反比例函数小专题训练-2025年九年级中考数学一轮复习卷

反比例函数小专题训练-2025年中考数学一轮复习卷 一、单选题 1．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点，在图象上，且，则 4．已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 5．一个盒子里有完全相同的四个小球，球上分别标上数字、1、2、3．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则点落在反比例的图象上的概率是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，点，关于轴对称，，点在双曲线 上，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 9．反比例函数的图象在第 象限． 10．反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 11．如图，是反比例函数的图象上的一点，过点分别作轴、轴的垂线，得图中阴影部分的面积为3，则这个反比例函数的比例系数是 ． 12．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为 ．    13．如图，是反比例函数图象上的一点，垂直于轴、垂足为，的面积为．若点也在此函数的图象上．则的值是 ．    14．如图，是反比例函数的图象上的点．过点分别向、轴作垂线，所得到的图中阴影部分面积为，则反比例函数的解析式为 ． 15．如图所示、点是双曲线上的三点、过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，，，则它们的面积的大小关系为 ． 三、解答题 16．如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； (2)在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 17．已知正比例函数与反比例函数的图像交于点． (1)试求的坐标和正比例函数的解析式； (2)判定点，是否在反比例函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 18．如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． (1)当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． (2)请比较与的大小关系，并说明理由． 19．小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 20．如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数的图像在第二象限的交点为，轴，垂足为．若，，的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，的解集． 21．如图，正方形的边长为，，交于点，动点从点出发，沿（不与、重合）以每秒个单位长度的速度运动到点时停止运动．设运动时间为秒，面积为．    (1)直接写出关于的函数关系式并注明的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若，结合函数图象，直接写出时的取值范围．（结果保留位小数，误差不超过） 22．已知直线上点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，若是的中点，且四边形的面积为． (1)求的值； (2)若，是双曲线第一象限上的任一点，求证：为常数. (3)现在双曲线上选一处建一座码头，向，，，两地转运货物，经测算，从到，从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？提示：利用的结论转化) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D A D B B 1．A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的系数k的正负与反比例函数图象的关系是解本题的关键．根据点P的坐标求出反比例函数的系数k，然后根据：，反比例函数图像经过一、三象限；，反比例函数图象经过二、四象限；由此判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将点代入 得， ∴图象过第二、四象限， 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据增减性判断即可． 【详解】解：反比例函数中，， 反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴点，在第四象限，，在第二象限， ，， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性及反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 分别根据反比例函数的图象及图象上点的坐标特点、反比例函数的增减性对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴图象在第一、三象限，故本选项错误； B、当时，y随x的增大而减小，故本选项正确； C、∵当时，， ∴图象不经过点，故本选项错误； D、∵图象在第一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小， ∴当时，，故本选项错误； 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，反比例函数的性质；先根据题意得出的值，进而根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得： ∴反比例数解析式为 ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出点落在反比例的图象上的结果数有2种，然后根据概率公式求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴数字、1、2、3组合中，点落在反比例的图象上的只有，， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中点落在反比例的图象上的有2种， ∴点落在反比例的图象上的概率为：， 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据题意可得函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是， ， ∴， ∴， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得和利用反比例函数系数的几何意义求出值是解题的关键．记与轴的交点为，先据轴对称求得，由反比例函数系数的几何意义，即可求出，再根据反比例函数在第二象限有图象即可确定的符号，即可求解． 【详解】解：如下图，记与轴的交点为， 点，关于轴对称， 轴，且， ， ， ， ， 在第二象限， ， ， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征．由直线与y轴平行，可得的面积等于的面积，设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积． 【详解】解：如下图，连接， 由题意可知直线与y轴平行， ∴ 设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，得， 故； 将代入得出，得， 故； ∴， ∴． 故选：B． 9．四 【分析】本题考查了判断反比例函数所在象限，根据反比例函数的性质即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∵， ∴反比例函数的图象在第四象限， 故答案为：四． 10． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了反比例函数中的比例系数k的意义，设出点P的坐标，阴影部分面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值的一半，把相关数值代入即可，熟练掌握在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数是解决此题的关键． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵过点分别作轴、轴的垂线，得图中阴影部分的面积为3， ∴ ∴， ∵点P在第二象限， ∴， 故答案为：． 12．24 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，矩形的判定和性质，过点作轴于，延长线段，交轴于，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，由，得到，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于，延长线段，交轴于，    ∵轴， 轴， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 点在双曲线上， ， 同理， ∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：24． 13． 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义，可得，从而得到，再将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴， ， 的面积为． ，即， 反比例函数的解析式为， 点也在此函数的图象上， ，解得：． 故答案为： 14． 【分析】本题考查反比例函数中的比例系数的意义，设出点的坐标，阴影部分面积等于点的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可． 【详解】解：设点的坐标为,． ,在反比例函数的图象上， ， ， 点在第四象限， ．则解析式为； 故答案是：． 15． 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义．过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，而围成的三角形的面积为． 由于是同一双曲线的点，则围成的三角形虽然形状不同，但是面积均为． 【详解】设双曲线的解析式为, 则，，， ∴． 故答案为：． 16．(1)，图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数图象所在的象限，判断的取值范围，利用对称性画出另一支的示意图即可； （2）分在同一象限内，和不在同一象限内两种情况进行讨论说明即可． 【详解】（1）解：由图象可知，反比例函数图象过第二象限，则另一支在第四象限， ∴， ∴， 画图如下： （2）由图象可知：在每一个象限内，随的增大而增大， ∵和在反比例函数图象上， ∴当在同一象限内时，， 当不在同一象限内时，； 17．(1)；； (2)点不在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上； (3)． 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）将点代入反比例函数中，可求出的坐标，再将点的坐标代入正比例函数中求出，可求出正比例函数的解析式； （2）将点，代入中，看等式是否成立，即可求解； （3）根据反比例函数的图像与性质求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图像上， ， ， 将代入正比例函数中，得：， 解得：， 正比例函数的解析式为； （2）当时，， 点不在反比例函数的图像上， 当时，， 点在反比例函数的图像上； （3）反比例函数中，， 函数过第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，． 18．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， （1）将点，，代入在反比例函数，然后利用割补法求面积即可； （2）将点，，代入在反比例函数，可得，，再由，即可得出答案． 【详解】（1）解： 当时，，，， ，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ∴，，， 如图，过作轴于，过作交于，过作交于，则，， ∴，，， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ，， ∵，， ∴， ． 19．(1)①，③见详解 (2)①增大，② (3)①向右平移1个单位;②向右平移个单位 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①直接把和分别代入，进行计算，③用平滑的曲线顺次连接即可作答． （2）运用数形结合思想即可作答①②． （3）运用类比法得出平移规律，即可作答． 【详解】（1）解：①把代入， 得 把代入， 得； 故答案为：， ②描点：如图所示； ③如图所示： （2）解：①当时，随的增大而减小； ②函数的图象的对称中心是， 故答案为：增大，； （3）解：①结合图象，得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的； ②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的， ∵与的分母差值为， ∴函数的图象经平移可以得到函数的图象向右平移个单位得到的 20．(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，解题的关键是掌握反比例函数、一次函数的图象和性质，即可． （1）根据，求出点的坐标；再根据，求出点的坐标，把、两点的坐标代入一次函数；根据，轴，点在一次函数的图象上，求出点的坐标，把点代入反比例函数，即可； （2）根据，则一次函数的图象在反比例函数的图象上，即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴点， ∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵， ∴点， ∵轴，垂足为， ∴点的横坐标为：， ∴， ∴点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）∵当一次函数的图象在反比例函数的图象时，， ∴当时，， 当时，的解集为：． 21．(1) (2)函数图象见解析，该函数的最大值是(答案不唯一) (3)或 【分析】（1）先根据正方形的性质求出，再分两种情况，如图所示，当点在上，即当时，过点作于，则是等腰直角三角形，如图所示，当点在上，即当时，过点作于，则是等腰直角三角形，两种情况求出的长，再根据三角形面积公式求出对应的函数关系式即可； （2）首先在坐标系中画出对应的函数图象，根据所画函数图象，写出其一条性质即可； （3）先求出两函数的交点横坐标，然后根据图象法求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，， 正方形的边长为，即， ， ； 当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 如图所示，当点在上，即当时，过点M作于，   ， 是等腰直角三角形， ， ； 如图所示，当点M在上，即当时，过点M作于，    是等腰直角三角形， ， ； 综上所述，； （2）解：函数图象如图所示，    由函数图象可知，该函数的最大值为8； 故答案为：该函数的最大值为8（答案不唯一）； （3）解：如图，    联立，解得或（舍去）； 联立，解得或（舍去）， ∴反比例函数与函数的两个交点的横坐标分别为2，， ∴由函数图象可知当或时，， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，画一次函数图象，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． 22．(1) (2)见解析 (3)点在连线与双曲线的交点上 【分析】（1）设，则，根据，即可求解； （2）由（1）得，设，，根据两点距离公式，整理得出，即可求解． （3）由知，从而得，当点在连线与双曲线的交点上时，取得最小值，据此可得． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ； （2）解：由（1）得， ∴， 设， 则 ， 即为常数 （3）由（）知， ， ， 则当点在连线与双曲线的交点上时，取得最小值， ， ， 最低总费用为万元． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，因式分解的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及两点间的距离公式、两点间线段最短是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$