精品解析：安徽省六安市第九中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋学期第二次综合素质评价九年级数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 将二次函数的图象向右平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数y＝（k为常数）的图象在第一、三象限，那么k的取值范围（　　） A. k＞ B. k＜ C. k＞ D. k＜ 3. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，嘉嘉要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在的延长线上选定点C，测得，再选一点D，连接，，作，交于点E，测得，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C 当时， D. 当时，I的取值范围是 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 8. 若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 9. 如图，在中，，点P在边上，过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 10. 在自变量x取值范围内，对于自变量时，函数值，则称a是函数的一个不动点，若函数恰有一个不动点，则实数的值不可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 如果，那么的值为 __． 12. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 14. 如图，，，，，点是线段上一动点，若点从点开始向点运动． （1）当时，______； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______． 三、解答题（共9小题，共90分） 15. 如果，且，求的值． 16. 已知抛物线． （1）用配方法求它的顶点坐标、对称轴； （2）x取何值时，y随x增大而减小？ （3）x取何值时，抛物线在x轴上方？ 17. 如图在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，相似比是． （1）请画出； （2）请直接写出各顶点的坐标； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 18. 掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系，如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 19. 如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高． 20. 有一块三角形的余料，它的面积是，边，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边落在上，其余两个顶点分别在上，且，求矩形的面积． 21 已知抛物线． （1）求证：无论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）若直线经过该抛物线最低点，求抛物线的解析式． 22. 已知：如图，、是的两条高． （1）求证：． （2）若，求的值． 23. 如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），点是边上的一个动点，且． （1）求证：； （2）当点为中点时，求的长； （3）当为等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋学期第二次综合素质评价九年级数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 将二次函数的图象向右平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”．据此即可解答． 【详解】解：二次函数的图象向右平移2个单位后的二次函数的表达式为， 故选：D． 2. 已知反比例函数y＝（k为常数）的图象在第一、三象限，那么k的取值范围（　　） A. k＞ B. k＜ C. k＞ D. k＜ 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵反比例函数y＝（k为常数）的图象在第一、三象限，∴2-3k＞0，解得：．故选B． 3. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项判断 符号，即可求解． 【详解】解：A、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； C、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由二次函数图象，可得 ，，一次函数图象，可得 ，，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到 符号是解题的关键． 4. 如图，嘉嘉要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在的延长线上选定点C，测得，再选一点D，连接，，作，交于点E，测得，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据，得出，根据相似三角形的性质和比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴，即， 解得． 故选：C． 5. 如图，是边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是其对应的夹角，所以与不相似，故③不正确． 因此有3个正确． 故选：C． 6. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 8. 若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 9. 如图，在中，，点P在边上，过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 过点作于点，作于点，作交于点，利用相似三角形的判定可得，，，于是可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作交于点， ， 又，，， ，，， 过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画条， 故选：． 10. 在自变量x的取值范围内，对于自变量时，函数值，则称a是函数的一个不动点，若函数恰有一个不动点，则实数的值不可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解法、分类讨论思想、新定义问题等有关知识，解题的关键运用转化思想，把问题转化为方程解的问题．根据题意可知当时，方程恰有两个相等的实根，根据求解即可，当时，方程要有解，根据讨论结果，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意得：当时，方程恰有两个相等的实根，即方程恰有两个相等的实数根， ， 整理得，， 解得：或； 当时，要有解，而方程的解为，显然也符合题意， 综上所述，的值为0，1，4， 故选：． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 如果，那么的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】利用合比的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查比例的基本的性质，根据性质内容准确计算是关键. 12. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义，而是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段原线段的倍，计算即可． 【详解】解：∵线段，点M是黄金分割点，， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． 14. 如图，，，，，点是线段上一动点，若点从点开始向点运动． （1）当时，______； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______． 【答案】 ①. ## ②. 2 【解析】 【分析】（1）证明，推出，可得答案； （2）证明，推出，求出的最小值，可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，最小， 此时， ∴， ∴最小值为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理、垂线段最短，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（共9小题，共90分） 15. 如果，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值以及比例的性质．令，得到关于k的方程求出k值，进一步代入k值得到代数式的值． 【详解】解：令， ∴，，． ∵， ∴， ∴． ∴，， ∴． 16. 已知抛物线． （1）用配方法求它的顶点坐标、对称轴； （2）x取何值时，y随x增大而减小？ （3）x取何值时，抛物线在x轴上方？ 【答案】（1）顶点坐标为（-1，），对称轴为：x= -1；（2）x﹥-1时，随增大而减小 ；（3）-4﹤x﹤2时，抛物线在x轴上方． 【解析】 【详解】试题分析：（1）用配方法时，先提二次项系数，再配方，写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴； （2）对称轴是x=-1，开口向下，根据对称轴及开口方向确定函数的增减性； （3）令y=0，确定函数图象与x轴的交点，结合开口方向判断x的取值范围． 试题解析：（1）∵y=﹣﹣x+4=﹣（x2+2x﹣8）=﹣[（x+1）2﹣9]=﹣ +， ∴它的顶点坐标为（﹣1，），对称轴为直线x=﹣1； （2）∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，开口向下，∴当x＞﹣1时，y随x增大而减小； （3）当y=0时，即﹣+=0解得x1=2，x2=﹣4，而抛物线开口向下， ∴当﹣4＜x＜2时，抛物线在x轴上方． 17. 如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，相似比是． （1）请画出； （2）请直接写出各顶点的坐标； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键； （1）找到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）直接根据（1）中图形解答即可； （3）根据位似图形性质解答，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由图可得， 【小问3详解】 解：∵内部一点M的坐标为，在y轴右侧，且与位似，相似比是， ∴点M的对应点的坐标是． 故答案为： 18. 掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系，如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1） （2）该女生在此项考试中没有得满分，理由见解答 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法； （1）设y关于x的函数表达式为，把代入上式得，即可求解； （2）令，解方程，可求出该女生的成绩，即可求解； 理解和的实际意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为， 把代入上式得， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：该女生此项考试中没有得满分． 理由：令， 即， 解得，（舍去）， ， ∴该女生在此项考试中没有得满分． 19. 如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，利用相似三角形的性质正确求出树影长是解题的关键．延长，交延长线于点，根据同一时刻物体与影长成正比可得，根据可得，于是可得，进而可得，于是可求出的长，再由可求出的长，然后根据求出的长即可． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点， 则就是树影长的一部分， 在某一时刻测得高为的竹竿影长为， ， 由题意可知：， ， ， ， ， ， ． 20. 有一块三角形的余料，它的面积是，边，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边落在上，其余两个顶点分别在上，且，求矩形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】设的交点为P，根据证明，列出比例式计算，后计算面积即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设的交点为P，如图所示， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴矩形的面积为：． 21. 已知抛物线． （1）求证：无论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）若直线经过该抛物线的最低点，求抛物线的解析式． 【答案】（1）见解析 （2）二次函数的解析式为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据二次函数与一元二次方程的关系，求出，即可得证； （2）将二次函数解析式化为顶点式，得出顶点坐标，代入一次函数的解析式，求出的值即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； 【小问2详解】 解：∵，， ∴该抛物线的最低点为， ∵直线经过该抛物线的最低点， ∴， 解得：或， 当时，二次函数解析式为， 当时，二次函数解析式为， 综上所述，二次函数的解析式为或． 22. 已知：如图，、是的两条高． （1）求证：． （2）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，进而可证得，于是可得，利用比例的性质可得，然后即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出结论； （2）由（1）可得，由于，利用直角三角形的两个锐角互余可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，即，由（1）可得，则根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”即可求得的值． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ， ， ， 即：， 由（1）可得：， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定与性质综合，比例的性质，相似三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，等式的性质，相似三角形的性质等知识点，正确找出图中的相似三角形是解题的关键． 23. 如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），点是边上的一个动点，且． （1）求证：； （2）当点为中点时，求的长； （3）当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质、等腰三角形性质，重点要运用对应边成比例进行计算，第三问关键在于能够对等腰三角形进行分类． （1）由，，得到，再根据三角形的外角性质得，进而即可证明； （2）由中点定义得，进而根据相似三角形的性质即可得解； （3）为等腰三角形有三种情况，、、分别利用相似三角形性质计算即可 【小问1详解】 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，点为中点时， ∴， ∵． ∴即， ∴ 【小问3详解】 解：如图，当时 ∵， ∴， ∴． 如图，当时， ∵， ∴即点与点重合． ∵不与点、重合， ∴舍去． 如图，当时， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$