精品解析：辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷

辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题人：刘铭 校对人：刘铭 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分． 1. 已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知，若共面，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 圆和圆的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 已知且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 5 6. 若椭圆的离心率为，则（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 以上都不对 7. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 曲线所围成图形的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知且，则值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知，点，点，且P，O不重合，P，A不重合，则（ ） A. 若，则x，y，z满足： B. 若，则x，y，z满足： C. 若，则x，y，z满足： D. 若，则x，y，z满足： 11. 现有圆锥顶点为，底面所在平面为，母线PM与底面直径MN的长度都是2.点是PM的中点，平面经过点与所成二面角（锐角）为.已知平面与该圆锥侧面的交线是某椭圆（或其一部分），则该椭圆长轴的长可能是（ ） A. B. 1 C. D. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过点且与直线垂直，则直线的方程是__________. 13. 已知点，点B，C是直线与圆交点，则经过点A，B，C的圆的方程是______． 14. 已知点在椭圆上，点，则取值范围是______. 四.解答题：本题共5小题，共7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的长轴端点是和，离心率是. （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围. 16. 如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为. （1）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由. 17. 如图，在三棱柱中，点是棱AC的中点.侧面底面ABC，底面ABC是等边三角形，. （1）求证：平面ABC； （2）求平面与平面所成锐二面角平面角余弦值. 18. 已知点与点关于直线对称. （1）求点坐标m，n（用表示）； （2）若点在曲线上，求点所在曲线的方程. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足.记的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，设点M，N在上，点M，N与点不重合，且直线MN不与轴垂直，记分别为直线AM，AN的斜率. （ⅰ）对于给定的数值入（且，若，证明：直线MN经过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q，求点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题人：刘铭 校对人：刘铭 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分． 1. 已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正方体可得，可得是异面直线直线与所成的角，进而求解即可. 【详解】在正方体中，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以是异面直线直线与所成的角， 又易得是等边三角形，所以， 所以，所以直线与所成角的正弦值为. 故选：D. 2. 在空间直角坐标系中，已知，若共面，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量共面定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由空间向量共面定理可得存在实数，使得， 即，所以，解得. 故选：A 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出斜率，进而可得倾斜角 【详解】由直线得 故直线的斜率为，又倾斜角范围为， 所以倾斜角为． 故选：A． 4. 圆和圆的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化成标准方程，结合圆心距判断两圆位置关系，进而求解. 【详解】由题意得，圆，即以为圆心，为半径圆， 圆，即以为圆心，为半径的圆， 则， 故， 因此两圆相交，则有2条公切线. 故选：B. 5. 已知且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由三角换元代入计算，结合正弦型函数的值域，即可得到结果. 【详解】令， 则，其中， 因为，则， 所以的最大值为. 故选：D 6. 若椭圆的离心率为，则（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】分焦点在轴和焦点在轴两种情况分别计算. 【详解】当焦点在轴上时，，解得； 当焦点在轴上时，，解得. 故选：C 7. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正三角形特点用表示，结合椭圆的定义，即可求得离心率. 【详解】是正三角形，， . 故选：. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，涉及到椭圆的椭圆的定义；关键是能够利用正三角形的特点求出. 8. 曲线所围成图形的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论去掉绝对值符号，然后画出图形，结合图形即可求得结果. 【详解】 由可得，即，所以， 又，即， 当且时，则方程为，即，所以， 当且时，则方程为，即， 当时，则，所以方程为，即， 画出如图所示图像，其中弓形与弓形相等， 由割补法可知，围成图形的面积为. 故选：A 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知且，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】CD 【解析】 【分析】由的几何意义可求得其范围，即可得答案. 【详解】因，则表示以原点为球心，半径为1的球表面上的点. 则表示到距离的平方. 类比点到圆上距离的范围，可得， ， 结合，可得，则 ，. 故，则只有CD满足条件. 故选：CD 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知，点，点，且P，O不重合，P，A不重合，则（ ） A. 若，则x，y，z满足： B. 若，则x，y，z满足： C. 若，则x，y，z满足： D 若，则x，y，z满足： 【答案】BCD 【解析】 【分析】A由空间向量模长公式可判断选项正误；B由空间向量垂直坐标表示可判断选项正误；C由空间向量共线坐标表示可判断选项正误；D由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误. 【详解】A由题，，因，则A错误； B因，则，故B正确； C因，则，故C正确； D因，则. 即，故D正确. 故选：BCD. 11. 现有圆锥顶点为，底面所在平面为，母线PM与底面直径MN的长度都是2.点是PM的中点，平面经过点与所成二面角（锐角）为.已知平面与该圆锥侧面的交线是某椭圆（或其一部分），则该椭圆长轴的长可能是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】当平面与圆锥的旋转轴所成角度大于母线与旋转轴所成角度，小于直角时，圆锥被平面所截得的截线形状为椭圆。本题中可以通过轴截面做出椭圆长轴长度的最大值和最小值，从而确定答案. 【详解】 如上图，做出过点的轴截面，由已知条件可知，平面与轴截面相交得到的线段最短为，最长为，当平面与圆锥面所截得的椭圆的长轴落在平面内时，长轴长或.根据已知的几何关系可以计算出，.当与圆锥所截得的椭圆的长轴不在图中所作的轴截面内时，长轴长度满足：. 对于A选项，长轴长度可以为； 对于B选项，，长轴长度可以为； 对于C选项，，长轴长度可以为； 对于D选项，，长轴长度不可能为. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：过点做出轴截面可以得出椭圆长轴长度的取值范围，与选项进行对照求解即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过点且与直线垂直，则直线的方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据两直线垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程写出直线的方程. 【详解】直线的斜率为，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为：， 即. 故答案为：. 13. 已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设圆的方程为：，代入，即可求得方程. 【详解】因点B，C是直线与圆的交点， 则设过B，C圆的方程为：，代入， 则，则过过点A，B，C的圆的方程是： . 故答案为： 14. 已知点在椭圆上，点，则取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】构造椭圆，椭圆分别与椭圆有相同的短轴和长轴，同时是两椭圆的焦点，利用图形关系可求的取值范围. 【详解】由椭圆与椭圆有相同的短轴， 由椭圆与椭圆有相同的长轴， 又椭圆与椭圆有相同的焦点， 即点， 由椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部， 椭圆在椭圆上及其内部， 当点在上时，， 因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部， 所以，当点在短轴的端点时取等号， 当点在上时，， 因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部， 所以，当点在长轴的端点时取等号， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：考查数形结合思想的应用，重点在于构知椭圆与原椭圆分别共长轴与短轴，并以为焦点，利用椭圆的定义可求解. 四.解答题：本题共5小题，共7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的长轴端点是和，离心率是. （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件可求得，进而可求得椭圆方程； （2）设是椭圆上的任意一点，利用两点间的距离公可得，可求得点到点的距离的取值范围. 【小问1详解】 由题意得：，解得：. 故椭圆的方程为： 【小问2详解】 设是椭圆上的任意一点，所以， 所以，其中. 所以. 故点到点的距离的取值范围是. 16. 如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成角为. （1）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由. 【答案】（1） （2）在线段上存在点，点满足，使得. 【解析】 【分析】（1）设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．设，利用侧棱与底面所成的角为，结合线面角的向量求法，求出参数，再利用面面角的向量求法即可求解. （2）设，验证是否存在使得. 【小问1详解】 设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意知，. 设，其中，则，向量是平面的法向量. 由题意得，，解得. 设平面的法向量为. 因为，， 所以，即，令，则， 则. 则， 故侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）知， ， 设，则. 因为， 若，则. 即，解得， 故在线段上存在点，点满足，使得 17. 如图，在三棱柱中，点是棱AC的中点.侧面底面ABC，底面ABC是等边三角形，. （1）求证：平面ABC； （2）求平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由侧面底面ABC结合面面垂直性质可证结论； （2）.以点为原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面与平面法向量，后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 连结OB. 在中，，所以，且. 又因为，所以平面. 从而． 又因为平面平面ABC，AC是平面与平面ABC的交线， 所以平面ABC 【小问2详解】 在中，，所以. 设.以点为原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示． 有，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为. 由题意得：. 则取平面的法向量为，平面的法向量为. 则. 故平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值是 18. 已知点与点关于直线对称. （1）求点的坐标m，n（用表示）； （2）若点在曲线上，求点所在曲线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对称特性列出方程组求解即得. （2）由（1）的结论，与联立消去即可得解. 【小问1详解】 依题意，，解得. 【小问2详解】 依题意，，所以. 整理得：（其中）， 所以点所在曲线的方程为. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足.记的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，设点M，N在上，点M，N与点不重合，且直线MN不与轴垂直，记分别为直线AM，AN的斜率. （ⅰ）对于给定的数值入（且，若，证明：直线MN经过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）点的轨迹方程为直线（除去点） 【解析】 【分析】（1）根据，代入两点间距离公式即可求解； （2）（ⅰ）联立直线与的方程，结合，可求出即可证明直线恒过定点；（ⅱ）消去，即可求出点的轨迹方程. 【小问1详解】 设，由得， 整理得，所以的方程为. 【小问2详解】 设直线MN的方程为：，其中. 点M，N满足： 所以满足：，即. 从而. （ⅰ）证明：因为， 所以，整理得，其中（即直线MN不经过点）. 所以直线MN的方程为：，且直线MN不经过点. 所以直线MN过定点 . （ⅱ）解：由得（其中）, 所以点的轨迹方程为直线（除去点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $