, 2] 上的最小值相同，求a 的值； (Ⅲ) 若函数f (x) 的图象总在函数g(x) 图象的上方，求a 的取值范围. 20. （本小题 8 分） 设函数f (x) 的定义域为D ，对于区间I = [a, b](a < b, I D) ，若满足以下两条性质之一，则称I 为 f (x) 的一个“ Ω 区间 ”. 性质 1：对任意x ∈ I ，有 f (x) ∈ I ； 性质 2：对任意x ∈ I ，有 f (x) I. ( Ⅰ ) 分别判断区间[1, 2] 是否为下列三个函数的“ Ω 区间 ”( 直接写出结论) ； ① y = 3 − x ；② y = ；③ y = −x2 + 2x . (Ⅱ) 已知定义在R 上，且图象连续不断的函数f(x) 满足：对任意x1 ，x2 ∈ R ，且 x1 ≠ x2 ，有 < −1. 求证：f 存在“ Ω 区间”，且存在x0 ∈ R ，使得x0 不属于f (x) 的所有“ Ω 区 间 ”. 第4页 （全卷共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$