精品解析：福建省南安市实验中学2024-2025学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

2024年秋南安市实验中学期中质量检测初三数学试题 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中最简二次根式是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的判定条件即可解答；最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 【详解】解：A．不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．不是最简二次根式，不符合题意； D．不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法法则计算以及二次根式的加减法则计算即可判定． 【详解】解∶ A、与不是同类二次根式，不能合并，故原说法错误，符合题意； B、，故原说法正确，不符合题意； C、，故原说法正确，不符合题意； D、，故原说法正确，不符合题意； 故选∶ A． 【点睛】此题主要考查了实数的运算．二次根式的运算法则与有理数的运算法则是一样的，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3. 用配方法解方程．下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴， 故选：C． 4. 若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则m的取值为( ) . A. m=0 B. m>0 C. m<-1 D. m>-1 【答案】C 【解析】 【分析】方程无实数根，则△<0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：由题意得：△=4+4m<0， ∴m<-1． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 5. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(　　) . A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5， 故选C. 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦是解题的关键． 6. 下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 叶落归根 B. 生老病死 C. 水中捞月 D. 守株待兔 【答案】C 【解析】 【分析】根据不可能事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A，叶落归根是必然事件，不合题意； B，生老病死是必然事件，不合题意； C，水中捞月是不可能事件，符合题意； D，守株待兔是随机事件，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查事件发生的可能性，掌握不可能事件的定义是解题的关键．不可能事件：即一定不会发生的事情． 7. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例可得，然后根据AC=4，CE=6，BD=3，可代入求解DF=4．5． 故选B 考点：平行线分线段成比例 8. 如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．由平行四边形的性质易证，，结合题意即得出，再根据相似三角形周长比等于相似比即得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． ∵，即， ∴， ∴与的周长比为． 故选C． 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：在RT△ABF中，∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，利用直角三角形斜边中线性质可得AB=2DF=8，再由AD=DB，AE=EC，可得DE∥BC，∠ADE=∠ABF=30°，所以AF=AB=4，由勾股定理可得BF=4．故选D． 考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线． 10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论： ①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=．其中正确的结论有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】过D作DM∥BE交AC于N，利用矩形及平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等依次进行证明判断即可． 【详解】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵AE=AD=BC， ∴， ∴CF=2AF，故②正确； ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM=DE=BC， ∴BM=CM， ∴CN=NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DM垂直平分CF， ∴DF=DC，故③正确； 设AE=a，AB=b，则AD=2a， 由△BAE∽△ADC，有 ，即b=， ∴tan∠CAD=．故④不正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 当_____时，二次根式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 由二次根式有意义得：被开方数为非负数列不等式可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 12. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 13. 如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段，则端点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段， ∴点与点时对应点， ∵点的坐标为，位似比为：， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系式解题的关键． 14. 定义运算：, 若a、b是方程的两个根，则的值为____________________(用含m的代数式表示). 【答案】 【解析】 【分析】由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含和的代数式，再由a、b是方程的两个根可得和的值，最后把ab和a+b的值整体代入即可得解． 本题考查了新定义运算、一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟知新定义运算的法则． 【详解】∵a、b是方程的两个根， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 15. 某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，则点到的距离为_____．（参考数据：， ，） 【答案】480 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． 作于M，于N，设，根据矩形的性质用x表示出、，根据正切的定义用x表示出，根据题意列式计算即可． 【详解】解：作于M，于N， 则四边形为矩形， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 答：点O到的距离为． 故答案为：480． 16. 如图，在中，，D是边上一点且满足，，E是边上一点且满足，连接交于点F，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，延长至，使，连接，过点作交于，过点作于点，设，则，再设，，再根据相似三角形的判定与性质即可． 【详解】解：延长至，使，连接，过点作交于，过点作于点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．先计算二次根式的乘法，除法，然后去绝对值符号，然后合并同类二次根式，最后求得答案． 【详解】解：原式 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】先移项，将二次项系数化为1，然后等式两边同加一次项一半的平方，再根据完全平方公式分解，最后根据直接开平方法解方程即可． 【详解】 ∴ ∴，． 【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，要注意配方的方法以：等式两边同加一次项一半的平方． 19. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 20. 在一个不透明的口袋里装有3个球，这3个球分别标有数字1、2、3，这些球除了数字以外都相同． （1）如果从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是2的球的概率是多少？ （2）小明和小东玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下球的数字后放回，搅匀后再由小东随机摸出一个球，记下球的数字．谁摸出的球的数字大，谁获胜．现请你利用树状图或列表的方法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由． 【答案】（1） （2）游戏规则对双方公平．理由： 列树状图如下． 由图可以看出，小明获胜的情况有：三种，则小明获胜的概率是． 小东获胜的情况有：三种，则小东获胜的概率是． 因双方获胜的概率相同，故规则对双方公平． 【解析】 【分析】（1）从袋中任意摸出一个球共有三种情况，其中摸到标有数字2的概率为． （2）列树状图或表格可知，共有九种情况，其中两人无论谁先谁后，摸出较大数字的概率都等于，据此可判断游戏规则对双方公平． 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．解题的关键是明确：概率=所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 从袋中任意摸出一个球，共有三种可能：1、2、3，其中摸到标有数字2的概率是． 【小问2详解】 略 21. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E． （1）求证：ABE∽DBC； （2）求线段AE的长． 【答案】 （1）证明：∵AB＝AD＝25， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△DBC； （2）AE=15． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD＝∠ADB，由AD∥BC可得∠ADB＝∠DBC，即可得出∠ABD＝∠DBC，根据∠AEB＝∠C＝90°，即可可证明△ABE∽△DBC； （2）由等腰三角形的性质可知，BD＝2BE，根据相似三角形的性质可求出BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵AB＝AD，AE⊥BD， ∴BE＝DE， ∴BD＝2BE， ∵△ABE∽△DBC， ∴， ∵AB＝AD＝25，BC＝32， ∴， ∴BE＝20， ∴AE＝＝15． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 22. 若一个正整数是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“进步数”，为的“进步起点”．例如，，则35是“进步数”，5为35的“进步起点”． （1）判断2024是不是“进步数”，若是，请求出它的“进步起点”；若不是，请说明理由； （2）若（为整数），试探究是否是“进步数”，请说明理由． 【答案】（1）44 （2）不是，理由： 假设是“进步数”， 由题意得， 整理得， ∴， ∵设 ∴ ∵为整数，且 ∴，或, 解得，或， ∴当时，是完全平方公式 ∵ ∴不是完全平方公式 ∴方程没有整数解， ∴不是“进步数”． 【解析】 【分析】此题考查了新定义运算，解一元二次方程，一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设，然后解方程求解即可； （2）假设是“进步数”，得到，推出方程没有整数解，据此即可求解． 【小问1详解】 解：设 整理得， 解得，（舍去） ∴它的“进步起点”为44； 【小问2详解】 略 23. 小明和同学开展“测量旗杆高度”的实践活动，他们按照拟定的测量方案进行实地测量，并得到如下测量报告： 课题 测量旗杆的高度 测量工具 测角仪和卷尺 数学模型及说明 说明：为水平地面，旗杆垂直于地面，斜坡的坡度，在斜坡点处测得旗杆顶端的仰角为． 测量数据 ，， 参考数据 ，， 根据小明测量报告中的信息，求旗杆的高度．（结果精确到） 【答案】旗杆的高度约为16.3米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，证明四边形是矩形，得，由坡度的概念和勾股定理得米，米，则米，米，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，斜坡的坡度，米， 设米，则米， ∴（米）， ∴， ∴， ∴米，米， ∴（米），米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：旗杆的高度约为16.3米． 24. 已知等腰中，分别是腰上的点，连接，设． （1）当点是的中点时． ①如图1，若是的中点，求的值； ②如图2，若，求的值； （2）如图3，若，当时，直接写出是的值为_______ ． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①如图所示，过点D作交于点F，首先得到是的中位线，然后得到，得到，然后证明出是等腰直角三角形，设，然后根据勾股定理和等腰直角三角形的性质表示出，求出，然后得到； ②如图所示，延长到点F使，得到是等腰直角三角形，然后证明出，得到，设，，表示出，，，然后代入求出，然后得到； （2）如图所示，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于点M，交于N，连接交于K，延长交的延长线于点P，设交于点O，交于点G，证明出，得到，证明出边形是正方形，设，然后证明出，得到，然后得到，推出，得到，，然后证明出，得到，然后得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，过点D作交于点F， ∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长到点F使， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于点M，交于N，连接交于K，延长交的延长线于点P，设交于点O，交于点G， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴设， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线以及掌握以上知识点． 25. 如图，已知点的坐标为，直线分别交轴正半轴，轴负半轴于点B，C，且． （1）求直线的函数表达式； （2）若点的坐标为，连接， ①当时，求点的坐标； ②若点在第四象限内，连接，其中交于点，过点作交于点，记的面积分别为，试判断是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①或；②存在最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）先求出的长，进而得到的长，则可得到的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①当点P在x轴上方时，设与y轴交于点D，推出，则，得出点D的坐标为，用待定系数法求出直线的函数表达式为，即可得出点P的坐标；当点P在x轴下方时，记为，设与y轴交于点E，证明，得出，则点D的坐标为，点E的坐标为，用待定系数法求出直线的函数表达式为，即可得出点P的坐标；②易得，则，记中边上的高为，推出，记中边上的高为，推出，进而得出，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，过点E作于点I，推出，设，则，，则PE＝．求出点F的坐标为，则，即可得出，再利用配方法即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 把代入得， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①当点P在x轴上方时，设与y轴交于点， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将，代入中得， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵ ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴点P的坐标为 ②当点P在x轴下方时，记为，设与y轴交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为 设直线的函数表达式为， 将，代入中得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令， 解得（不符合题题，舍去）， 当时， ∴点的坐标为 综上所述，点P的坐标为或； ②∵， ∴， ∴， 设中边上的高为， ，， ， 记中边上的高为， ∴， ∵也是中边上的高， ∴， ， ， ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴． 过点P作轴交于点F，交x轴于点H，过点E作于点I， ∴ ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， 设，则，，则PE＝． ∵点P的坐标为， ∴点F的坐标为， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋南安市实验中学期中质量检测初三数学试题 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中最简二次根式是( ) A. B. C. D. 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程．下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则m的取值为( ) . A. m=0 B. m>0 C. m<-1 D. m>-1 5. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(　　) . A. B. C. D. 6. 下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 叶落归根 B. 生老病死 C. 水中捞月 D. 守株待兔 7. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 8. 如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论： ①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=．其中正确的结论有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 当_____时，二次根式有意义． 12. 若，则_________． 13. 如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段，则端点的坐标为___________． 14. 定义运算：, 若a、b是方程的两个根，则的值为____________________(用含m的代数式表示). 15. 某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，则点到的距离为_____．（参考数据：， ，） 16. 如图，在中，，D是边上一点且满足，，E是边上一点且满足，连接交于点F，则______． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 20. 在一个不透明的口袋里装有3个球，这3个球分别标有数字1、2、3，这些球除了数字以外都相同． （1）如果从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是2的球的概率是多少？ （2）小明和小东玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下球的数字后放回，搅匀后再由小东随机摸出一个球，记下球的数字．谁摸出的球的数字大，谁获胜．现请你利用树状图或列表的方法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由． 21. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E． （1）求证：ABE∽DBC； （2）求线段AE的长． 22. 若一个正整数是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“进步数”，为的“进步起点”．例如，，则35是“进步数”，5为35的“进步起点”． （1）判断2024是不是“进步数”，若是，请求出它的“进步起点”；若不是，请说明理由； （2）若（为整数），试探究是否是“进步数”，请说明理由． 23. 小明和同学开展“测量旗杆高度”的实践活动，他们按照拟定的测量方案进行实地测量，并得到如下测量报告： 课题 测量旗杆的高度 测量工具 测角仪和卷尺 数学模型及说明 说明：为水平地面，旗杆垂直于地面，斜坡的坡度，在斜坡点处测得旗杆顶端的仰角为． 测量数据 ，， 参考数据 ，， 根据小明测量报告中的信息，求旗杆的高度．（结果精确到） 24. 已知等腰中，分别是腰上的点，连接，设． （1）当点是的中点时． ①如图1，若是的中点，求的值； ②如图2，若，求的值； （2）如图3，若，当时，直接写出是的值为_______ ． 25. 如图，已知点的坐标为，直线分别交轴正半轴，轴负半轴于点B，C，且． （1）求直线的函数表达式； （2）若点的坐标为，连接， ①当时，求点的坐标； ②若点在第四象限内，连接，其中交于点，过点作交于点，记的面积分别为，试判断是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $