等比数列专项训练-2025届高三数学一轮复习

等比数列专项训练-2025年高三数学上学期一轮复习专题 一、单选题 1．已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 4．已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 6．数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为，，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推．设，，，…，，则等于（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（   ） A．1天 B．2天 C．3天 D．4天 二、多选题 9．已知数列满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B．中存在连续三项成等差数列 C．中存在连续三项成等比数列 D．数列的前项和 10．已知等比数列中，满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，仍成等比数列 11．已知由实数构成的数列满足，则以下说法正确的是（   ） A．存在且，使 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列的最大项为 D．若，设，的前项和为，则 三、填空题 12．等比数列的公比，其前项和为，且，则 . 13．某工厂去年12月试产1050个某款电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的若干年中将正式生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么从正式生产这款产品算起，在第 个月，月不合格品的数量达到最大. 14．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是1为首项，公比为2的等比数列，设，，则当时，的最大值是 ． 四、解答题 15．已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．在数列中，，，对满足的任意正整数m，n，p，q，都有成立. (1)若数列是等比数列，求a，b满足的条件； (2)若，，设. ①求数列的通项公式； ②求证：. 17．设等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 18．已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，，，试求数列的通项公式. 19．若存在常数，使得数列满足，则称数列为“数列”． (1)判断数列：1，3，5，10，152是否为“数列”，并说明理由； (2)若数列是首项为2的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式； (3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B A B B B ABD AC 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 【详解】由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 2．D 【分析】设出公比，根据题目条件得到方程组，求出，，由等比数列通项公式基本量计算得到答案. 【详解】设公比为，则， 故，其中，， 则 故选：D 3．D 【分析】根据给定条件，可得等比数列的公比的范围，再按的正负逐项判断得解. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，则， 对于AB，当时，，则，数列不单调，AB错误； 对于C，当时，，是递增数列，无最大值，C错误； 对于D，当时，；当时，， 若为奇数，；若为偶数， ，而， 因此当时，对任意整数，，D正确. 【点睛】关键点点睛：选项D，按公比的正负探讨是求解的关键. 4．B 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 5．A 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 6．B 【分析】根据题设有，结合三角函数性质有，即可求值. 【详解】由题设，，且当为偶数时，当为奇数时， 所以 . 故选：B 7．B 【分析】根据给定条件，结合等腰直角三角形的性质可得数列为等比数列，进而求出. 【详解】依题意，数列的相邻两项分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即， 因此数列是首项，公比的等比数列，， 所以. 故选：B 8．B 【分析】设这女子每天分别织布尺，则数列是等比数列，公比．利用等比数列的通项公式及其前项和公式即可得出． 【详解】设这女子每天分别织布尺， 则数列是等比数列，公比． 则，解得． 数列的通项公式为， ， 当时，则， 当时，则， 故超过1尺的天数共有2天. 故选：B． 9．ABD 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项，再逐项判断即得. 【详解】数列中，由，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即， 对于A，，A正确； 对于B，，，即成等差数列，B正确； 对于C，假定连续三项成等比数列，则， 整理得，此方程无解，即中不存在连续三项成等比数列，C错误； 对于D，，则， 两式相减得， 因此，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 10．AC 【分析】由题意利用等比数列的性质、通项公式及前n项和公式，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】等比数列中，满足，则，有， 由，，数列是首项为2公比为4的等比数列，故A选项正确； 而，结合指数函数性质可知，数列是递减数列，故B选项错误； 又，，， 故数列是首项为0公差为1的等差数列，故C选项正确； 数列中，，，， ，故D选项错误. 故选：AC. 11．BCD 【分析】A选项，由无解，得到A错误；B选项，由得到，作差法得到，B正确；C选项，由得到，在B选项基础上得到当时，，故C正确；D选项，变形得到，取对数变形得到，故数列是等比数列，利用等比数列求和公式得到. 【详解】对于A，假设存在且，，则， 即，该方程无实根，故A错误； 对于B，假设，则，又， 则对于，，那么， 数列是递增数列，B正确； 对于C，若，则， 由二次函数的性质可知，，由B选项的分析可知，当时，， 故数列的最大项为，C正确； 对于D，由得， 因为，所以， ， ，即， 又因为， 所以数列是以-1为首项，为公比的等比数列， ，故D正确. 故选：BCD. 12．/ 【分析】由题意可得，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得：，， . 故答案为：. 13．5或6 【分析】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列．由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法． 【详解】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，． 由题意，知， ，其中，2，…，24， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 ． 由通项公式列表， n 1 2 3 4 5 6 7 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减， 由，得． 所以，当时，单调递减． 所以在第5或6个月，月不合格品的数量达到最大， 故答案为：5或6 14．9 【分析】由等差和等比数列的基本量法求出数列和的通项，进而可得和，再判断数列为递增数列，由等比数列的求和公式求解即可； 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 因为， 所以数列为递增数列， 因为，， 所以的最大值是9. 故答案为：9. 15．(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，根据前n项积与之间的关系分析求解； （2）由（1）可知，利用错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，，可得； 且符合，所以． （2）由（1）可知， 则，可得， 两式相减得， 所以． 16．(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由题意推出，即得，从而可解； （2）①由条件可推出，结合等比数列通项公式，即可求得答案； ②由题意可得，从而，先证明，再讨论n的奇偶性，结合放缩法，即可证明结论. 【详解】（1）因为数列是等比数列，设其公比为t，且满足， 则，结合，可得， 所以， 故，即a，b满足的条件为； （2）①由，得， 结合，，故，即， 故是以为首项，公比为2的等比数列， 故； ②由①知，故； 先证，即证， 即证，即证， 而恒成立， 故总成立， 当n为奇数时，， 即； 当n为偶数时，， 而 ， 即； 综合上述可知. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于第二问的数列不等式证明时，要结合分类讨论n的奇偶性以及放缩法进行解决. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据题设的递归关系可得，故可得公比，从而可求通项； （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，所以， 所以，而为等比数列，故公比，故. （2）， 故， 所以， 所以 ， 故. 18．(1); (2)数列具有性质，证明见详解; (3) 【分析】（1）根据数列数列具有性质可得为等比数列,根据等比数列性质可求得答案； （2）依据数列新定义，结合等比数列定义即可判断结论，进而证明； （3）求出,可得,进而推出,分为奇、偶数,求出,综合可得答案. 【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列,设公比为, 由得 , （2）数列具有性质;证明如下: 因为, 所以 则,即为等比数列, 所以数列具有性质. （3）因为,则 , 故, 适合该式,故, 所以由 得 , 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时, , 当为奇数时, , 故 【点睛】关键点睛：本题是关于数列新定义类型题目，解答的关键是要理解数列新定义，并依据该定义去解决问题. 19．(1)不是“数列”，理由见解析 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）由数列定义验证即可； （2）由题可得，与相减结合数列定义可得关于的方程，即可得答案； （3）注意到，构造函数，利用其单调性可证明结论. 【详解】（1）根据“数列”的定义，则，故， 因为成立，成立， 不成立， 所以1，3，5，10，152不是“数列”． （2）由是首项为2的“数列”，则，， 由是等比数列，设公比为， 由，则， 两式作差可得， 即， 由是“数列”，则，对于，恒成立， 所以， 即对于，恒成立， 则 解得，，，又由，， 则，即， 故所求的，数列的通项公式； （3）证明：要证， 即证， 因数列是“数列”，则. 则要证，即证. 又，对于，恒成立， 因为，，则，再结合，，， 反复利用，可得对于任意的，，， 则要证：，即证. 设函数，则，令，解得， 当时，，则在区间单调递减， 因对于任意的，，，则. 即，，…，， 相加可得，即，故命题得证. 【点睛】关键点睛：本题关键为理解“数列”的定义.对于数列不等式的证明，可利用作差法，也可将不等式左右两边拆分为新数列相加，通过构造函数来证明. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$