精品解析：山东省菏泽市单县湖西私立高级中学2025届高三上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度期中考试 数学试题 考试时间：120分钟；卷面分值：120分； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共个20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则p的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分不必要条件的定义，结合集合包含关系判断即得. 【详解】依题意，， 显然，与互不包含， 所以所求的一个充分不必要条件为. 故选：B 2. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合与元素、集合与集合的基本关系逐项判断即可. 【详解】集合， 则，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； 空集是任何集合的子集，则，故D不正确． 故选：C. 3. 已知命题，，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. p和都是真命题 C. 和q都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题的真假，再判断命题否定的真假，即可得到正确答案. 【详解】当时，命题成立，所以命题p是真命题，命题是假命题； 当时，命题不成立，所以命题q是真命题，命题是真命题. 故选：B. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的运算法则及对数函数的性质计算即可. 【详解】易知， 而，所以， 即. 故选：A 5. 已知函数，则的值为（ ） A. 11 B. 0 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式来求得正确答案. 【详解】由题可得. 故选：C 6. 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意； 对于B，函数，，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以D符合题意. 故选：D 7. 函数在上是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递增， 只需，解得，即的取值范围为. 故选：B 8. 函数的定义域是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数变形为，再根据函数有意义求解即可． 【详解】因为， 所以，则， 所以的定义域为． 故选：B 9. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据换元法，设，得，代入即可求解． 【详解】设，则， 所以， 所以， 故选：D． 10. 已知是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即. 故选：B. 11. 已知向量满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两边同时平方，再结合数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】由，，， 得，所以， 所以. 故选：A. 12. 若向量，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得∥，根据两向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】解：由，，三点共线， 得∥， 得，解得. 故选：B. 13. 若等差数列和等比数列满足，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列为等差数列应用基本量运算得出,应用数列为等比数列应用基本量运算得出,计算即可. 【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，所以, 又因为是等比数列，设公比为,所以，所以， 则. 故选：A. 14. 等差数列的首项为，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（ ） A. 24 B. 24 C. 3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设出等差数列的公差，利用等比中项得到关于公差的方程，再利用等差数列的前项和公式进行求解. 【详解】设的公差为， 由成等比数列，得， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 15. 等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 32 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式及等差中项的性质即可得解. 【详解】由已知为等差数列， 所以. 故选：C. 16. 已知，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过取特殊值，作差法及利用不等式的性质逐个判断各个选项即可． 【详解】因为，则， A．取，则，故A错误； B．，则，故B正确； C．取，则，故C错误； D．当时，，故D错误. 故选：B． 17. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先移项使得右边为，再通分并作等价转化，注意分母不为，解一元二次不等式即可. 【详解】由，得，即， 因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 18. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为复数满足，则， 因此，复数的虚部为. 故选：A. 19. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法求出，模长公式计算. 【详解】由，得， . 故选：C 20. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（）（ ） A. 584年 B. 574年 C. 564年 D. 554年 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出方程，指对数互化求解即可． 【详解】由题意知，， 则，解得年. 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．） 21. 若函数，，若的最小值为2，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，根据最小值求出a. 【详解】根据题意，函数， 根据二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则的最小值为. 故答案为：2 22. 在等比数列中，，，则____________． 【答案】16 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由，及 可得：，即， 又， 所以16. 故答案为：16 23. 已知是虚数单位，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的四则运算化简即可. 【详解】 故答案为： 24. 如图，在边长为的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质，得到，并求解正切值，最后代入向量数量积公式，即可求解. 【详解】因为，所以．因为， 所以． 故答案为： 25. 已知向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，， 则， 又，则，解得， 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 26. 已知集合， （1）当时，求 ①； ②； （2）若满足，求实数m的取值范围； 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个集合交集，并集，补集的定义计算即可； （2）由题意得，再根据集合B是否为空集分类讨论即可. 【小问1详解】 ①由题意知，因此， 又，所以； ②因为或，所以. 【小问2详解】 由可得， 当时，，解得； 当时，则有，解得， 综上所述，； 故实数m的取值范围是. 27. 已知复数． （1）若，求； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数定义和复数的乘除运算法则化简求出，再求其模长即得； （2）利用复数的几何意义求出，和，由两向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 【小问2详解】 依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 28. 已知向量，，，且. （1）求实数m的值； （2）求； （3）求向量与的夹角. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示计算可得结果； （2）根据向量模长的坐标表示计算可得结果； （3）由向量夹角的坐标表示计算即可. 【小问1详解】 由题意可知， 又，可得， 解得 【小问2详解】 由（1）可知， 可得， 因此； 【小问3详解】 易知， 又，可得. 所以向量与的夹角. 29. 用一根长为12米的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为x米. （1）所围成的矩形面积S能否大于8平方米，若能，请求出x的取值范围，若不能，请说明理由； （2）求所围成矩形的面积S的最大值. 【答案】（1）能， （2）最大值为9平方米 【解析】 【分析】(1)由矩形的面积公式表示出矩形的面积，再由矩形面积S大于8平方米，建立不等式解出 x的取值范围. (2)通过配方法求出矩形的面积S的最大值即可. 【小问1详解】 设矩形的一边长为x米，则矩形的另一边长为米， 故矩形的面积， 假设所围成的矩形面积S大于8平方米， 故， 解得， 所以所围成矩形的面积能达到8平方米，x的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以当时，S取最大值为9， 即当矩形的一边长为3米时，所围成矩形的面积S的最大值为9平方米． 30. （1）在等差数列中，，求的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式表示出不同的项，然后代入求解即可； （2）利用数列通项与前n项和的关系求解即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题可知，， 因为，得，解得， 所以等差数列的通项公式为； （2）当时，； 当时， 检验，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度期中考试 数学试题 考试时间：120分钟；卷面分值：120分； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共个20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则p的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. p和都是真命题 C. 和q都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的值为（ ） A. 11 B. 0 C. 5 D. 4 6. 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 函数在上是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域是（    ） A. B. C. D. 9. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 11. 已知向量满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 若向量，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 13. 若等差数列和等比数列满足，则为（ ） A. B. C. D. 14. 等差数列的首项为，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（ ） A. 24 B. 24 C. 3 D. 3 15. 等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 32 D. 36 16. 已知，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 17. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 18. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 19. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（       ） A. B. C. D. 20. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（）（ ） A. 584年 B. 574年 C. 564年 D. 554年 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．） 21. 若函数，，若的最小值为2，则______ 22. 在等比数列中，，，则____________． 23. 已知是虚数单位，则______． 24. 如图，在边长为的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，则=______． 25. 已知向量，，且，则______． 三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 26. 已知集合， （1）当时，求 ①； ②； （2）若满足，求实数m的取值范围； 27. 已知复数． （1）若，求； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 28. 已知向量，，，且. （1）求实数m的值； （2）求； （3）求向量与的夹角. 29. 用一根长为12米的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为x米. （1）所围成的矩形面积S能否大于8平方米，若能，请求出x的取值范围，若不能，请说明理由； （2）求所围成矩形的面积S的最大值. 30. （1）在等差数列中，，求的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $