精品解析：四川省甘孜藏族自治州泸定中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024年高二（上）半期数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）. 1. 甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件“甲成功破译”，事件“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一个成功破译密码，根据这个依据即可求解. 【详解】“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一个成功破译密码,而事件指的就是至少有一人破译密码. 故选：A. 2. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小. 【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 即，所以. 故选：B. 3. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据，设，结合空间向量的坐标运算，求得，从而得到答案. 【详解】由，设， 则，解得：，，， 所以， 故选：A. 5. 已知圆与圆为同心圆，且圆的半径为圆半径的2倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的标准方程确定圆的圆心坐标和半径，进而利用圆的一般方程得到关于的方程组，从而得解. 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为2， 又圆与圆为同心圆，半径为4， 所以，解得. 故选：A. 6. 两个圆和的公切线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数. 【详解】圆可化为， 圆的圆心为，半径， 圆可化为， 圆的圆心为，半径， ， 又，， ， 圆与内切，即公切线有1条. 故选：A. 7. 椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线AP，AQ的斜率之积列方程，求得，进而求得椭圆的离心率. 【详解】，设，则，则，， 故，又，则， 所以，即，所以椭圆C的离心率为． 故选：C 8. 已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用动点与定点的距离之比为2，坐标化可以得到点的轨迹方程，数形结合即可求解. 【详解】设动点，则，化简得， 所以点M的轨迹为圆E：， 如图，过点O作圆E的切线，切点分别为M、，连接， 则，，所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 与直线垂直 B. 的倾斜角等于 C. 在y轴上的截距为 D. 圆上存在两个点到直线的距离等于 【答案】AD 【解析】 【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，利用圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系，再找到圆周上的点到直线的最近距离，即可判断D. 【详解】因为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 又直线经过点， 代入点斜式方程可得，，即直线的方程为：. 对于A，将直线化为斜截式方程可得，，斜率为， 又直线的斜率， 因为，所以直线与直线垂直，故A正确； 对于B，由直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，，则， 所以，故B不正确； 对于C，令，代入直线的方程，得， 即直线在轴上的截距等于，故C不正确； 对于D，圆的圆心到直线的距离， 因此直线与圆相离， 又圆上点到直线的最近距离为， 因此可得圆上存在两个点到直线的距离等于，故D正确； 故选：AD. 10. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：建立坐标系解决立体几何中的问题是一种常用方法，它的思维量小，计算量虽多但是计算简单，解法直接自然和简单，本题根据正方体的结构特征建立了空间直角坐标系，接着计算所需向量坐标，从而根据各个问题的向量法理论公式直接计算即可判断求解. 11. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线与圆不一定相交 B. 当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1 C. 当时，圆关于直线对称的圆的方程是 D. 当时，若直线与轴，轴分别交于，两点，为圆上任意一点，当最小时， 【答案】AD 【解析】 【分析】A：根据直线所过的定点进行分析；B：先分析圆心到直线的距离满足的条件，然后求解出的范围；C：设出对称圆的方程，根据圆心连线的中点在已知直线上、圆心连线与已知直线垂直列出方程组，由此求解出对称圆的方程；D：结合图示，分析得到与圆相切时最小，然后利用勾股定理求解出结果. 【详解】对于A，直线过定点，又因为， 所以点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故A正确； 对于B，要使圆上有至少两个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离要小于， 所以有，解得，故B错误； 对于C，当时，直线，设圆关于直线对称的圆的方程是， 根据题意有，解得，， 所以对称圆的方程为，故C错误； 对于D，当时，直线，则点，，且圆心，半径， 当与圆相切时最小，此时，故D正确； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 原点到直线的距离为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离为： . 故答案为： 13. 已知向量，，且，则实数m＝______． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得，代入坐标即可求出实数m的值. 【详解】因为，， 所以，， 因为， 所以，解得． 故答案为： 14. 如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】连接，，利用圆的性质、椭圆的定义，结合勾股定理列式求解即得. 【详解】连接，，由点在以为直径的圆上，故. 又，在椭圆上，故有，. 设，则，，，. 在中，由勾股定理得， 解得，于是，，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点为，，． （1）求边所在的直线的方程； （2）求边的高线所在的直线的方程； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）直接由点坐标得到两点式方程，化简即可； （2），则边上高线的斜率为，直接写出点斜式方程，化简即可； （3）首先求出到直线的距离，再求出的长，则可计算出三角形面积. 【小问1详解】 直线的两点式方程为，化简得，故边所在的直线方程为. 【小问2详解】 由（1）知，故边上高线的斜率为， 故其所在直线方程为，化简得 【小问3详解】 边所在的直线方程为，故到直线的距离 , 故 16. 在平面四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图． （1）求证：； （2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （1）因为平面,平面平面平面 所以平面又平面所以. （2）． 【解析】 【详解】试题分析：(1)由,将沿折起，使得平面平面,即可得AB垂直于平面BCD.从而得到结论. (2)依题意,可得,又由平面BCD.如图建立直角坐标系. 求直线与平面所成角的正弦值.等价于求出直线与平面的法向量所成的角的余弦值.写出相应的点的坐标以及相应的向量,求出法向量即可得到结论. 试题解析：(1)略 (2)过点在平面内作的垂线作为轴, 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD， ∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M． ∴（0，1，﹣1），（1，1，0），． 设平面BCM的法向量（x，y，z），则， 令y＝﹣1，则x＝1，z＝1． ∴（1，﹣1，1）． 设直线AD与平面MBC所成角为θ． 则sinθ＝|cos|． 考点：1.线面的位置关系.2.空间直角坐标系.3.空间想象力. 17. 已知椭圆的右焦点为，点在C上. （1）求C的离心率； （2）设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于的方程组，从而得到椭圆方程，进而求得其离心率； （2）设，，直线与椭圆联立，由根与系数关系可得k，从而得直线AB的方程. 【小问1详解】 由题意得，解得，， 所以椭圆C的方程为， 故C的离心率； 【小问2详解】 设，， 联立，消去y得， 故， 由直线化为，恒过， 故，即，所以，解得， 此时二次方程为，满足题意， 故所求直线的方程为 18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率； （2）该校选拔篮球队需要身高前15%的男生，请根据频率分布直方图估计需要的最低身高（精确到0.1）； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率； （2）估算出身高在第八组、第七组及第六组的频率为，可知该校选拔篮球队需要身高前的男生在第六组，根据频率所占百分比可得答案； （3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【小问1详解】 第六组的频率为， ∴第七组的频率为； 【小问2详解】 由直方图得，身高在第八组的频率为， 身高在第七组的频率为， 身高在第六组的频率为， 因为，所以， 该校选拔篮球队需要身高前的男生最低身高约为； 【小问3详解】 第六组的人数为4，设为a，b，c，d， 第八组的人数为，设为A，B， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA， bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况． 所以． 19. 已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. （1）求动点的轨迹方程； （2）为线段的中点，求点的轨迹方程； （3）过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可知，点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，由此能求出动点的轨迹方程； （2）设，，利用中点坐标公式及“代点法”即可得出点的轨迹方程； （3）对直线的斜率分不存在、为、存在且不为三种情况讨论，当直线的斜率存在（不为）时，把直线的方程与椭圆的方程联立，解得点，的坐标，利用两点间的距离公式即可得出，再利用点到直线的距离公式即可得出点到直线的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出． 【小问1详解】 因为，由椭圆定义可知， 点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则，，所以， 故动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 设，， ，且为线段的中点， ，即，代入的轨迹方程，可得， 整理得， 即点的轨迹方程为； 【小问3详解】 ①当直线的斜率不存在时，可得，， ，点到轴的距离为1， ； ②当直线的斜率为时，则，， ，点到轴的距离为， 所以； ③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，，，． 联立，化为． 解得，则，则，． ． 又点到直线的距离． ， ， 当时，当且仅当，即可时取等号， 当时，当且仅当，即可时取等号， 所以， 当且仅当时，即，取最大值，最大值为， 综上所述面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高二（上）半期数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）. 1. 甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件“甲成功破译”，事件“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 7 5. 已知圆与圆为同心圆，且圆的半径为圆半径的2倍，则（ ） A. B. C. D. 6. 两个圆和的公切线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 与直线垂直 B. 的倾斜角等于 C. 在y轴上的截距为 D. 圆上存在两个点到直线的距离等于 10. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 11. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线与圆不一定相交 B. 当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1 C. 当时，圆关于直线对称的圆的方程是 D. 当时，若直线与轴，轴分别交于，两点，为圆上任意一点，当最小时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 原点到直线的距离为_____________. 13. 已知向量，，且，则实数m＝______． 14. 如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点为，，． （1）求边所在的直线的方程； （2）求边的高线所在的直线的方程； （3）求的面积． 16. 在平面四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图． （1）求证：； （2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆的右焦点为，点在C上. （1）求C的离心率； （2）设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率； （2）该校选拔篮球队需要身高前15%的男生，请根据频率分布直方图估计需要的最低身高（精确到0.1）； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 19. 已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. （1）求动点的轨迹方程； （2）为线段的中点，求点的轨迹方程； （3）过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $