北京市八一学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

第1页 （全卷共 4 页） 北京市八一学校 2024～2025 学年度第一学期期中试卷 高一 数学 制卷人 高鹤 审卷人 王明辉 一、选择题.共 10小题,每小题 3分,共 30分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 设集合  1 1M x x= −   ， { | 0 3}N x x=  ，则M N = ( ) A. { | 1 3}x x−   B. { | 0 1}x x  C. { | 0 1}x x  D. { | 1 0}x x−   2. 下列函数中，是 ( )0,+ 上单调减函数的是( ) A. ( ) 1f x x= + B. ( ) 2 f x x = − C. ( ) 2 2f x x= − + D. 1 ( )f x x x = − 3. 下列命题中正确的是( ) A. 若 a b ，则 1 1 a b  B. 若 a b ，则 2 2ac bc C. 若 a b ，则 2 2a b D. 若 a b ，则 a c b c−  − 4. 设 x R ，“ 0x  ”是“ 1 0x +  ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 二次函数 2 ( , ,y ax bx c a b c= + + 为常数且 0)a  的图象如右图所示， 则一次函数 y ax b= + 与反比例函数 c y x = 的图象可能是( ) A. B. C. D. 6. 若函数 ( )f x 和 ( )g x 分别由下表给出： x 1 2 3 4 x 1 2 3 4 ( )f x 2 3 4 1 ( )g x 2 1 4 3 满足 ( )( ) 3g f x = 的 x值是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 班 级 姓 名 学 号 考 场 号 第2页 （全卷共 4 页） 7. 已知函数 27( )f x x x = − ，则函数 ( )f x 的零点所在区间为( ) A. ( 1,0)− B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10人推选 1 名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 5时再 增选 1名代表．那么各班可推选的代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 [ ]([ ]y x x= 表 示不大于 x的最大整数 )可以表示为( ) A. 10 x y   =     B. 4 10 x y +  =     C. 5 10 x y +  =     D. 6 10 x y +  =     9. 已知函数 ( )y f x= 在 [ 1,1]− 上单调递增，且函数 ( )f x 的图象关于直线 1x = 对称，设 1 ( ) 2 a f= − ， (2)b f= ， (3)c f= ，则 , ,a b c 的大小关系为( ) A. c a b  B. c b a  C. a b c  D. b a c  10. 已知函数 2 | |, ( ) , x m x m f x x x m + =   ，若存在实数b ，使得关于 x 的方程 ( )f x b= 有三个不同的根，则实数 m 的取值范围是( ) A. (0,2) B. ( 2,0) (2, )− + C. ( 2,0)− D. ( , 2) (0,2)− − 二、填空题.共 5小题,每小题 4分,共 20分. 11. 已知函数 ( ) 2 1f x x= + ，函数 ( )f x 的定义域是__________. 12. 已知 1x ， 2x 是一元二次方程 2 1 0x x− − = 的两实数根，则 1 2x x+ = __________, 1 2| |x x− = ________. 13. 当 1x  时，函数 4 1 y x x = + − 的最小值是__________. 14. 已知函数 ( ) 2 3, 1 2 1, 1 x ax x f x ax x  − +  − =  − − ，若 ( )f x 在 ( , )− + 上单调递减，则 a的取值范围是__________. 15. 已知函数 ( )f x ，对于给定的实数 t ，若存在 0a  ， 0b  ，满足： [ , ]x t a t b  − + ，使得 | ( ) ( ) | 2f x f t−  ，则记 a b+ 的最大值为 ( )H t . ①当 ( ) 3f x x= 时， (0)H = __________； ②当 2( )f x x= 且 [1,3]t 时，函数 ( )H t 的值域为__________. 第3页 （全卷共 4 页） 三、解答题.共 5小题，共 50 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题 8分） 设集合 { | 1 2}A x x= −   ，集合 { | ( 1)( 3) 0}B x x x= − −  ,集合 { | | }C x x a=  . （Ⅰ）求 A B , R B ； （Ⅱ）若C A ，求实数 a的取值范围. 17. （本小题 10分） 已知函数 ( )f x 为二次函数， ( )f x 的零点为 1− 和 2，且 (0) 4= −f . （Ⅰ）求 ( )f x 的解析式，并写出 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）求 ( )f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值. 18. （本小题 12分） 已知函数 2 ( ) 1 x a f x x + = + , ( )f x 为奇函数. （Ⅰ）求 a的值； （Ⅱ）用定义证明： ( )f x 在区间[0,1]上是增函数； （Ⅲ）若函数 ( )h x 为定义在 ( 1,1)− 上的偶函数，且 [0,1)x 时， ( ) ( )h x f x= .求 ( )h x 的解析式，并求不 等式 1 ( 1) ( ) 2 h x h−  的解集. 第4页 （全卷共 4 页） 19. （本小题 12分） 已知函数 2( ) 3f x x ax= + + , ( ) 2g x x= . （Ⅰ）若方程 ( ) 0f x = 的根为 1− 和b ，求 a和b 的值； （Ⅱ）若函数 ( )f x 在区间[1,2]上的最小值，与函数 ( )g x 在区间[1,2]上的最小值相同，求 a的值； （Ⅲ）若函数 ( )f x 的图象总在函数 ( )g x 图象的上方，求 a的取值范围. 20. （本小题 8分） 设函数 ( )f x 的定义域为 D ，对于区间 [ , ]( , )I a b a b I D=   ，若满足以下两条性质之一，则称 I 为 ( )f x 的一个“区间”． 性质 1：对任意 x I ，有 ( )f x I ； 性质 2：对任意 x I ，有 ( ) .f x I （Ⅰ）分别判断区间[1,2]是否为下列三个函数的“区间” (直接写出结论 )； ① 3y x= − ；② 3 y x = ；③ 2 2y x x= − + . （Ⅱ）已知定义在 R 上，且图象连续不断的函数 ( )f x 满足：对任意 1x ， 2x R ，且 1 2x x ，有 2 1 2 1 ( ) ( ) 1. f x f x x x −  − − 求证： ( )f x 存在“区间”，且存在 0 x R ，使得 0x 不属于 ( )f x 的所有“区 间”．