备战期末 13大考点与跟踪训练（解答题篇）-2024-2025学年人教版数学九年级上册

（备战期末）13大考点与跟踪训练（解答题篇）-2024-2025学年数学九年级上册人教版 13大考点汇总 考点1：一元二次方程的概念与性质 考点2：解一元二次方程 考点3：实际问题与一元二次方程 考点4：二次函数的图像与性质 考点5：二次函数与一元二次方程 考点6：实际问题与二次函数 考点7：图形的旋转 考点8：中心对称 考点9：圆的有关性质 考点10：点、直线和圆的位置关系 考点11：正多边形和圆 考点12：弧长和扇形面积 考点13：概率初步 13大考点跟踪训练 考点1：一元二次方程的概念与性质 1．（2024秋•朝阳区校级期中）若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值． 2．（2024秋•峰峰矿区月考）已知一元二次方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3． （1）将方程化成一般形式； （2）写出二次项系数、一次项系数和常数项． 3．（2024春•镇海区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣4＝0是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程ax2﹣2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个波浪方程． 4．（2024秋•防城区校级月考）已知关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0（m为常数）是一元二次方程，则m应该满足什么条件？ 考点2：解一元二次方程 5．（2024秋•阆中市校级期中）解下列方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 6．（2024秋•郑州期中）解方程： （1）x2﹣6x+3＝0； （2）3x2﹣2x﹣1＝0． 7．（2024春•玄武区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 8．（2024秋•北辰区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝23，求m的值． 考点3：实际问题与一元二次方程 9．（2024秋•长宁区校级期中）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，墙长40米，用120米长的铁栅栏围一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，如果长方形的面积为1152平方米，那么长方形的两条邻边长是多少米？ 10．（2024秋•和平区校级期中）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 11．（2024秋•长寿区校级期中）某公司2月份销售新上市的A产品25套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到36套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利3万元，则平均每月可售30套．为了减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降1万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利100万元，则每套A产品需降价多少？ 12．（2024•辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 考点4：二次函数的图像与性质 13．（2024秋•杭州期中）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，3），（1，6）． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）﹣2≤x≤3时，求y的取值范围． 14．（2024秋•密云区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c经过两点A（1，0），B（4，3）． （1）求b，c的值； （2）当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围； （3）当1≤x≤4时，函数y＝x+n的函数值总大于函数y＝x2+bx+c的函数值，直接写出n的取值范围． 15．（2024秋•洛龙区期中）已知二次函数y＝x2﹣3x﹣1． （1）用配方法将解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）已知二次函数y＝x2﹣3x﹣1中的x，y满足如表，求m的值； （3）结合（2）中所给的表格，在给定的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． x … ﹣1 0 1 2 m … y … 3 ﹣1 ﹣3 ﹣3 ﹣1 … 16．（2024秋•周至县期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，连接AC、CD、BD，求四边形ACDB的面积； （3）如图2，连接BC，若P是位于线段BC所在直线下方抛物线上的一个动点，求△BCP面积的最大值及此时点P的坐标． 考点5：二次函数与一元二次方程 17．（2024秋•杭州期中）已知二次函数y＝x2﹣4x． （1）求二次函数图象与x轴的交点坐标． （2）求二次函数的顶点坐标． 18．（2024秋•鹿城区校级期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交点为（0，3），与x轴的一个交点为（﹣3，0）． （1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标． （2）通过观察图象，当y≤0时，请直接写出自变量x的取值范围． 19．（2024秋•长乐区期中）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，线段PC交x轴于点D，S△PAD＝S△CAD，求点P的坐标． 20．（2024秋•广州期中）已知抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴交于A，B两点，A在B左侧． （1）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0的一个解是﹣1，求出A，B两点的坐标； （2）若抛物线的顶点在直线y＝﹣2x上，求此抛物线的解析式． 考点6：实际问题与二次函数 21．（2024秋•周至县期中）如图①，是某学校体育场的遮阳棚截面图，该校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳棚截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与地面AB相互垂直，且OC＝5，AB＝10，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）若为了使遮阳棚更加牢固，在遮阳棚内部设计了一个矩形框架DEFG（如图②所示），点G、F均在抛物线上，点D、E在AB上，且DE：EF＝4：3，求EF的长． 22．（2024秋•白云区期中）华联商场以每件10元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于20元/件，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表： 销售价（x元） 10 15 18 20 销售量（y件） 30 25 22 20 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？ 23．（2024•宁波模拟）如图，将球从点O的正上方3m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式． （1）若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度． （2）若小球的正前方4m（OC＝4m）处有一个截面为长方形的球筐CDEF，其中CD为2m，DE为1m，若要使小球落人筐中，求b的取值范围． 24．（2024•碑林区校级二模）掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处A距离地面的高度AO是2m，实心球的落地点为C处，以O为原点，OC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3m时，达到最大高度3m的B处． （1）求抛物线的解析式； （2）若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4m，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？ 考点7：图形的旋转 25．（2024秋•周至县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，求BE的长． 26．（2024秋•西城区校级期中）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作CD⊥AB于点D，将线段BD绕着点B逆时针旋转角α后得到线段BE，连接AE． （1）求∠E的度数； （2）若BE＝1，AD＝2，求CD的长． 27．（2024•景德镇二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得△DBE，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求∠ADE的度数． 28．（2024秋•同安区校级期中）已知：在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FECG，且点E落在AD边上，连接BG交CE于点H． （1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AEC； （2）如图2，连接FH，若FH平分∠EFG，判断CH与AE之间的数量关系，并说明理由． 考点8：中心对称 29．（2024秋•广州期中）如图，已知坐标系中△ABC． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′； （2）直接写出△A′B′C′各顶点的坐标． 30．（2024秋•淇滨区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点A关于原点的对称点为B． （1）若以AB为一边向上作一个等边三角形ABC，直接写出点C的坐标． （2）求（1）中的三角形ABC的周长和面积． 31．（2023秋•民权县期末）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：FD＝BE． 32．（2024•龙亭区一模）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB． （1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明； （2）如图2，若点D在边BC上，DC＝2，AC＝，求AB的长． 考点9：圆的有关性质 33．（2024秋•武汉期中）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝12，EF＝4，求⊙O的半径． 34．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 35．（2024秋•密云区期中）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，点C是的中点． （1）求证：AC∥OB； （2）延长AO与⊙O交于点D，⊙O的弦BE与AD交于点F（F不与O重合），且EF＝BF，DF＝1，连接AE，求AE长． 36．（2024秋•宁波期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：BD＝CD． （2）若弧DE＝50°，求∠C的度数． 考点10：点、直线和圆的位置关系 37．（2024秋•梁溪区校级期中）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，且交⊙O于点D，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，连接BD、CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝8，AC＝6，求BD的长． 38．（2024秋•长沙县期中）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求证：DM＝DB． 39．（2024秋•越秀区校级期中）如图，A、B、P、C是⊙O上的四个点，B、C在点O下方，且∠APC＝∠APB． （1）若∠APC＝∠APB＝60°，求证：△ABC是等边三角形； （2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求AB的长． 40．（2024•甘孜州）如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接OA，OC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积． 考点11：正多边形和圆 41．（2024秋•大丰区期中）正六边形ABCDEF的边长为4，求对角线AC的长和正六边形的面积． 42．（2023秋•林芝市期末）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2．求边心距OP的长． 43．（2023秋•秀屿区校级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE． （1）求证：AE＝DE； （2）求证：AE+CE＝DE． 44．（2023秋•巴东县校级月考）如图，⊙O的半径为R，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边形EFGH是正方形． （1）求∠OGF的度数； （2）求正六边形与正方形的面积比． 考点12：弧长和扇形面积 45．（2024秋•上城区校级期中）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E．若点D是BC中点，连接OE，OD． （1）求证：△ABC是等腰三角形． （2）若AB＝4，∠A＝50°，求弧AE的长和扇形EOD的面积． 46．（2024秋•长兴县期中）如图，⊙O的直径BC为6cm，弦AC为3cm，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （1）求∠CBD的度数； （2）求阴影部分的面积． 47．（2024秋•东台市期中）学习下面方框内的内容，并解答下列问题： 小明在反思学习时，发现解决下列2个问题时都用到了同一种数学思想方法：问题1：若a﹣2b＝3，求2a﹣4b+1的值．解决思路：2a﹣4b+1＝2（a﹣2b）+1＝2×3+1＝7．问题2：如图1，分别以△ABC的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和．解决思路：图中3个扇形的半径都是2，可以将3块阴影扇形拼成一个半径为2的……，求出这个图形的面积即可． 问题： （1）方框内2个问题的解决都用到了　 　的数学思想方法（从下列选项中选一个）； A．分类讨论； B．数形结合； C．整体； D．从特殊到一般． （2））方框内问题2中阴影部分的面积为　 　． （3）如图2，已知⊙O的半径为5，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝8，CD＝6，求与的长度之和． 48．（2023秋•张掖期末）如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F． （1）求EF的长． （2）若点E为OC的中点， ①求劣弧CD的长度； ②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值． 考点13：概率初步 49．（2024秋•碑林区校级期中）2024年10月1日到7日，西安城墙景区开展“金秋共庆华诞•盛世同绘宏图”2024西安城墙国庆主题系列活动，通过非遗文化展演、唐文化互动主题演出、AI机器人巡游等内容，展现西安城墙活力新风尚．小明和小亮准备到这三个展区（分别记作A、B、C）参加志愿服务活动． （1）若小明在这3个展区中随机选择1个展区，则选中AI机器人巡游的概率是 　 　； （2）小明和小亮在三个展区中，各自随机选择1个展区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同展区的概率． 50．（2024秋•郑州期中）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 a 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）填空：a＝　 　；当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 　 　（精确到0.1）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 51．（2024秋•鹿城区校级期中）在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有2个，若从中随机摸出1个球，这个球是白球的概率是． （1）求袋子中白球的个数． （2）随机摸出1个球后，放回，搅匀再随机摸出1个球，请利用列表或画树状图的方法求两次摸到相同颜色的小球的概率． 52．（2024秋•龙华区期中）为了帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，从2024年1月1日起，深圳市义务教育阶段学校每天开设一节体育课．为了更好地开展体育课，了解学生最喜欢的体育活动项目，某校针对以下4种体育项目：A．足球；B．乒乓球；C．．篮球；D．游泳．随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图 （1），图 （2）），请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　 　人；并补全条形统计图； （2）在扇形图中，扇形“C”所对应的圆心角等于　 　度； （3）学校共有3600名学生，请根据调查数据估计选择“游泳”的学生人数有　 　人． （4）学校决定成立“足球”“乒乓球”“篮球”“游泳”四个兴趣社团．若小亮、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． （备战期末）13大考点与跟踪训练（解答题篇）-2024-2025学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．解答题（共52小题） 1．（2024秋•朝阳区校级期中）若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值． 【解答】解：将x＝a代入x2﹣3x+9＝0得a2﹣3a+9＝0， ∴a2﹣3a＝﹣9， （a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1） ＝a2﹣16﹣3a+3 ＝a2﹣3a﹣13 ＝﹣9﹣13 ＝﹣22． 2．（2024秋•峰峰矿区月考）已知一元二次方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3． （1）将方程化成一般形式； （2）写出二次项系数、一次项系数和常数项． 【解答】解：（1）由题知， 方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3可化为： 3x2﹣7x+1＝0， 所以此方程的一般形式为3x2﹣7x+1＝0． （2）由（1）中所得方程的一般形式可知， 此方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：3，﹣7，1． 3．（2024春•镇海区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣4＝0是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程ax2﹣2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个波浪方程． 【解答】解：（1）是波浪方程． ∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣4， ∴3a+2b+c＝6+（﹣2）+（﹣4）＝0． 故此方程为波浪方程． （2）将x＝﹣1代入原方程得， a+2+c＝0①， ∵此方程为波浪方程， ∴3a+（﹣4）+c＝0②， 由①②得， ， ∴这个波浪方程为3x2﹣2x﹣5＝0． 4．（2024秋•防城区校级月考）已知关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0（m为常数）是一元二次方程，则m应该满足什么条件？ 【解答】解：由题意可得：m﹣1≠0， 解得m≠1． ∴m应该满足m≠1． 5．（2024秋•阆中市校级期中）解下列方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝1， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0， 所以x＝， 解得x1＝2+，x2＝2﹣ （2）∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3）， ∴（3x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得x1＝3，x2＝． 6．（2024秋•郑州期中）解方程： （1）x2﹣6x+3＝0； （2）3x2﹣2x﹣1＝0． 【解答】解：（1）x2﹣6x+3＝0， x2﹣6x+9＝﹣3+9， （x﹣3）2＝6， x﹣3＝±， 所以x1＝3+，x2＝3﹣； （2）3x2﹣2x﹣1＝0， （x﹣1）（3x+1）＝0， x﹣1＝0或3x+1＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣． 7．（2024春•玄武区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\ ＝k2+4k+4﹣8k+4 ＝k2﹣4k+4+4 ＝（k﹣2）2+4， ∵（k﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根为3， ∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， ∴k＝2， ∴方程为x2﹣4x+3＝0， ∴x1＝3，x1＝1， ∴另一个根为1，k＝2． 8．（2024秋•北辰区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝23，求m的值． 【解答】（1）解：根据题意可得：Δ＝4（m+1）2﹣4×1×（m2+5）≥0， 解得：m≥2， 所以m的取值范围m≥2； （2）∵x1，x2是方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的解， ∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5， ∵（x1+1）（x2+1）＝23， ∴x1x2+x1+x2+1＝23，即m2+5+2（m+1）+1＝23， 解得：m1＝﹣5，m2＝3， 由（1）知，m≥2， ∴m＝3． 9．（2024秋•长宁区校级期中）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，墙长40米，用120米长的铁栅栏围一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，如果长方形的面积为1152平方米，那么长方形的两条邻边长是多少米？ 【解答】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（120﹣2x）米， 根据题意得：x（120﹣2x）＝1152， 整理得：x2﹣60x+576＝0， 解得：x1＝12，x2＝48， 当x＝12时，120﹣2x＝120﹣2×12＝96＞40，不符合题意，舍去； 当x＝48时，120﹣2x＝120﹣2×48＝24＜40，符合题意． 答：长方形的两条邻边长分别是48米、24米． 10．（2024秋•和平区校级期中）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 【解答】解：设每个“冰墩墩”降价x元，则每个盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+5x）个， 依题意得：（40﹣x）（20+5x）＝1440， 整理得：x2﹣36x+128＝0， 解得：x1＝4，x2＝32（不符合题意，舍去）， 答：每个“冰墩墩”应降价4元． 11．（2024秋•长寿区校级期中）某公司2月份销售新上市的A产品25套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到36套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利3万元，则平均每月可售30套．为了减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降1万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利100万元，则每套A产品需降价多少？ 【解答】解：（1）该公司销售A产品每次的增长率为x， 由题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：该公司销售A产品每次的增长率为20%； （2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30+20y）套， 依题意得：（3﹣y）（30+20y）＝100， 整理得：2y2﹣3y+1＝0， 解得：y1＝（不符合题意，舍去），y2＝1， 答：每套A产品需降价1万元． 12．（2024•辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 【解答】解：（1）由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b， 又结合表格数据图象过（45，55），（55，45）， ∴． ∴． ∴所求函数关系式为y＝﹣x+100． （2）由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x， 又销售额是2600元， ∴2600＝﹣x2+100x． ∴x2﹣100x+2600＝0． ∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2600 ＝10000﹣10400 ＝﹣400＜0． ∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元． 13．（2024秋•杭州期中）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，3），（1，6）． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）﹣2≤x≤3时，求y的取值范围． 【解答】解：把（0，3），（1，6）分别代入y＝x2+bx+c得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2+2x+3； （2）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2， ∴当x＝﹣1时，y有最小值，最小值为2， ∵x＝﹣2时，y＝x2+2x+3＝3， x＝3时，y＝x2+2x+3＝18， ∴当﹣2≤x≤3时，y的取值范围为2≤y≤18． 14．（2024秋•密云区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c经过两点A（1，0），B（4，3）． （1）求b，c的值； （2）当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围； （3）当1≤x≤4时，函数y＝x+n的函数值总大于函数y＝x2+bx+c的函数值，直接写出n的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c经过两点A（1，0），B（4，3）， ∴． ∴． （2）由（1）可得，抛物线为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴当x＝2时，y取最小值为﹣1． 又∵当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝3， ∴当1≤x≤4时，﹣1≤y≤3． （3）由题意，∵函数y＝x+n的图象为平行于y＝x的直线， ∴当1≤x≤4时，函数y＝x+n的函数值总大于函数y＝x2+bx+c的函数值，故结合图象如下． ∵函数y＝x+n的图象过（1，0）时，1+n＝0， ∴n＝﹣1． ∴当1≤x≤4时，函数y＝x+n的函数值总大于函数y＝x2+bx+c的函数值，则n＞﹣1． 15．（2024秋•洛龙区期中）已知二次函数y＝x2﹣3x﹣1． （1）用配方法将解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）已知二次函数y＝x2﹣3x﹣1中的x，y满足如表，求m的值； （3）结合（2）中所给的表格，在给定的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． x … ﹣1 0 1 2 m … y … 3 ﹣1 ﹣3 ﹣3 ﹣1 … 【解答】解：（1）． （2）代入数据可得：当y＝﹣1时，m2﹣3m＝0， ∴m的值为：0或3； （3）如下： 16．（2024秋•周至县期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，连接AC、CD、BD，求四边形ACDB的面积； （3）如图2，连接BC，若P是位于线段BC所在直线下方抛物线上的一个动点，求△BCP面积的最大值及此时点P的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 将点C（0，﹣3）代入上式，得：a﹣4＝﹣3， 解得：a＝1， ∴抛物线的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）连接OD． ∵二次函数与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）， ∴令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1， ∴点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴OA＝1，OB＝3， ∴； （3）过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q， 设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， 由点B（3，0）和 C（0，﹣3），则直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴点O的坐标为（m．m﹣3）， ∴FQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∴， 由题意知0＜m＜3， ∴当 时，△BCP的面积最大，最大值为， 当 时，， ∴点P的坐标为 ． 17．（2024秋•杭州期中）已知二次函数y＝x2﹣4x． （1）求二次函数图象与x轴的交点坐标． （2）求二次函数的顶点坐标． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x＝x（x﹣4）， ∴当y＝0时，x＝0或x＝4， ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（0.0）、（4，0）； （2）∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4， ∴该函数的顶点坐标为（2，﹣4）． 18．（2024秋•鹿城区校级期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交点为（0，3），与x轴的一个交点为（﹣3，0）． （1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标． （2）通过观察图象，当y≤0时，请直接写出自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣3，0）． ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0）， ∴设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 把（0，3）代入得3＝a×3×（﹣1）， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）， 即y＝﹣x2﹣2x+3， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）， （2）当y≤0时，自变量x的取值范围为x≤﹣3或x≥1． 19．（2024秋•长乐区期中）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，线段PC交x轴于点D，S△PAD＝S△CAD，求点P的坐标． 【解答】解：（1）二次函数解析式为y＝（x+1）（x﹣3）， 即y＝x2﹣2x﹣3； （2）当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵S△PAD＝S△CAD， ∴点P和点C到x轴的距离相等， ∴P点到x轴的距离为3， ∵点P在第一象限， ∴P点的纵坐标为3， 当x＝3时，x2﹣2x﹣3＝3， 解得x1＝1﹣（舍去），x2＝1+， ∴P点坐标为（1+，3）． 20．（2024秋•广州期中）已知抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴交于A，B两点，A在B左侧． （1）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0的一个解是﹣1，求出A，B两点的坐标； （2）若抛物线的顶点在直线y＝﹣2x上，求此抛物线的解析式． 【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程x2﹣2x+c＝0得1+2+c＝0， 解得c＝﹣3， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣3， ∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）； （2）∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，c﹣1）， ∵抛物线的顶点在直线y＝﹣2x上， ∴c﹣1＝﹣2， 解得c＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1． 21．（2024秋•周至县期中）如图①，是某学校体育场的遮阳棚截面图，该校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳棚截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与地面AB相互垂直，且OC＝5，AB＝10，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）若为了使遮阳棚更加牢固，在遮阳棚内部设计了一个矩形框架DEFG（如图②所示），点G、F均在抛物线上，点D、E在AB上，且DE：EF＝4：3，求EF的长． 【解答】解：（1）由题意，∵OC＝5，AB＝10， ∴C（0，5），A（﹣5，0），B（5，0）． ∴可设抛物线的函数解析式为 y＝ax2+5， 又B（5，0）在抛物线上， ∴25a+5＝0． ∴． ∴抛物线的函数解析式为． （2）由题意，∵四边形DEFG是矩形， ∴∠OEF＝90°，即 EF⊥AB． ∵DE：EF＝4：3， 故可设DE＝4t，EF＝3t， ∴F（2t，3t）． 又F在抛物线上， ∴． ∴ 负值舍去）． ∴，即EF的长为 ． 22．（2024秋•白云区期中）华联商场以每件10元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于20元/件，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表： 销售价（x元） 10 15 18 20 销售量（y件） 30 25 22 20 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？ 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 把（10，30），（15，25）代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+40， ∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件， ∴10≤x≤20； （2）根据题意可得： w＝（x﹣10）y ＝（x﹣10）（﹣x+40） ＝﹣x2+50x﹣400 ＝﹣（x﹣25）2+225， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜25时，w随x的增大而增大， ∵10≤x≤20， ∴当x＝20时，w取最大值，此时w＝﹣（20﹣25）2+225＝200， ∴每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 23．（2024•宁波模拟）如图，将球从点O的正上方3m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式． （1）若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度． （2）若小球的正前方4m（OC＝4m）处有一个截面为长方形的球筐CDEF，其中CD为2m，DE为1m，若要使小球落人筐中，求b的取值范围． 【解答】解：（1）∵小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度， ∴抛物线的对称轴为：直线x＝1． ∴﹣＝1． 解得：b＝． 由题意得：抛物线上点A的坐标为（0，3）． ∴c＝3． ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3． 当x＝1时，y＝﹣++3＝． 答：小球达到的最大高度为m； （2）由题意得：点F的坐标为（4，1），点E的坐标为（6，1）． ∵抛物线上点A的坐标为（0，3）， ∴c＝3． ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+bx+3． ①抛物线经过点（4，1）． ﹣×42+4b+3＝1． 解得：b＝． ①抛物线经过点（6，1）． ﹣×62+6b+3＝1． 解得：b＝． ∴要使小球落人筐中，b的取值范围为：≤b≤． 24．（2024•碑林区校级二模）掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处A距离地面的高度AO是2m，实心球的落地点为C处，以O为原点，OC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3m时，达到最大高度3m的B处． （1）求抛物线的解析式； （2）若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4m，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？ 【解答】解：（1）由题意得：点B（3，3）为抛物线的顶点坐标． ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3． ∵抛物线经过点A（0，2）， ∴9a+3＝2． 解得：a＝﹣． ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+3； （2）当y＝0时，﹣（x﹣3）2+3＝0． ∴（x﹣3）2＝27． ∴x﹣3＝±3． ∴x1＝3+3，x2＝3﹣3（不合题意，舍去）． ∴点C的坐标为：（3+3，0）． ∴OC＝3+3． ∵3+3＜8.4， ∴小鹏此次投掷的成绩不会上80分． 25．（2024秋•周至县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，求BE的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， 由勾股定理得：AB＝＝＝5， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处， ∴AE＝AC＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1． 26．（2024秋•西城区校级期中）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作CD⊥AB于点D，将线段BD绕着点B逆时针旋转角α后得到线段BE，连接AE． （1）求∠E的度数； （2）若BE＝1，AD＝2，求CD的长． 【解答】解：（1）∵线段BD绕点B逆时针旋转角α得到线段BE， ∴BD＝BE，∠ABE＝∠CBD＝α． 在△CBD与△ABE中， ， ∴△CBD≌△ABE（SAS）， ∴∠E＝∠CDB． ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠E＝90°． （2）∵△CBD≌△ABE， ∴BE＝BD＝1， ∴AB＝AD+BD＝3， ∴BC＝AB＝3， 在Rt△BCD中，由勾股定理得，． 27．（2024•景德镇二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得△DBE，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求∠ADE的度数． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ABC＝50°， ∴∠CAB＝40°． ∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点E恰好在AB上， ∴BA＝BD，∠ABC＝∠DBA＝50°， ∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣50°）＝65°， ∵∠BED＝∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝∠ADB﹣∠DAB＝25°． 28．（2024秋•同安区校级期中）已知：在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FECG，且点E落在AD边上，连接BG交CE于点H． （1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AEC； （2）如图2，连接FH，若FH平分∠EFG，判断CH与AE之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：如图1，连接BE， 由旋转得EC＝BC， ∴∠CEB＝∠CBE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠CEB， ∴BE平分∠AEC． （2）解：CH＝2AE． 理由：如图2，连接BE，作BI⊥CE于点I，则∠BIH＝∠BIE＝90°， ∵∠A＝∠GCH＝90°， ∴∠BIH＝∠GCH，∠BIE＝∠A， ∵BE平分∠AEC， ∴∠IEB＝∠AEB， 在△IEB和△AEB中， ， ∴△IEB≌△AEB（AAS）， ∴IE＝AE，IB＝AB＝FE＝CG， ∵∠EFG＝∠FEH＝∠GCH＝90°，FH平分∠EFG， ∴∠EFH＝∠GFH＝∠EFG＝45°，∠BIH＝∠GCH， ∴∠EHF＝∠EFH＝45°， ∴FE＝HE＝IB， 在△BHI和△GHC中， ， ∴△BHI≌△GHC（AAS）， ∴IH＝CH， ∵EC＝BC＝AD，IE＝AE， ∴EC﹣IE＝AD﹣AE， ∴IC＝ED， 设IE＝AE＝m，IH＝CH＝n，则CE＝m+2n，ED＝IC＝2n，CD＝CG＝FE＝HE＝m+n， ∵∠D＝90°， ∴（2n）2+（m+n）2＝（m+2n）2， ∴n＝2m， ∴CH＝2AE． 29．（2024秋•广州期中）如图，已知坐标系中△ABC． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′； （2）直接写出△A′B′C′各顶点的坐标． 【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求： （2）由（1）中图可得：A′（0，﹣1），B′（﹣2，﹣3），C′（﹣3，0）． 30．（2024秋•淇滨区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点A关于原点的对称点为B． （1）若以AB为一边向上作一个等边三角形ABC，直接写出点C的坐标． （2）求（1）中的三角形ABC的周长和面积． 【解答】解：（1）∵点A的坐标，点A关于原点的对称点为B， ∴， ∴， ∵点C在y轴的正半轴上，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）△ABC的周长为， ． 31．（2023秋•民权县期末）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：FD＝BE． 【解答】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AF＝CE， ∴AO﹣AF＝CO﹣CE， ∴FO＝EO， 在△FOD和△EOB中 ， ∴△FOD≌△EOB（SAS）， ∴DF＝BE． 32．（2024•龙亭区一模）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB． （1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明； （2）如图2，若点D在边BC上，DC＝2，AC＝，求AB的长． 【解答】解：（1）∠ABC＝∠BEC，理由如下： ∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE， ∴BE＝BC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∵CE∥AB， ∴∠ABC＝∠BCE， ∴∠ABC＝∠BEC； （2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F， ∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE， ∴AC＝DE＝，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD， ∴∠BEC＝∠BCE， ∵CE∥AB， ∴∠BCE＝∠ABC， ∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE， ∴∠CDF＝30°， ∴CF＝CD＝1，DF＝CF＝， 在Rt△DEF中，EF＝＝＝4， ∴CE＝EF+CF＝5＝BC， ∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3＝AB， ∴AB的长为3． 33．（2024秋•武汉期中）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝12，EF＝4，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵OA＝OB，OE⊥AB于点F， ∴AF＝BF， 又∵OE是⊙O的半径，OE⊥AB， ∴CF＝DF， ∴AF﹣CF＝BF﹣DF， ∴AC＝BD； （2）解：如图，连接OC， ∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴CF＝CD＝6，∠OFC＝90°， ∴CO2＝CF2+OF2， 设⊙O的半径是r， ∴r2＝62+（r﹣4）2， 解得r＝， ∴⊙O的半径是． 34．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD， ∴＝； （2）解：∵BD＝8， ∴AC＝8， ∵E为AC的中点， ∴OB⊥AC，AE＝AC＝4， ∴OE＝＝＝3， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2． 35．（2024秋•密云区期中）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，点C是的中点． （1）求证：AC∥OB； （2）延长AO与⊙O交于点D，⊙O的弦BE与AD交于点F（F不与O重合），且EF＝BF，DF＝1，连接AE，求AE长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵点C是的中点， ∴＝， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC为等边三角形， ∴∠OCA＝60°， ∴∠OCA＝∠BOC， ∴AC∥OB； （2）解：∵AD是⊙O的直径，EF＝BF，F不与O重合， ∴AD⊥BE， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOF＝60°， ∴∠OBF＝30°， ∴OF＝OB＝OD， ∵DF＝1， ∴OF＝1，OB＝2， ∴BF＝＝，AF＝OA+OF＝3， ∴EF＝， ∴AE＝＝＝2． 36．（2024秋•宁波期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：BD＝CD． （2）若弧DE＝50°，求∠C的度数． 【解答】（1）证明：如图，连接AD， ∵AB是圆O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴AD⊥BD， 又∵AB＝AC， ∴BD＝CD． （2）解：连接OD、OE， ∵弧DE＝50°， ∴∠EOD＝50°． ∴∠DAE＝∠DOE＝25°， ∵由（1）知，∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABD＝65°． 37．（2024秋•梁溪区校级期中）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，且交⊙O于点D，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，连接BD、CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝8，AC＝6，求BD的长． 【解答】（1）证明：连接OD，如图： ∵∠BAC＝90°， ∴BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴BD＝CD， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∵OB＝OC， ∴DO⊥BC， ∵DE∥BC， ∴OD⊥DE， ∵OD是圆的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴BC＝＝＝10， 由（1）知：△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝BC＝×10＝5． 38．（2024秋•长沙县期中）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求证：DM＝DB． 【解答】证明：（1）连接OD， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴直线DE是⊙O的切线； （2）∵线段AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BM， ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAM＝∠DAB， ∴∠M＝∠ABM， ∴ABM是等腰三角形， ∴DM＝DB． 39．（2024秋•越秀区校级期中）如图，A、B、P、C是⊙O上的四个点，B、C在点O下方，且∠APC＝∠APB． （1）若∠APC＝∠APB＝60°，求证：△ABC是等边三角形； （2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求AB的长． 【解答】（1）证明：由圆周角定理得：∠ABC＝∠APC＝60°，∠ACB＝∠APB＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：如图，连接AO并延长，交BC于D，连接OB， ∵∠APC＝∠APB， ∴＝， ∴AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴BD＝BC＝4， 由勾股定理得：OD＝＝＝3， ∴AD＝OA+OD＝5+3＝8， ∴AB＝＝＝4． 40．（2024•甘孜州）如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接OA，OC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积． 【解答】（1）证明：设OC交AB于点E， ∵OC是⊙O的半径，C为的中点， ∴OC垂直平分AB， ∵CD∥AB， ∴∠OCD＝∠OEB＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵OA＝OC＝OB＝3，BD＝2， ∴OD＝OB+BD＝3+2＝5， ∵∠OCD＝90°， ∴CD＝＝＝4， ∴S△OCD＝CD•OC＝×4×3＝6， ∴△OCD的面积是6． 41．（2024秋•大丰区期中）正六边形ABCDEF的边长为4，求对角线AC的长和正六边形的面积． 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠BCD＝120°， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴∠ACD＝90°， ∵∠CDA＝∠EDA＝60°， ∴∠CAD＝30°， ∴AD＝2CD＝8， ∴AC＝CD＝4； 如图，设圆心为O， 连接AO，BO，作OG⊥AB于点G， ∵AB＝OA＝4； ∴正六边形的周长＝6AB＝24； ∴OG＝OA•sin60°＝×4＝2， ∴正六边形的面积＝6××4×＝24． 42．（2023秋•林芝市期末）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2．求边心距OP的长． 【解答】解：∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB，OP⊥AB， ∴∠AOP＝30°，AP＝BP， ∵AB＝2， ∴OA＝2，AP＝AB＝， ∴OP＝＝3． 43．（2023秋•秀屿区校级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE． （1）求证：AE＝DE； （2）求证：AE+CE＝DE． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴AE＝DE． （2）证明：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC， ∵∠EDF＝90°， ∴∠F＝90°﹣45°＝45°， ∴DE＝DF． ∵∠ADC＝∠EDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF． 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴， 即． 44．（2023秋•巴东县校级月考）如图，⊙O的半径为R，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边形EFGH是正方形． （1）求∠OGF的度数； （2）求正六边形与正方形的面积比． 【解答】解：（1）∵OF＝EF＝FG， ∴△OFG是等腰三角形， ∵∠EFG＝90°，∠OFE＝60°， ∴∠OFG＝150°， ∴∠OGF＝•（180°﹣150°）＝15°． （2）设正六边形的边长为a． ∵∠FOE为正六边形的中心角， ∴∠FOE＝60°． ∵EO＝FO＝a， ∴△EOF是边长为a的等边三角形， ∴EF＝a， ∴正方形EFGH的面积为a2， 正六边形的面积为6וa•a＝a2， ∴正六边形与正方形的面积比为a2：a2＝3：2． 45．（2024秋•上城区校级期中）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E．若点D是BC中点，连接OE，OD． （1）求证：△ABC是等腰三角形． （2）若AB＝4，∠A＝50°，求弧AE的长和扇形EOD的面积． 【解答】（1）证明：如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC， 又∵点D是BC的中点，即CD＝BD， ∴AC＝AB， 即△ABC是等腰三角形； （2）∵OA＝OE＝AB＝2， ∴∠A＝∠AEO＝50°， ∴∠AOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴的长为＝π， ∵∠BOD＝2∠BAD＝∠BAC＝50°， ∴∠DOE＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∴S扇形DOE＝＝π． 即的长为π，S扇形DOE＝π． 46．（2024秋•长兴县期中）如图，⊙O的直径BC为6cm，弦AC为3cm，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （1）求∠CBD的度数； （2）求阴影部分的面积． 【解答】解：（1）∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠CAB＝45°， ∴∠CBD＝∠CAD＝45°； （2）如图，连接OA， ∵BC＝6cm，AC＝3cm，∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝30°，OA＝OB＝3cm，AB＝＝3（cm）， ∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∴S扇形AOB＝＝3π（cm2）， ∵OA＝OB， ∴S△AOB＝S△ACB＝××3×3＝（cm2）， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝（3π﹣）cm2， 即阴影部分的面积为（3π﹣）cm2． 47．（2024秋•东台市期中）学习下面方框内的内容，并解答下列问题： 小明在反思学习时，发现解决下列2个问题时都用到了同一种数学思想方法：问题1：若a﹣2b＝3，求2a﹣4b+1的值．解决思路：2a﹣4b+1＝2（a﹣2b）+1＝2×3+1＝7．问题2：如图1，分别以△ABC的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和．解决思路：图中3个扇形的半径都是2，可以将3块阴影扇形拼成一个半径为2的……，求出这个图形的面积即可． 问题： （1）方框内2个问题的解决都用到了　C　的数学思想方法（从下列选项中选一个）； A．分类讨论； B．数形结合； C．整体； D．从特殊到一般． （2））方框内问题2中阴影部分的面积为　2π　． （3）如图2，已知⊙O的半径为5，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝8，CD＝6，求与的长度之和． 【解答】解：（1）方框内2个问题的解决都用到了整体的数学思想方法； 故选：C； （2）∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴阴影部分的面积为＝2π； 故答案为：2π； （3）如图2，作直径BE，连接AE， ∵BE是直径， ∴∠EAB＝90°， ∵⊙O的半径为5， ∴BE＝10， ∴在Rt△ABE中，， ∵CD＝6， ∴AE＝CD， ∴， ∴． ∵的长＝＝5π， ∴的长度和为5π． 48．（2023秋•张掖期末）如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F． （1）求EF的长． （2）若点E为OC的中点， ①求劣弧CD的长度； ②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值． 【解答】解：（1）如图，连接OD， ∵⊙O的直径AB＝16， ∴圆的半径为16÷2＝8． ∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB， ∴∠EOB＝∠OED＝∠OFD＝90°， ∴四边形OFDE是矩形， ∴EF＝OD＝8． （2）①∵点E为OC的中点， ∴， ∴∠EDO＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∴劣弧CD的长度为． ②延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P， 则PC+PD的最小值为DG． 设DE＝x， 则DG＝2x， ∵，EG＝12， ∴x2+144＝4x2， 解得x＝4， ∴DG＝8， ∴PC+PD的最小值为． 49．（2024秋•碑林区校级期中）2024年10月1日到7日，西安城墙景区开展“金秋共庆华诞•盛世同绘宏图”2024西安城墙国庆主题系列活动，通过非遗文化展演、唐文化互动主题演出、AI机器人巡游等内容，展现西安城墙活力新风尚．小明和小亮准备到这三个展区（分别记作A、B、C）参加志愿服务活动． （1）若小明在这3个展区中随机选择1个展区，则选中AI机器人巡游的概率是 　　； （2）小明和小亮在三个展区中，各自随机选择1个展区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同展区的概率． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选中AI机器人巡游的结果有1种， ∴选中AI机器人巡游的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选到相同展区的结果有3种， ∴小明和小亮选到相同展区的概率为． 50．（2024秋•郑州期中）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 a 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）填空：a＝　0.65　；当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 　0.6　（精确到0.1）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 【解答】解：（1）a＝65÷100＝0.65，当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6， 故答案为：0.65，0.6； （2）列表如下： 黑 白 白 白 黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果， 所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为＝． 51．（2024秋•鹿城区校级期中）在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有2个，若从中随机摸出1个球，这个球是白球的概率是． （1）求袋子中白球的个数． （2）随机摸出1个球后，放回，搅匀再随机摸出1个球，请利用列表或画树状图的方法求两次摸到相同颜色的小球的概率． 【解答】解：（1）设白球有x个， ＝， 解得x＝1， 经检验：x＝1是原分式方程的解， 即白球有1个； （2）画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中两次摸到的小球颜色相同的小球的结果数为5， 所以两次摸到的小球颜色不同的概率为． 52．（2024秋•龙华区期中）为了帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，从2024年1月1日起，深圳市义务教育阶段学校每天开设一节体育课．为了更好地开展体育课，了解学生最喜欢的体育活动项目，某校针对以下4种体育项目：A．足球；B．乒乓球；C．．篮球；D．游泳．随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图 （1），图 （2）），请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　60　人；并补全条形统计图； （2）在扇形图中，扇形“C”所对应的圆心角等于　108　度； （3）学校共有3600名学生，请根据调查数据估计选择“游泳”的学生人数有　720　人． （4）学校决定成立“足球”“乒乓球”“篮球”“游泳”四个兴趣社团．若小亮、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 【解答】解：（1）本次调查的总人数为：80÷40%＝200（人）， 则C组的学生数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）． 补全条形统计图如下： 故答案为：60； （2）扇形“C”所对应的圆心角等于． 故答案为：108． （3）估计选择“游泳”的学生人数有（人）． 答：估计选择“游泳”的学生人数有720人， 故答案为：720． （4）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种， ∴他们选择同一社团的概率为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$