精品解析： 湖北省老河口市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024年秋初中生期中素养综合作业 九年级数学试题 （本试卷共4页，满分120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级，姓名，考试号填写在试题卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答．） 1. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，由a是方程的一个根，得到，然后利用整体代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， 故选：D． 2. 关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 【答案】C 【解析】 【详解】对于一元二次方程a+bx+c=0，当Δ=-4ac=0时，方程有两个相等的实数根. 即16-4k=0，解得：k=4. 考点：一元二次方程根的判别式 3. 关于二次函数的性质，下列说法不正确的是（ ） A. 顶点是 B. 图象开口向上 C. 函数有最小值 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的顶点坐标为，故选项A说法错误，符合题意； ∵， ∴函数的图象开口向上，故选项B说法正确，不符合题意； ∴函数的最小值为，故选项C说法正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，函数的图象开口向上； ∴当时，y随x的增大而增大，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：A． 4. 将抛物线向左平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，抛物线平移不改变a值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，向左平移1个单位长度， ∴新抛物线的顶点为， 设新抛物线的解析式为，代入得， 故选：C． 5. 如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，先找到旋转角，再根据进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意可知旋转角， 所以． 故选：C． 6. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转所得的图形能与原图形重合，则该图形为中心对称图形，掌握其定义即可解题． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 7. 在一次聚会时，参加聚会的每两人都互相赠送礼物，共赠送礼物20件，设有x人参加聚会，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解决实际问题，理解数量关系，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． 【详解】解：每两人都互相赠送礼物，共赠送礼物20件，设有x人参加聚会， ∴， 故选：B ． 8. 某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩（即的长度）是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，求出点的坐标是正确解决问题的关键． 令，则，求出的值，即可得出点的坐标，从而得解． 【详解】解：令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若点A的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的性质，根据证明．作轴于点C，作轴于点D，根据旋转的性质可得，，根据证明，推出，，可得 ． 【详解】解：如图，为旋转后线段，作轴于点C，作轴于点D， 点的坐标是， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：B． 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，根据抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，与轴有2个交点，当时，， ∴， 与的函数值相同， ∴，； 综上：只有选项D正确，符合题意； 故选D． 二．填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置上．） 11. 已知m，n是一元二次方程的两根，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则．据此求解，即可解题． 【详解】解： m，n是一元二次方程的两根， ， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 13. 抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 根据抛物线与x轴交点个数与的关系求解． 【详解】解∶抛物线与x轴有交点， ． 解得， 故答案为∶． 14. 标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数 ，则当温度为时，水的体积为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，当温度为时，水的体积为 故答案为：． 15. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，则的长为__． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 延长交于点G，由旋转性质和角平分线性质证明，得到，设，证明四边形是正方形，得到，得到,得到，根据，得到，即得． 【详解】延长交于点G， 由旋转知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵, ∴, ∴， ∵， ∴， 解得． ∴． 故答案为：5． 三．解答题：（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用公式法求解即可． 【详解】解：∵． ． ∴方程有两个不相等的实数根 ∴． ∴，． 17. 在平面直角坐标系中，． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点A顺时针旋转后得到的． 【答案】（1） 解：如下图所示； （2） 解：如下图所示． 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形、旋转作图： （1）找出三个顶点关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）找出三个顶点绕点A顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，记住增长率公式是解题的关键． 根据增长（降低）率公式，可列出式子． 【详解】解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为． 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求A，B，C，D四个点的坐标； （2）若点在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，顶点坐标，二次函数图象上点坐标特征；熟练掌握二次函数与一元二次方程，不等式的关系，会用数形结合的思想是解题关键． （1）分别令，，得出A，B，C的坐标，将二次函数化为顶点式，得出顶点D的坐标； （2）过点作平行于轴的直线交抛物线与点E，得到E点坐标，结合图象，利用函数方程不等式的关系，即可得出点在抛物线上，当时，m的取值范围； 【小问1详解】 当时，， 解得， 所以 ． 当时，， 所以． 因为， 所以． 【小问2详解】 过点作平行于轴的直线交抛物线与点E， 令，则或， 故点， 点在抛物线上，当时 由图可知，抛物线在直线得下方图像上所有点的横坐标的范围为或， 故答案为：或 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程的根．熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据一元二次方程有实数根，得．据此即可求解． （2）根据该方程的两个实数根分别为α，β，得，代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为α，β， ∴， ∵， ∴ 解得， ∵， ∴． 21. 如图，将绕点A逆时针旋转α得到，点B的对应点D落在上，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵将绕点A逆时针旋转α得到， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理： （1）根据旋转的性质得到，推出，再根据平角的定义和三角形内角和定理即可得出结论； （2）根据平行线的性质得到，证明是等边三角形，求出，设，则，利用股沟定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∵， ∴． ∴． ∴． 设，则． 在中，， ∴． 解得（负值舍去）． ∴． 22. 综合与实践 活动名称：销售方案设计 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系． 材料二：该蔬菜销售单价为14元时，日销售量为2000千克；销售单价为16元时，日销售量为1600千克； 任务一：建立函数模型 （1）设该种蔬菜的日销售利润为W元，分别写出y与x，W与x的函数解析式； 任务二：设计销售方案 （2）该种蔬菜的销售单价定为多少元时，获得的日销售利润最大？ （3）若该蔬菜的日销售利润为6400元，该蔬菜的销售单价应定为多少元？ 【答案】 任务一：（1） 任务二：（2）该种蔬菜的销售单价定为18元时，获得的日销售利润最大 （3）蔬菜的销售单价应定为16元或20元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数，一元二次方程的实际运用，理解销售与利润的数量关系，掌握待定系数法求一次函数解析式，因式分解法求一元二次方程的解方法是解题的关键． 任务一：（1）设日销售量y（千克）与销售单价x（元）的一次函数关系式为，运用待定系数法求解可得一次函数解析式，由销售与利润的数量关系即可； 任务二：（2）将销售与利润的数量关系转换为顶点式即可求解； （3）根据题意，解一元二次方程即可． 【详解】解：任务一：（1）设日销售量y（千克）与销售单价x（元）的一次函数关系式为， ∵销售单价为14元时，日销售量为2000千克；销售单价为16元时，日销售量为1600千克； ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为：， ∵成本为每千克12元，销售单价每千克x（元）， ∴， ∴； 任务二：（2）， ∵， ∴当时，W取最大值， 答：该种蔬菜的销售单价定为18元时，获得的日销售利润最大； （3）根据题意，得， 解得，， 答：蔬菜的销售单价应定为16元或20元． 23. 在中，，将绕点A旋转得到，直线与直线相交于点P． （1）如图1，当点P落在线段上时，求证：； （2）如图2，当C的对应点E落在上时，连接．若求的周长． （3）如图3，当点P落在的延长线上，且时，连接，判断线段与的数量关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接． ∵将绕点A旋转得到， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． （2） （3） 解：，理由如下：由（1）的方法可证， ， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ 又∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可求证； （2）由勾股定理得，由，得到，则．那么，故； （3），理由如下：由（1）的方法可证，，则，由，得到，则，故，下面证明即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴． ∴． 即的周长为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，点P是抛物线上不与O，B重合的一动点，点P的横坐标为m，过点P作y轴的平行线交直线于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在x轴下方的抛物线上时，若，求m的值； （3）设线段的长为l． ①求l与m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①当或时，；当时，；②或 【解析】 【分析】（1）把，代入列方程计算即可； （2）由，轴可得，两点关于x轴对称，再由横坐标相同标出两点坐标，最后列方程求解即可； （3）①由，，得到，再分情况讨论去绝对值即可； ②画出函数大致图象，结合函数图象分析判断即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得，， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，轴， ∴x轴垂直平分，即，两点关于x轴对称， ∵点P的横坐标为m， ∴，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）． ∴m的值为； 【小问3详解】 解：∵点P的横坐标为m，过点P作y轴的平行线交直线于点Q， ∴，， ∴， ①当点P在y轴左侧的抛物线上时，， ， 当点P在直线下方的抛物线上时，， ， 当点P在点B右侧的抛物线上时，， ， 综上所述，当或时，；当时，； ②函数大致图象如下： ∴当l随m的增大而增大时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋初中生期中素养综合作业 九年级数学试题 （本试卷共4页，满分120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级，姓名，考试号填写在试题卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答．） 1. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 2. 关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 3. 关于二次函数的性质，下列说法不正确的是（ ） A. 顶点是 B. 图象开口向上 C. 函数有最小值 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 将抛物线向左平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 在一次聚会时，参加聚会的每两人都互相赠送礼物，共赠送礼物20件，设有x人参加聚会，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩（即的长度）是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若点A的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置上．） 11. 已知m，n是一元二次方程的两根，则__． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 13. 抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是__． 14. 标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数 ，则当温度为时，水的体积为__． 15. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，则的长为__． 三．解答题：（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．） 16. 解方程：． 17. 在平面直角坐标系中，． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点A顺时针旋转后得到的． 18. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求A，B，C，D四个点的坐标； （2）若点在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围． 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 21. 如图，将绕点A逆时针旋转α得到，点B的对应点D落在上，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 综合与实践 活动名称：销售方案设计 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系． 材料二：该蔬菜销售单价为14元时，日销售量为2000千克；销售单价为16元时，日销售量为1600千克； 任务一：建立函数模型 （1）设该种蔬菜的日销售利润为W元，分别写出y与x，W与x的函数解析式； 任务二：设计销售方案 （2）该种蔬菜的销售单价定为多少元时，获得的日销售利润最大？ （3）若该蔬菜的日销售利润为6400元，该蔬菜的销售单价应定为多少元？ 23. 在中，，将绕点A旋转得到，直线与直线相交于点P． （1）如图1，当点P落在线段上时，求证：； （2）如图2，当C的对应点E落在上时，连接．若求的周长． （3）如图3，当点P落在的延长线上，且时，连接，判断线段与的数量关系并说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，点P是抛物线上不与O，B重合的一动点，点P的横坐标为m，过点P作y轴的平行线交直线于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在x轴下方的抛物线上时，若，求m的值； （3）设线段的长为l． ①求l与m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $