精品解析：辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

2024—2025学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试 高一年级数学试卷 命题：沈阳一中 校对：沈阳一中 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1—11题58分），第二部分：非选择题型（12—19题92分） 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值组成的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的定义域为，且的图象关于点成中心对称.当时，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数的定义域是，其中a<0<b，，则函数y=+的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 对任意实数表示不超过的最大整数，如，关于函数，有下列命题：①是奇函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数有两个不同的零点，其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 8. 已知集合，若，是的两个非空子集，记满足“中元素的最小值大于中元素的最大值”为集合对，则所有集合对的个数为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项使符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知均为正实数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若，则最大值为 11. 若函数在定义域内内的某区间是增函数，且在上是减函数，则称在上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 若则不存在区间使为“弱增函数” B. 若则存在区间使为“弱增函数” C. 若则为上的“弱增函数” D. 若在区间上是“弱增函数”，则 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数且，则实数___________． 13. 若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________． 14. 若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：实数满足（其中），命题：实数满足 （1）若，且与都为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 解关于的不等式或求值. （1）； （2）已知，解不等式； （3），求. 17. 已知定义域为，对任意都有．当时，，且． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 18. 关于的方程 （1）若方程无实根，求的取值范围； （2）若方程有3个不等实根，求的取值范围； （3）若，且满足，试判断方程根的个数. 19. 已知函数的定义域为，值域为，其中． （1）若关于原点对称，求实数的取值范围； （2）试判断1是否在集合内，并说明理由； （3）是否存在实数，使得对任意，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试 高一年级数学试卷 命题：沈阳一中 校对：沈阳一中 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1—11题58分），第二部分：非选择题型（12—19题92分） 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值组成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分与，结合，求出实数a的取值范围. 【详解】， 当时，，故满足， 当时，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数a的取值组成的集合为. 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题求解即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时既要改变量词又要否定结论， 所以命题“，”的否定是，， 故选：D. 3. 已知函数的定义域为，且的图象关于点成中心对称.当时，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和抽象函数图象的对称性可得的图象关于原点中心对称，为奇函数，结合奇函数的性质即可求解. 【详解】因为将的图象向右平移1个单位长度后 得到函数的图象且的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于原点成中心对称，则在上是奇函数， 所以. 故选：C. 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑函数的奇偶性得函数为偶函数，故排除B，D，再结合函数的特殊值即可得答案. 【详解】解：由题知函数的定义域为，，故函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除B，D，易得函数得零点为，当时，，故排除C，故A选项正确. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先对“条件”和“结论”变形，再看由“条件”能否推出“结论”，及由“结论”能否“推出”条件，从而确定充分性和必要性． 【详解】若成立，则成立，即， 即，由可得，但不一定得到， 相反由也不一定能得出， 故选:D． 6. 若函数的定义域是，其中a<0<b，，则函数y=+的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域，可以得到函数y=+中自变量满足的不等式组，结合已知a<0<b，，利用数轴，求出函数y=+的定义域. 【详解】因为函数的定义域是，所以函数y=+中自变量满足的不等式组为： ，又因为a<0<b，，所以. 故选：C 【点睛】本题考查了求函数的定义域，利用数轴是解题的关键. 7. 对任意实数表示不超过的最大整数，如，关于函数，有下列命题：①是奇函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数有两个不同的零点，其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意计算可得，即可得函数周期，则有，即可得其奇偶性及其值域，结合值域即可得零点. 【详解】， 故为周期函数，且周期为， 当时，， 当时，， 即，， 故不是奇函数也不是偶函数，故①、②错误； 结合其周期性可得的值域为，故③正确； 令可得，令可得， 又，，故函数有两个不同的零点，故④正确. 故选：B. 8. 已知集合，若，是的两个非空子集，记满足“中元素的最小值大于中元素的最大值”为集合对，则所有集合对的个数为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论中元素的最小值为时的情况，即可得到答案. 【详解】当中元素的最小值为时，不符合题意. 当中元素的最小值为时，集合为：， 集合，集合对的个数为4， 当中元素的最小值为时，集合为：， 集合为，集合对的个数为6， 当中元素的最小值为时，集合为：， 集合为，集合对的个数为7， 综上：所有集合对的个数为. 故选：B 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项使符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】结合指数函数的单调性解得，然后由不等式性质逐项分析各选项即可； 【详解】由，即，所以，则，故A正确， 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C：当，时，故C错误； 对于D：因为，则在上为增函数， 由得，故D错误； 故选：AB 10. 已知均为正实数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若，则最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用作差法来比较大小，利用基本不等式求最大值，需要考虑等号是否成立，这样就可以作出各选项的判断. 【详解】对于A，由， 因为，没有确定是否为正数，所以没有办法判定差的符号，故A错误； 对于B，由， 因为，所以可以判定差为正数，故B正确； 对于C，由于均为正实数，根据基本不等式得：， 由于，所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由于均为正实数，根据基本不等式得：， 由于，所以，但是，所以等号不成立，故D错误； 故选：BC. 11. 若函数在定义域内内的某区间是增函数，且在上是减函数，则称在上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 若则不存在区间使为“弱增函数” B. 若则存在区间使为“弱增函数” C. 若则为上的“弱增函数” D. 若在区间上是“弱增函数”，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由弱增函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，则在定义域内的任何区间上都是增函数， 故不存在区间使为“弱增函数”； 对于B，在上为增函数，， 易知它在上为减函数， 故存在区间使为“弱增函数”； 对于C，为奇函数，且时，为增函数， 故由奇函数的对称性可知，为上增函数； 为偶函数，其在时为增函数，故在时为减函数. 故不是上的“弱增函数”； 对于D，若在区间上是“弱增函数”， 则在上为增函数，故，故， 又在上为减函数， 则由双勾函数单调性可知，，则综上有. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数且，则实数___________． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用分段函数的性质即指数函数的运算即可求解. 【详解】解：函数 ，则：， 因为，所以， 故：. 故答案为：-1. 13. 若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________． 【答案】a<b 【解析】 【分析】先求出，再证明，即得解. 【详解】， ∵，∴ ∵1816>0,1618>0，∴1816<1618， 即a<b. 故答案为：a<b 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14. 若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果. 【详解】由，可得， 由题意当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，与矛盾； 当时，即，不等式的解集为，不符合题意； 当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，可能为，或， 当为时，则，且，无解， 当整数解为时，，且， 解得； 综上知，实数的取值范围是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：实数满足（其中），命题：实数满足 （1）若，且与都为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 记命题：，命题： （1）当时，求出，，根据与均为真命题，即可求出的范围； （2）求出，，通过是的必要不充分条件，得出，建立不等式组，求解即可. 【详解】记命题：，命题： （1）当时，，， 与均为真命题，则， 的取值范围是. （2），， 是的必要不充分条件，集合， ，解得， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】1.命题真假的判断 （1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法． （2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． （3）一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断． 2.从逻辑关系上看，若，但，则是的充分不必要条件；若，但，则是的必要不充分条件；若，且，则是的充要条件；若，且，则是的既不充分也不必要条件. 16. 解关于的不等式或求值. （1）； （2）已知，解不等式； （3），求. 【答案】（1）或 （2） 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的取值范围，即可求出的取值范围，即可得出所求不等式解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合分式不等式或二次不等式可得出所求不等式的解集； （3）由已知等式可得出、与的等量关系，即可得出的值. 【小问1详解】 原不等式化为，即，可得， 解得或， 所以原不等式解集为或. 【小问2详解】 原不等式化为， ①当时，原不等式为，解得； ②当时，原不等式化为，即， 当时，原不等式等价于，显然，解得； 当时，原不等式等价于，而，解得或. 所以当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 由，解得， 所以. 17. 已知定义域为，对任意都有．当时，，且． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 是上的单调递减函数． 证明：任取， 则， 由于当时，，易知，则， 故， 可得是上的单调递减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法取可得，再令可得； （2）结合函数满足，且当时，，按照单调性定义证明步骤证明即可； （3）利用可将不等式化为，即可得，在利用换元法令，结合单调性可得对于，恒成立，即可解得. 【小问1详解】 取， 则，于是， 令， 则， 又，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式可化为， 也即， 令 于是，都有恒成立， 由于为上的单减函数，则， 都有恒成立， 即成立，即恒成立； 令，它是关于的一次函数， 故只需，解得． 即， 解得 【点睛】方法点睛：在求解不等式恒成立问题时，要充分利用已知条件和函数单调性将不等式转化为求解自变量大小恒成立问题，再结合题意通过合理变形转化解不等式即可求得参数取值范围. 18. 关于的方程 （1）若方程无实根，求的取值范围； （2）若方程有3个不等实根，求的取值范围； （3）若，且满足，试判断方程根的个数. 【答案】（1） （2）； （3）3个实根. 【解析】 【分析】（1）令，问题转化为关于的一元二次方程无实根或实根均小于零，利用判别式和韦达定理即可算出结果. （2）找到和的对应关系，根据原方程有3个不等实根分析一元二次方程实数根的情况，逐类分析验证即可得到结果. （3）确定的取值范围，利用的取值范围得到方程一根在之间，另一根大于1，即可得到结果. 【小问1详解】 令，则，原方程转化为（*）， 原方程无实根，则需（*）式无实根或实根均小于零， 令， ①若（*）式无实根，则，解得， ②两根均为负，则，解得， 综合①②，可知的取值范围是. 【小问2详解】 作函数的图象， 可知或时，每一个值对应1个值，时一个值对应2个不同的值， 要使原方程有3个不等实根， ①（*）式一根为零，另一根在之间，所以，则（*）式为，解得或，不合题意； ②（*）有两不等根且一根大于1，另一根在之间，则，解得； ③（*）式有一根在之间，另一根为1，则，则（*）式为； 解得或，不合题意. 综上所述，取值范围为. 【小问3详解】 因为， 所以 因为为正实数，所以，所以，即， 当且仅当，即时等号成立，故， 由（1）知时，，， 故（*）式有两不等实根，且一根在之间，另一根大于1， 故原方程有3个实根. 【点睛】思路点睛：本题考查方程综合问题，具体思路如下： （1）找方程中相同的结构，令，问题转化为方程无实根或实根均小于零，利用判别式和韦达定理即可算出结果. （2）作函数的图象，找到和的对应关系，根据原方程有3个不等实根分析方程实数根的情况，逐类分析验证即可得到结果. （3）通过基本不等式确定的取值范围，利用的取值范围分析方程实数根的情况，结合（2）即可得到结果. 19. 已知函数的定义域为，值域为，其中． （1）若关于原点对称，求实数的取值范围； （2）试判断1是否在集合内，并说明理由； （3）是否存在实数，使得对任意，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，，当，（由分式分母不为零，得且）；（3）存在，或．. 【解析】 【分析】（1）由题意函数的定义域满足，分和进行讨论得出答案. （2）由，即可得到或，然后再分别验证即可得到答案. （3）先考虑对任意的恒成立，在恒成立，求出参数的范围，然后再此范围内考虑对任意的恒成立， 【详解】（1）由题意函数的定义域满足， ①，即时，，符合， ②，设方程的两实根为，要满足题意，必有， 综上，； （2）若，则，从而，解得或， ①当时，要满足，还需注意此时分式的分母，∴， ②当时，要满足，还需注意此时分式的分母，∴， 综上，当时，，当，（由分式分母不为零，得且）； （3）先考虑对任意的恒成立． 记，对应的判别式分别为，则， ①且恒成立，则，即，得， ②，必须有，且方程与方程两实根必须完全相同，此时必有系数对应成比例，即，解得，满足判别式的条件. ③, 即，解得或 当时，，， 值域为，不符； 当时，，，当时，，不满足条件. 要满足对任意的恒成立，必有或； 再在或的情况下，考虑对任意的恒成立． （1）时，，由，可得， 要满足题意，，得，∴； （2）时，，符合； 综上，或． 【点睛】本题考查分式函数的定义域问题，根据定义域求参数范围，根据函数值域求参数的范围，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $