精品解析：北京市房山区房山中学2022-2023学年高三上学期期中检测数学试卷

房山中学2022-2023学年度第一学期期中检测试卷 高三数学 本试卷共4页，总分150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存. 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 为了得到的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 设，，，则 A. B. C. D. 6. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设非零向量，，，满足，，且与的夹角为，则“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①；②存在一点，；③若，则面积的最大值为；④若到直线的距离与到点的距离相等，则的轨迹为抛物线的一部分.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知函数，若，则________． 12. 在中，若，则________. 13. 函数的最小值是__________，取得最小值时____________． 14. 已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①_____；②若，则_______. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①是偶函数 ②是函数的一个周期 ③函数在内是减函数 ④函数最小值为 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 17. 如图，在三棱柱中，，，为中点，四边形为正方形. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 19. 已知函数，由下列四个条件中选出三个： ①最大值为2； ②最小正周期为； ③； ④． （1）求函数的解析式及单调递减区间； （2）设．当时，的值域为，求的取值范围． 20. 已知函数． （1）若曲线在点处与轴相切，求的值； （2）求函数在区间上的零点个数； （3）若、，，试写出的取值范围.（只需写出结论） 21. 设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. （1）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； （2）若为集合的“相关数”，证明：； （3）给定正整数.求集合的“相关数”的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山中学2022-2023学年度第一学期期中检测试卷 高三数学 本试卷共4页，总分150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存. 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数轴求两个集合的并集. 【详解】在数轴上表示出集合A，B，如图：则 故选：A 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可. 【详解】解：向量，，所以,解得. 故选：B. 3. 已知命题，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称命题的否定形式回答即可. 【详解】根据全称命题的否定形式可知：，. 故选：D 4. 为了得到的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换规律可得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故A不正确； 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故B不正确； 将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故C正确； 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故D不正确； 故选：C 5. 设，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数，对数函数的性质得到的范围，进而可得解. 【详解】对于，则； 对于，则； 对于，则， 可得， 则， 故选：B. 6. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求得，即可求解. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以或， 结合内角和定理，所以或， 故选：C 7. 以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥,利用圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周， 得到几何体是两个同底的圆锥， 圆锥的底面半径为， 所得几何体的表面积为． 故选：D． 8. 设非零向量，，，满足，，且与的夹角为，则“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 利用数量积的定义可得，即可判断出结论． 【详解】解：，，， 解得，，，解得， “”是“”的充分必要条件． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 9. 已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 分段函数和过定点的直线在如图位置时恰好相切，此时有两个交点，若直线斜率变大，则只存在一个交点，若直线斜率减小，则会出现三个交点，如下图所示： 计算切线斜率，假设直线与的切点为 ，对函数求导可得，那么可以得到如下三个方程： ，讲后两个方程代入到第一个方程中，得到 ，即 ，解得 ，从而斜率，根据分析可知，若要有三个交点，则斜率，故选D. 考点：1函数图像;2数形结合思想. 10. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①；②存在一点，；③若，则面积的最大值为；④若到直线的距离与到点的距离相等，则的轨迹为抛物线的一部分.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，连接，由为等边三角形判定；对于②，将进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足；对于③，连 接，证明平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大；对于④，P到直线的距离为线段的长度，所以，判定出P点位置即可. 【详解】对于①，连接，由正方体的性质知为等边三角形， 由于为底面的中心，故为中点，故，故①正确； 对于②，进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图像判断， 平面，即无论如何也不可能满足平行或重合于， 所以不可能平行于，故②错误； 对于③，取的中点E，连 接， 则，满足， 又面，面， 所以，，所以平面， 所以在线段上运动，当点到点位置时，最大， 此时面积最大为：.所以③正确； 对于④，P到直线的距离为线段的长度，所以，判定出P点位置为直线的垂直平分线，故④错误. 故选: C. 【点睛】思路点睛：利用空间中的位置关系，平移线段，由线面关系可判定②，构造线面垂直可判定③. 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知函数，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】 由，利用对数的运算求解即可. 【详解】， ，得，解得 故答案为：. 12. 在中，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系与商数关系计算即可. 【详解】由题意可知， 所以，即， 所以. 故选：. 13. 函数的最小值是__________，取得最小值时____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得， 又由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 故答案为：；. 14. 已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①_____；②若，则_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，根据题意写出各点坐标，利用向量的坐标运算计算即可. 【详解】以D为原点建立平面直角坐标系，如图，则，， 故. 因为，， 所以，，故. 故答案为:；. 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①是偶函数 ②是函数的一个周期 ③函数在内是减函数 ④函数最小值为 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判定①，利用函数的周期性可判定②，利用复合函数的单调性可判定③④. 【详解】易知， 显然， 即①是偶函数，故①正确； 而 ，则是函数的一个周期，故②正确； 令，则，即， 显然在上,单调递减， 则, 又上单调递增， 所以在上单调递减，所以③错误； 结合周期性可知上单调递增， 即，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：利用换元法及同角三角函数的平方关系化简函数式，根据复合函数的单调性判定结论即可. 三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用三角形面积公式可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 由正弦定理得. 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 解得或（舍）， 所以的面积. 17. 如图，在三棱柱中，，，为中点，四边形为正方形. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接交于，连接， 根据三棱柱的特征可知为平行四边形，即为、的中点， 又为中点，所以是的中位线，即， 易知平面，平面， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交，利用中位线的性质结合线面平行的判定证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又四边形为正方形，所以两两垂直， 可以以为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令， 即为平面的一个法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）或；（2）最小值，最大值. 【解析】 【分析】 （1）直接解不等式可得不等式的解集； （2）对函数求导，令，求出方程根，得出单调性可得函数的最值． 【详解】（1）因为， 由，得. 所以或. 所以不等式的解集为或； （2）由得：. 令，得，或（舍）. 与在区间[0，2]上的情况如下： x 0 （0，1） 1 （1，2） 2 － 0 + 0 减 增 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值. 19. 已知函数，由下列四个条件中选出三个： ①最大值为2； ②最小正周期为； ③； ④． （1）求函数的解析式及单调递减区间； （2）设．当时，的值域为，求的取值范围． 【答案】（1），单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）不管选择哪三个条件，均需利用三角函数的性质，并结合条件一一分析可求出解析式，再根据三角函数的单调性求递减区间即可； （2）根据（1）的结论，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的性质计算参数范围即可. 【小问1详解】 对于条件③，有， 因为，则，， 显然不成立，因此只能选择条件①②④， 则，， 所以，此时； 令，解之得； 【小问2详解】 由上可知 ， 当时，， 因为此时的值域为，则， 则， 故. 20. 已知函数． （1）若曲线在点处与轴相切，求的值； （2）求函数在区间上的零点个数； （3）若、，，试写出的取值范围.（只需写出结论） 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由题意可得，由此可解得实数的值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）根据（2）中的讨论可写出实数的取值范围. 【详解】（1）， 因为在点处与轴相切，且， 所以，解得. 经检验符合题意； （2）由（1）知，令，得. （i）当时，，，函数在区间上单调递增， 所以， 所以函数在区间上无零点； （ii）当时，若，则，若，则. 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，. 当，即时，函数在区间上有一个零点； 当时，即当时，函数在区间上无零点； （iii）当时，，，函数在区间上单调递减， 所以， 所以函数 在区间上无零点. 综上：当或时，函数在区间上无零点； 当时，函数在区间上有一个零点. （3）或. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 21. 设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. （1）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； （2）若为集合的“相关数”，证明：； （3）给定正整数.求集合的“相关数”的最小值. 【答案】（1） 当时，， ①对于的含有5个元素的子集， 因为，所以5不是集合的“相关数”； ②的含有6个元素的子集只有， 因为，所以6是集合的“相关数”． （2） 考察集合的含有个元素的子集， 中任意4个元素之和一定不小于， 所以一定不是集合的“相关数”； 所以当时，一定不是集合的“相关数”， 因此若为集合的“相关数”，必有， 即若为集合的“相关数”，必有. （3） 【解析】 【分析】（1）根据相关数的定义判断，即可求解； （2）根据相关数的定义，得到时，一定不是集合的“相关数”，得到，从而证明结论； （3）根据，将集合的元素分成组，对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和为，从而求出的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 先将集合的元素分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 再将集合的元素剔除和后，分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 这一组与上述三组中至少一组无相同元素， 不妨设与无相同元素， 此时这4个元素之和， 所以集合的“相关数”的最小值为. 【点睛】思路点睛：数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移，对于第二问，利用特例排除的情况即可证明；第三问，将集合的元素两两分组结合第二问的结论分析即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $