精品解析：2024-2025学年人教版数学八年级上册期末综合试卷

2024-2025学年人教版数学八年级上册期末综合试卷 一、单选题 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算错误是（　　） A. B. C. D. 5. 等腰三角形有一个角为，顶角等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A B. C. D. 7. 已知，，，，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（ ） A. a＞b＞c＞d B. c＞d＞a＞b C. b＞c＞a＞d D. d＞c＞b＞a 8. 如图，在中，，，，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点D，连接，点F是的中点并连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10. 如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，B，D在一条直线上．给出4个结论：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形．其中正确的是（ ） A. ①，②，③ B. ①，②，④ C. ①，③，④ D. ②，③，④ 二、填空题 11. 如图，与交于点C，．试添加一个条件，使得，你所添加的条件是________． 12. 已知等腰三角形底边长为，腰长为，则它的周长为________． 13. 若三项式4a2-2a+1加上一个单项式后能用完全平方公式分解因式，请写出一个这样的单项式_____． 14. 若，，则的值为______． 15. 如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于___________． 16. 若关于x的方程无解，则m的值______． 17. 如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点 H，在边 BE 上取点 M 使 BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了．连结DE，记△EDH 面积为 S1，图中阴影部分的面积为 S2．若，则的值为__________． 18. 如图，在中，，点P为边上的动点，点D为边上的动点，若，则的最小值为________． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. （1）下面的方格图是由边长为1的42个小正方形拼成的，的顶点A、B、C均在小正方形的顶点上． ①作出关于直线m轴对称的； ②面积___________． （2）请仅用直尺和圆规，按要求完成画图，不写做法，但要保留作图痕迹． 已知：如图所示． 求作：，使． 23. 某周日，珂铭和小雪从新天地小区门口同时出发，沿同一条路线去离该小区米的少年宫参加活动，为响应节能环保，绿色出行的号召，两人步行，已知珂铭的速度是小雪的速度的倍，结果珂铭比小雪早6分钟到达． （1）求小雪的速度； （2）活动结束后返回，珂铭与小雪的速度均与原来相同，若小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区，则小雪至少要比珂铭提前多长时间出发？ 24. 请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；方法一得_____；方法二得______． （2）由（1）可知，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示为_______； （3）如果图中的，满足，，求：①的值；②的值． 25. 如图，在中，． （1）作的平分线，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①若．求的度数； ②若，求的面积． 26. 如图，在中，，分别为边上的高，连接，过点D作交BE于点F，点G为中点，连接． （1）求证：； （2）请写出AF与DG之间的关系，并证明你的结论． 27. 【阅读学习】 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由 知x≠0，所以，即 所以 故的值为． 【类比探究】 （1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值． 【拓展延伸】 （2）已知，，，求的值． 28. 在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． （1）若点D在线段上时（如图1），则　 　（填“＞”、“＜”或“＝”），　 　度； （2）设直线与直线的交点为O． ①当动点D在线段的延长线上时（如图2），试判断与的数量关系，并说明理由； ②当动点D在直线上时，试判断是否为定值？若是，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级上册期末综合试卷 一、单选题 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A.不轴对称图形，故该选项符合题意； B.是轴对称图形，故该选项不符合题意； C. 是轴对称图形，故该选项不符合题意； D. 是轴对称图形，故该选项不符合题意． 故选：A． 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的分式有意义条件，根据分母不为零分式有意义求解即可． 【详解】∵分式有意义， ∴，解得， 故选：A． 3. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，,n为第一位有效数字前面0的个数． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数；一般形式为，，n为整数，确定a与n的值是解题的关键． 4. 下列运算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方及单项式乘以多项式计算，再进行判断即可． 【详解】A.正确，不符合题意； B.不能合并同类项，符合题意； C.正确，不符合题意； D.正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方及单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 等腰三角形有一个角为，顶角等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的就是等腰三角形的性质，本题只要根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】当为顶角时，则顶角为；当为底角时，则顶角为， 故选C． 6. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 7. 已知，，，，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（ ） A. a＞b＞c＞d B. c＞d＞a＞b C. b＞c＞a＞d D. d＞c＞b＞a 【答案】C 【解析】 【分析】把这几个数运用幂的乘方的逆运算化成同指数的幂进行比较即可得出结果． 【详解】解：∵，， ，， 又∵， ∴， ∴b＞c＞a＞d； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运用来比较大小，即（m、n为正整数），熟练掌握这一运算法则是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点D，连接，点F是的中点并连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形三边关系，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 先在中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，再由基本作图得到垂直平分，所以，则，接着证明为等边三角形，所以，根据等边三角形的性质得到，然后在中利用含30度角的直角三角形的关系求出的长． 【详解】解：在中，， ∴，， 由基本作图法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形，， ∵点是的中点， ∴，， 在中，． 故选：D． 9. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】先解方程得到，再由方程的解为非负数，得到，再由，可得，从而可求a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得， 解得， ∵方程的解为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的取值范围是且， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程分母不为0是解题关键． 10. 如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，B，D在一条直线上．给出4个结论：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形．其中正确的是（ ） A. ①，②，③ B. ①，②，④ C. ①，③，④ D. ②，③，④ 【答案】C 【解析】 【分析】由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BHD≌△BGE，△ABG≌△CHB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论． 【详解】解：①根据题意可知，AB=BC，BE=BD，∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，∴三角形ABE≌三角形CBD，∴AE=CD； ③∵三角形ABE≌三角形CBD，∴∠EAB=∠BCD，∵∠AGB=∠CGF， ∴∠AFC=∠ABC=60°； ④∵∠ABC=∠EBD=60°， ∴∠CBE=60°， ∵AB=BC，∠EAB=∠BCD， ∴三角形AGB≌三角形CHB， ∴GB=BH， ∴三角形BGH为等边三角形； ②设AB⊥FB，则FB⊥AD，易证△ABF≌△DBF，可得AB=BD，显然与已知条件矛盾，故②错误； 故答案为C. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题 11. 如图，与交于点C，．试添加一个条件，使得，你所添加的条件是________． 【答案】（或或）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 根据全等三角形的判定定理，依据已有的条件，得到，，再添加一边即可得到使得． 【详解】解：∵ ∴，， 当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：（或或）（答案不唯一）． 12. 已知等腰三角形的底边长为，腰长为，则它的周长为________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据等腰三角形定义和周长公式即可得到结论． 【详解】解：∵等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴周长为： 故答案为：18． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的周长的计算，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 13. 若三项式4a2-2a+1加上一个单项式后能用完全平方公式分解因式，请写出一个这样的单项式_____． 【答案】答案不唯一，如-3a2或-2a或6a或； 【解析】 【分析】分析利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：三项式4a−2a+1加上一个单项式后是一个多项式的完全平方，例： 4a−2a+1=4a−2a=（2a）2； 4a−3a−2a+1=a−2a+1=（a+1）2； 4a−2a-2a+1=4a−4a+1=（2a-1）2； 4a−2a+6a+1=4a+4a+1=（2a+1）2； ∴这样的单项式可以为：答案不唯一，如−3a或−2a或6a或−34； 故答案为：答案不唯一，如−3a或−2a或6a或． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式并能灵活变换是解题的关键． 14. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，即，那么把，，代入即可作答． 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为： 【点睛】本题考查了同底数幂除法的逆用，难度较小． 15. 如图，已知在中，CD是AB边上高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于___________． 【答案】5 【解析】 【分析】过作于点，由角平分线的性质可求得，则可求得的面积． 【详解】解：过作于点， 是边上的高，平分， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 16. 若关于x的方程无解，则m的值______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解方程得，，由方程无解可得，计算求解即可． 【详解】解：， 两边同时乘以得，， 解得，， ∵关于x的方程无解， ∴， 解得，， 故答案为：1 17. 如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点 H，在边 BE 上取点 M 使 BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了．连结DE，记△EDH 的面积为 S1，图中阴影部分的面积为 S2．若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形，分别表示出和，代入，计算的值即可． 【详解】解：由题意得，四边形HFNL是正方形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法的应用，正确列出和的式子是解题的关键． 18. 如图，在中，，点P为边上的动点，点D为边上的动点，若，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】如图所示，延长到E使得，连接，证明，得到，则，再证明，得到，推出当三点共线且时有最小值，即有最小值，则． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，有最小值，即有最小值， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，整式的运算： （1）先进行零指数幂，负整数指数幂的运算，再进行有理数的运算即可； （2）利用乘法公式进行计算后，合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 20. 先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4． 【答案】原式＝ 【解析】 【分析】先对括号里进行通分，再利用分式的乘除法法则进行计算，化简后代入数值计算即可. 【详解】原式＝（）÷ ＝ ＝， 当x＝4时，原式＝＝． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练的掌握分式的各运算法则是关键. 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】（1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 ， ， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即原分式方程无解； 【小问2详解】 ， ， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 即分式方程的解是． 【点睛】题考察解分式方程，解题的关键是利用转化的思想，把分式方程转化为整式方程，解分式方程一定要验根． 22. （1）下面的方格图是由边长为1的42个小正方形拼成的，的顶点A、B、C均在小正方形的顶点上． ①作出关于直线m轴对称的； ②的面积___________． （2）请仅用直尺和圆规，按要求完成画图，不写做法，但要保留作图痕迹． 已知：如图所示． 求作：，使． 【答案】（1）①见解析；②；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①先根据轴对称图形的性质找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；②利用割补法求解即可； （2）先作射线，在射线上截取，再分别以为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则即为所求． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求； ②由题意得，； （2）先作射线，在射线上截取，再分别以为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则即为所求； 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，画全等三角形，割补法求三角形面积等等，熟知相关作图方法是解题的关键． 23. 某周日，珂铭和小雪从新天地小区门口同时出发，沿同一条路线去离该小区米的少年宫参加活动，为响应节能环保，绿色出行的号召，两人步行，已知珂铭的速度是小雪的速度的倍，结果珂铭比小雪早6分钟到达． （1）求小雪的速度； （2）活动结束后返回，珂铭与小雪的速度均与原来相同，若小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区，则小雪至少要比珂铭提前多长时间出发？ 【答案】（1）小雪的速度是米/分钟 （2）小雪至少要比珂铭提前出发12分钟 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设小雪的速度是米/分钟，则珂铭速度是米/分钟，根据“珂铭比小雪早6分钟到达”列出方程，解方程并检验后即可得到答案； （2）求出珂铭与小雪全程所用的时间，根据“小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区”列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设小雪的速度是米/分钟，则珂铭速度是米/分钟，依题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：小雪的速度是米/分钟． 【小问2详解】 由（1）可知，珂铭速度是（米/分钟）， 珂铭全程用的时间是（分钟）， 小雪全程用的时间是（分钟）， 设小雪比珂铭提前a分钟出发， 根据题意得，， 解得， 答：小雪至少要比珂铭提前出发分钟． 24. 请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；方法一得_____；方法二得______． （2）由（1）可知，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示为_______； （3）如果图中的，满足，，求：①的值；②的值． 【答案】（1），；（2）；（3）①9；②2385 【解析】 【分析】（1）利用正方形的面积公式和割补法即可求解； （2）根据（1）中两种表达形式即可求解； （3）①由已知可得：，再结合、的范围即可求解；②再结合、的范围即可求解． 【详解】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：，； （2）， （3）①，， ， ， 又，， ． ②， ， 又， ， ， ∴． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，由面积的关系结合平方差公式解题是关键． 25. 如图，在中，． （1）作的平分线，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①若．求的度数； ②若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；②5 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）①根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再次利用三角形内角和定理求解即可；②根据角平分线的性质，得到的高，从而计算面积． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵平分，， ∴点D到的距离为， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的作法和性质，三角形内角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，得到三角形的高． 26. 如图，在中，，分别为边上的高，连接，过点D作交BE于点F，点G为中点，连接． （1）求证：； （2）请写出AF与DG之间的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）且，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据分别为边上的高，可得，再由，可得，然后根据，可得，可证得，即可求证； （2）延长至点M，使，交于点H，连接，先证得，可得到，，由，结合三角形外角的性质可得，可证得，即可． 【小问1详解】 证明：∵分别为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 小问2详解】 解：且，证明如下： 如图，延长至点M，使，交于点H，连接， ∵点G为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴且． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，根据题意准确得到全等三角形是解题的关键． 27. 【阅读学习】 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由 知x≠0，所以，即 所以 故的值为． 【类比探究】 （1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值． 【拓展延伸】 （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）已知等式变形求出，原式变形后，将代入计算即可； （2）已知三等式变形后相加求出，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）∵ ∴x≠0， ∴，即 ∴ ∴=-； （2）∵，，， ∴=， ∴ ∵， ∴ 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 28. 在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． （1）若点D在线段上时（如图1），则　 　（填“＞”、“＜”或“＝”），　 　度； （2）设直线与直线的交点为O． ①当动点D在线段的延长线上时（如图2），试判断与的数量关系，并说明理由； ②当动点D在直线上时，试判断是否为定值？若是，请直接写出的度数． 【答案】（1）， （2）①，理由见解析；②是定值， 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，即可得出，根据即可证明，即可得出；根据“三线合一”即可求出的度数； （2）①用和（1）相同的方法，证明即可得出结论；②根据可得，在中，根据直角三角形两个锐角互余，即可得出结论． 小问1详解】 解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴． 故答案为：=，． 【小问2详解】 ①∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②情况一：当点D在线段上时，如图： ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 情况二：当点D在线段的延长线上时，如图： ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 情况三，当点D在线段的延长线上时，如图： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的值为定值，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形三边相等，三个角都是，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$