辽宁省沈阳市南昌中学2024-2025学年九年级上学期中考试数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市和平区南昌初级中学九年级（上）期中数学试卷 一.选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 2．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 3．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且m≠1 C． D．，且m≠1 4．（3分）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　） A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76 5．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段AB的长是（　　） A． B．2 C． D．5 6．（3分）若点A（3，4）是反比例函数y＝图象上一点，则下列说法正确的是（　　） A．图象分别位于二、四象限 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．点（2，﹣6）在函数图象上 D．当y≤4时，x≥3 7．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣b与y＝ax+b（ab≠0）的图象大致如图（　　） A． B． C． D． 8．（3分）点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在函数y＝x2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（　　） A．小鱼与大鱼的周长之比是1：2 B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2 C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍 D．若小鱼上一点的坐标是（a，b），则大鱼上的对应点的坐标是（﹣2a，﹣2b） 10．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 二.填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 　 　． 12．（3分）已知函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象如图所示，点C在x轴正半轴上一点，过点C作AB∥y轴分别交两个图象于点A、B，若AC＝2BC，则k＝ 　 　． 13．（3分）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为 　 　． 14．（3分）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．若P（3，m）是“和谐点”，则m＝ 　 　． 15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝9，D为AB中点，点M在射线AC上运动，直线DM交直线BC于点N，若AC＝4CM，则DN的长为 　 　． 三.解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：3tan30°﹣tan245°+2sin60°； （2）解方程：（3x﹣1）（x+2）＝11x﹣4． 17．（8分）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD． （1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数． 18．（8分）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N； ②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′； ③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′； ④过点N′作射线DN交BC于点E．若，S△BDE＝16，求四边形ACED的面积． 19．（9分）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 　 　； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度． 20．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点． （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集； （3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标． 21．（8分）尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件． （1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是 　 　件（直接填写结果）； （2）不考虑其他因素，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？ 22．（12分）随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA＝4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD＝53°，∠COD＝37°． （1）求此时液压杆AB的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′＝27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44） 23．（12分）综合与实践 【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB＝6，AD＝5．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为N'． 【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，MN'交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是 　 　，面积是 　 　； （2）如图③，当点N落在AD边上时，BC恰好经过点N，N'C与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形MN'GN的面积； 【引申探究】（3）当点N'落在矩形AMND的对角线MD所在的直线上时，直线N'C与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长． 2024-2025学年辽宁省沈阳市和平区南昌初级中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形． 【解答】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线， 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的概念，要注意看不见的线应当画虚线． 2．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【分析】因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选B． 故选：B． 【点评】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质． 3．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且m≠1 C． D．，且m≠1 【分析】依据题意，由一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，可得m﹣1≠0，且Δ＝1﹣4（m﹣1）≥0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根， ∴m﹣1≠0，且Δ＝1﹣4（m﹣1）≥0． ∴m≠1且m≤． 故选：D． 【点评】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用根的判别式是关键． 4．（3分）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　） A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的频率都在0.78左右，从而得出该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率． 【解答】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78． 故选：C． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段AB的长是（　　） A． B．2 C． D．5 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ∴， ∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得AB＝5， 故选：D． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键． 6．（3分）若点A（3，4）是反比例函数y＝图象上一点，则下列说法正确的是（　　） A．图象分别位于二、四象限 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．点（2，﹣6）在函数图象上 D．当y≤4时，x≥3 【分析】先根据点A（3、4）是反比例函数y＝图象上一点求出k的值，求出函数的解析式，由此函数的特点对四个选项进行逐一分析． 【解答】解：∵点A（3，4）是反比例函数y＝图象上一点， ∴k＝xy＝3×4＝12， ∴此反比例函数的解析式为y＝， A、因为k＝12＞0，所以此函数的图象位于一、三象限，故本选项错误； B、因为k＝12＞0，所以在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项正确； C、因为2×（﹣6）＝﹣12≠12，所以点（2、﹣6）不在此函数的图象上，故本选项错误； D、当y≤4时，即y＝≤4，解得x＜0或x≥3，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意求出反比例函数的解析式是解答此题的关键． 7．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣b与y＝ax+b（ab≠0）的图象大致如图（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2﹣b的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； B、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质． 8．（3分）点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在函数y＝x2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 【分析】依据题意，根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2+c的对称轴为y轴，开口向上， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 又∵（2，y3），（﹣2，y3）关于对称轴对称，且﹣3＜﹣2＜﹣1 ∴y1＞y3＞y2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（　　） A．小鱼与大鱼的周长之比是1：2 B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2 C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍 D．若小鱼上一点的坐标是（a，b），则大鱼上的对应点的坐标是（﹣2a，﹣2b） 【分析】由于大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则利用对应点（2，0）和（﹣1，0）得到大鱼与小鱼的位似比为2：1，于是可对A选项、C选项、D选项进行判断；根据相似三角形的性质可对C选项进行判断． 【解答】解：A．大鱼与小鱼的相似比是1：2，所以A选项不符合题意； B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2，所以B选项不符合题意； C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍，所以C选项符合题意； D．若小鱼上一点的坐标是（a，b），则在大鱼上的对应点的坐标是（﹣2a，﹣2b），所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 10．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案 【解答】解：连接DC， 由网格可得：CD⊥AB， 则DC＝，AC＝， 故sinA＝． 故选：D． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键． 二.填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 　　． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B D A （A，A） （A，B） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种， ∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 12．（3分）已知函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象如图所示，点C在x轴正半轴上一点，过点C作AB∥y轴分别交两个图象于点A、B，若AC＝2BC，则k＝ 　﹣2　． 【分析】由于AB∥y轴，AC＝2BC，则S△OBC＝S△OAC，根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△OAC＝×4＝2，所以S△OBC＝S△OAC＝1，然后再根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到|k|＝1，由于反比例函数图象过第二象限，所以k＝﹣2． 【解答】解：连接OA、OB，如图， ∵AB∥y轴，即OC⊥AB， 而AC＝2BC， ∴S△OBC＝S△OAC， ∵点A在y＝（x＞0）图象上， ∴S△OAC＝×4＝2， ∴S△OBC＝S△OAC＝1， ∵|k|＝1， 而k＜0， ∴k＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 13．（3分）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为 　2　． 【分析】根据点B的横坐标与纵坐标之和等于6，可以设出点B的坐标，再根据点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，即可得到点B的坐标，从而可以求得OB的长，然后正方形的对角线相等，即可得到AC的长． 【解答】解：连接OB，如图， 设点B的坐标为（b，6﹣b）， ∵点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上， ∴6﹣b＝b2， 解得b1＝﹣3（不符合题意，舍去），b2＝2， 当b＝2时，6﹣b＝4， ∴点B的坐标为（2，4）， ∴OB＝＝2， ∵四边形OABC是正方形， ∴OB＝AC， ∴AC＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是求出点B的坐标． 14．（3分）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．若P（3，m）是“和谐点”，则m＝ 　﹣7　． 【分析】根据题意得出，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解方程即可求得m＝﹣7． 【解答】解：∵P（3，m）是“和谐点”， ∴， 消去t得到m2+4m﹣21＝0， 解得m＝﹣7或3， ∵x≠y， ∴m＝﹣7； 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了新定义以及点的坐标，本题综合性强，有一定难度． 15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝9，D为AB中点，点M在射线AC上运动，直线DM交直线BC于点N，若AC＝4CM，则DN的长为 　3　． 【分析】如图，过D作DE⊥BC于E，首先利用已知条件证明DE为△ABC的中位线，然后利用平行线的性质可以分别求出DE，CE，NE，最后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，过D作DE⊥BC于E， ∵∠ACB＝90°， ∴DE∥AC，而D为AB中点， ∴DE＝AC＝×12＝6，CE＝BE＝BC＝4.5 又AC＝4CM， ∴CM＝3， ∵DE∥AC， ∴CM：DE＝CN：NE＝3：6， 而CN+NE＝4.5， ∴NE＝3， 在Rt△DNE中，DN＝＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了勾股定理，同时也利用了三角形的中位线的性质，平行线分线段成比例，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高． 三.解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：3tan30°﹣tan245°+2sin60°； （2）解方程：（3x﹣1）（x+2）＝11x﹣4． 【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即可； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）原式＝3×﹣12+ ＝ ＝﹣1； （2）（3x﹣1）（x+2）＝11x﹣4， 3x2+5x﹣2＝11x﹣4， 3x2﹣6x+2＝0， a＝3，b＝﹣6，c＝2， ∵b2﹣4ac＝36﹣24＝12＞0， ∴x＝＝＝， ∴，． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值以及解一元二次方程﹣公式法，掌握特殊角的三角函数值和求根公式是解答本题的关键． 17．（8分）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD． （1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数． 【分析】（1）通过两组对边相互平行的四边形可得ABCD是平行四边形，再通过等宽即高相等和利用等面积证边相等即可； （2）利用面积公式把边长求出来，再根据锐角三角函数值或者含有30°的直角三角形的性质求解即可． 【解答】（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：如图作CH⊥AB，垂足为H，CG⊥AD，垂足为G， ∵两个纸条为矩形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S▱ABCD＝AB•CH＝AD•CG，且CH＝CG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）如图，作AM⊥CD，垂足为M， ∵S菱形ABCD＝CD•AM＝8cm2，且AM＝2cm， ∴CD＝4cm， ∴AD＝CD＝4cm， 在Rt△ADM中，sin∠1＝＝， ∴∠1＝30°． 【点评】本题主要考查了菱形判定与性质，熟练掌握菱形的性质和判定和矩形的性质以及含有30°的直角三角形的性质是解题关键． 18．（8分）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N； ②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′； ③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′； ④过点N′作射线DN交BC于点E．若，S△BDE＝16，求四边形ACED的面积． 【分析】由作图知∠A＝∠BDE，由平行线的性质得到DE∥AC，证得△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：由作图知，∠A＝∠BDE， ∴DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴＝（）2， ∵， ∴＝， ∴＝（）2＝， ∵S△BDE＝16， ∴S△BAC＝100， ∴四边形ACED的面积为100﹣16＝84． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，相似三角形的性质和判定，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 19．（9分）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 　D　； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度． 【分析】画图操作：根据中心投影，直接画图即可； 数学思考：由等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长即可得到答案； 解决问题：根据相似三角形的性质即可解答． 【解答】解：画图操作： 解：光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图所示： 数学思考： ∵等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长从A到B的变化是先越来越短，再越来越长， 故选：D； 解决问题： 如图所示， ∵CD∥EF∥AB， ∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG， ∴，， ∵CD＝EF， ∴， ∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝（BD+3）m，BG＝BD+DF+GF＝BD+3+4＝（BD+7）m， ∴， 解得：BD＝9m， ∴BF＝9+3＝12m， ∴， ∴AB＝6.4m， ∴灯杆AB的高度为6.4m． 【点评】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 20．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点． （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集； （3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标． 【分析】（1）先根据反比例函数图象经过A、B，求出点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，在平面直角坐标系中画出直线AB即可； （2）观察函数图象找出直线在双曲线的上方时所对应的自变量取值范围，即可写出不等式kx+b＜的解集； （3）根据三角形面积公式列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（m，1），B（﹣2，n）两点， ∴1＝，n＝＝﹣2， 解得：m＝4， ∴A（4，1），B（﹣2，﹣2）， 将A（4，1），B（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为y＝x﹣1，该函数的图象如图所示： （2）由图可得，不等式kx+b﹣＜0的解集范围是x＜﹣2或0＜x＜4； （3）设直线AB交x轴于C，交y轴于D， 在y＝x﹣1中， 当x＝0时，y＝﹣1， ∴D（0，﹣1）， 当y＝0时，得x﹣1＝0， 解得：x＝2， ∴C（2，0）， ∴OC＝2， ∵P（0，a），A（4，1）， ∴PD＝|a+1|， ∵S△APC＝， ∴|a+1|•（4﹣2）＝， 解得：a＝或﹣， ∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 21．（8分）尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件． （1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是 　280　件（直接填写结果）； （2）不考虑其他因素，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？ 【分析】（1）利用商店每天的平均销售量＝80+20×，即可求出结论； （2）设每件商品的定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣15）元，平均每天能售出（1080﹣40x）件，利用总利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x 一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）80+5÷0.5×20 ＝80+200 ＝280（件）． 故答案为：280． （2）设每件商品的定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣15）元，平均每天能售出80+×20＝（1080﹣40x）件， 依题意得：（x﹣15）（1080﹣40x）＝1280， 整理得：x2﹣42x+437＝0， 解得：x1＝19，x2＝23． 答：每件商品的定价应为19元或23元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（12分）随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA＝4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD＝53°，∠COD＝37°． （1）求此时液压杆AB的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′＝27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44） 【分析】（1）过点A作AE⊥BD，分别解直角三角形AOE和直角三角形ABE，进行求解即可； （2）易得GH＝CE，旋转得到OC′＝OC，解直角三角形得到GH＝CE＝0.6OC米，C′G＝OC′•sin64°≈0.9OC′米，利用C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米，求出OC的长，再减去OA的长即可得出结果． 【解答】解：（1）过点A作AE⊥BD， 在Rt△AEO中，OA＝4米，∠COD＝37°， ∴（米）， 在Rt△AEB中，∠ABD＝53°， ∴（米）； （2）由题意，得：GH＝CE， 在Rt△COE中，∠COD＝37°， ∴米， ∴GH＝CE＝0.6OC米， ∵OC′＝OC，∠COC′＝27°， ∴∠C′OG＝37°+27°＝64°， 在Rt△C′OG中，∠C′OG＝64°， ∴C′G＝OC′•sin64°≈0.9OC′米， ∵C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米， ∴OC＝10米， ∴AC＝OC﹣OA＝6米， 故：AC伸长到的最大长度为6米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（12分）综合与实践 【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB＝6，AD＝5．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为N'． 【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，MN'交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是 　菱形　，面积是 　　； （2）如图③，当点N落在AD边上时，BC恰好经过点N，N'C与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形MN'GN的面积； 【引申探究】（3）当点N'落在矩形AMND的对角线MD所在的直线上时，直线N'C与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长． 【分析】（1）证四边形MEDF是平行四边形，再证△DEN'≌△DFN（ASA），得DE＝DF，则平行四边形MEDF是菱形，因此DE＝ME，设DE＝ME＝x，则AE＝5﹣x，在Rt△AME中，由勾股定理得出方程，求出DE＝，即可解决问题； （2）由勾股定理得BN＝4，则CN＝1，S△BMN＝6，再证△CNG∽△BMN，得S△CNG＝S△BMN＝，即可解决问题； （3）分两种情况，①点N在线段DM上时，②点N在线段DM的延长线上时，由相似三角形的性质分别求出DG的长即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝6，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， 由折叠的性质得：四边形ADNM和四边形BMN'D是矩形， ∴AM＝BM＝AB＝3，AD∥MN，BD∥MN'，∠ADN＝∠N＝∠DN'M＝90°，MN＝AD＝5， ∴四边形MEDF是平行四边形， 由旋转的性质得：∠BDN'＝∠ADN＝90°，DN＝DN'， ∴∠BDN'﹣∠BDE＝∠ADN﹣∠BDE， 即∠EDN'＝∠FDN， ∴△DEN'≌△DFN（ASA）， ∴DE＝DF， ∴平行四边形MEDF是菱形， ∴DE＝ME， 设DE＝ME＝x，则AE＝5﹣x， 在Rt△AME中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2＝x2， 解得：x＝， ∴DE＝， ∴S菱形MEDF＝DE•AM＝×3＝， 故答案为：菱形，； （2）在Rt△BMN中，BM＝3，MN＝5， ∴BN＝＝＝4， ∴CN＝BC﹣BN＝1，S△BMN＝BM•BN＝×3×4＝6， ∵∠MNB+∠CNG＝180°﹣∠MND＝90°，∠MNB+∠BMN＝90°， ∴∠BMN＝∠CNG， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△CNG∽△BMN， ∴＝（）2＝（）2＝， ∴S△CNG＝S△BMN＝×6＝， ∵S矩形BCN'M＝BM•BC＝3×5＝15， ∴S四边形MN'GN＝15﹣6﹣＝； （3）分两种情况： ①点N在线段DM上时，如图④， ∵DM＝＝＝，MN'＝BC＝5， ∴DN'＝DM﹣MN'＝﹣5， ∵AM∥DN， ∴∠GDN'＝∠DMA， ∵∠MN'C＝90°， ∴∠DNG＝90°＝∠A， ∴△DGN'∽△MDA， ∴＝， 即＝， 解得：DG＝； ②点N在线段DM的延长线上时，如图⑤， DN'＝DM+MN'＝+5， ∵∠GDN'＝∠MDN，∠DN'G＝∠DNM＝90°， ∴△DGN'∽△DMN， ∴＝， 即＝， 解得：DG＝； 综上所述，线段DG的长为或． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、折叠的性质、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/20 15:23:20；用户：魏腾姣；邮箱：18904019269；学号：23369002 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$