内蒙古赤峰市2024-2025学年高三11月模拟考试数学试卷

第1页 / 共6页 赤峰市 2024 年高三 11  20 模拟测试 参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A C A B C 题号 9 10 11 答案 ABD AD ACD 12. 1 [ ,1] 3 13. 2025 14. 3 6 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13 分） 已知 , ,a b c 分别为 ABC△ 三个内角 , ,A B C 的对边，且 cos 3 sin 0a C a C b c+ − − = . （1）求 A； （2）若 2 3a = ， ABC△ 的面积为 2 3 ，求 ,b c . 【详解答案】 （1）由正弦定理可将 cos 3 sin 0a C a C b c+ − − = 化为 sin cos 3 sin sin sin sin 0A C A C B C+ − − = ， ………………（2 分） 其中 sin sin( ) sin cos cos sinB A C A C A C= + = + ， 可得 3 sin sin cos sin sin 0A C A C C− − = ， ………………（4 分） 在 ABC△ 中， sin 0C  ，可得 3 sin cos 1 0A A− − = ，由辅助角公式可得 1 sin( ) 6 2 A  − = ， （6 分） 可得 3 A  = . ………………（7 分） （2） ABC△ 的面积为 1 1 3 sin 2 3 2 2 2 S bc A bc= =  = ，可得 8bc = ， ………………（9 分） 由余弦定理 2 2 2 cos 2 b c a A bc + − = ，可得 2 2 20b c+ = ， ………………（11 分） 综上 2, 4b c= = 或 4, 2b c= = . ………………（13 分） 第2页 / 共6页 16.（本小题满分 15 分） 已知幂函数 ( )f x 的图象过点 (3,9)， 1 ( ) ( ) 2 xg x k= − . （1）求 ( )f x 的解析式； （2）记 ( ), ( )f x g x 在区间[1,2)上的值域分别为 ,A B，若 x A 是 x B 的必要条件，求实数 k 的取 值范围； （3）设 ( )+2 ( )= f x kx k h x x + ，对 1 [0,1]x  ， 2 ( 0)x  −， 使得 1 2( ) ( )g x h x≤ 成立，求正实数 k 的 最小值. 【详解答案】 （1）设幂函数 ( ) mf x x= ，由题意3 9m = ，即 2m = ， 即函数 ( )f x 的解析式为 2( )f x x= . ………………（2 分） （2）由题意 2( )f x x= 在区间[1,2)上的值域为[1,4)， ………………（3 分） 而函数 1 ( ) ( ) 2 xg x k= − 区间[1,2)上的值域为 1 1 ( , ] 4 2 k k− − ， ………………（4 分） 由 x A 是 x B 的必要条件可知 1 1 ( , ] [1,4) 4 2 k k− −  ， ………………（6 分） 即 1 1 4 k− ≥ 且 1 4 2 k−  ，解得 7 3 2 4 k−  −≤ . ………………（8 分） （3）由题意 2( )+2 +2 ( )= 2 f x kx k x kx k k h x x k x x x + + = = + + （ 0k  ）， ………………（9 分） 对 1 [0,1]x  ， 2 ( 0)x  −， 使得 1 2( ) ( )g x h x≤ 成立，可得 max max( ) ( )g x h x≤ ， ………………（11 分） 在区间 [0,1]上， 1 ( ) ( ) 2 xg x k= − 的最大值为1 k− ， ………………（12 分） 在区间 ( ,0)− 上， ( ) 2 k h x x k x = + + 的最大值为 2 2k k− ， ………………（13 分） 令1 2 2k k k− −≤ ，可得3 2 1 0k k− − ≥ ，解得 1 3 k −≤ （舍）或 1k ≥ ， 即 1k ≥ ，即正实数 k 的最小值为 1. ………………（15 分） 第3页 / 共6页 17.（本小题满分 15 分） 已知函数 2 1 3 ( ) 3 cos sin 2 2 2 x f x a a x a  = + − （ 0  ， 0a  ）在一个周期内的图象如图所示， 其中点 A 为图象上的最高点，点 B，C 为图象与 x 轴的两个相邻交点，且△ABC 是边长为 4 的正三角形. （1）求 ω与 a 的值； （2）将函数 ( )f x 的图象向右平移 4 3 个单位长度，再把横坐标变为原来的 1 2 （纵坐标不变），得到函数 ( )y g x= 的图象；若 (2 3 3 )g  = ， 1 (0, ) 2   ，求 π cos( ) 3  − 的值. 【详解答案】 （1）由已知可得 ( ) sin( ) 3 f x a x  = + 48 2 84 2   ===== T T BC ， …………（3 分） 由题图可知，正三角形 ABC 的高即为函数 )(xf 的最大值 a ，则 3 2 3 2 a BC= = . …………（6 分） （2）由（1）可知 ( ) 2 3(sin ) 4 3 f x x   = + ，由函数 ( )f x 的图象向右平移 3 4 个单位长度， 再把横坐标变为原来的 2 1 ，得 ( )y g x= 图象可知： ( ) 2 3 sin 2 g x x  = ， ………………（10 分） 由 3 g(2 ) 3  = 得， 6 1 sin = ， ………………（11 分） 由 ），（ 2 1 0 得， ），（ 2 0    ， 从而 6 35 sin1cos 2 =−=  ， ………………（13 分） 故 35 1 1 3 35 3 cos( ) cos cos sin sin 3 3 3 6 2 6 2 12       + − = + =  +  = . ………………（15 分） 第4页 / 共6页 18.（本小题满分 17 分） 某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图 1所示的方式折叠后拼接而成. 已 知矩形 ABCD的周长为8cm，设其中较长边 AD为 x ，将 BCD△ 沿BD向 ABD△ 折叠，BC 折过后交 AD于 点 E. （1）用 x 表示图 1 中 BAE△ 的面积； （2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图 2 阴影部分）双面镀金（厚度忽 略不计）. 已知镀金的价格是 2 元/ 2cm ，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用. 【详解答案】 （1）因为 AD x= ，所以 4AB x= − ， 又因为 AD为较长边，所以 44 − xx ，即 42  x . ………………（3 分） 设 ED a= ，则 AE x a= − 因为 AEBEDC = ， EABECD = ， CDAB = 所以 tR BAE△  tR DC E△ ,所以 BE ED a= = ， ………………（5 分） 在 tR BAE△ 中，由勾股定理得 222 BEAEBA =+ ， 即 2 2 2(4 ) ( )x x a a− + − = ，解得 x xx a 842 +− = ， ………………（7 分） 所以 xx x axAE 8 4 84 −= − =−= ， ………………（8 分） 所以 BAE△ 的面积 1 1 8 8 (4 ) (4 ) 12 2( ) 2 2 S AB AE x x x x =  = −  − = − + （2 4x  ）（单位：cm2） ………………（10 分） （2）设一枚徽章的镀金费用为 y 元，则 8 6 2 2 24 [12 2( )]BAEy S x x =    =  − +△ ………………（13 分） 由基本不等式可知： 8 4 2x x + ≥ ，当且仅当 x x 8 = ，即 22=x 时等号成立， …………（15 分） 8 24 [12 2( )] 24 (12 8 2) 96(3 2 2)y x x =  − +  − = −≤ 所以当 2 2AD = 时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为 ）（ 22396 − 元. …………（17 分） 第5页 / 共6页 19.（本小题满分 17 分） 2024 年 9 月 25 日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞 行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标. 为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度. 如图所示的光滑曲线 C： ( )y f x= 上的曲线段 AB ，其弧长为 s ，当动点从 A 沿曲线段 AB 运动到 B 点时，A 点的切线 Al 也随着转动到 B 点的切线 Bl ，记这两条切线之间的夹角为  （它等于 Bl 的倾斜角与 Al 的倾斜角之差）. 显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则 弯曲程度越大，因此可以定义 Δ Δ K s  = 为曲线段 AB 的平均曲率；显然当 B 越接近 A，即 s 越小，K 就越 能精确刻画曲线 C 在点 A 处的弯曲程度，因此定义 3Δ 0 2 2 Δ lim Δ (1 ) s y K s y  → = = +  （若极限存在）为曲线 C 在点 A 处的曲率. （其中 y， y分别表示 ( )y f x= 在点 A 处的一阶、二阶导数） （1）求函数 2( ) 3 4f x x x= − − 在点 ( 1,0)− 处的曲率； （2）已知函数 ( ) sin cosg x x x= + ，求函数 ( )g x 的曲率 K 的最大值； （3）设函数 2 3 23( ) ln 3 2 a h x x x x x= − − ， 1 (0, ) e a ，若存在 1 2,x x 使得 ( )h x 的曲率为 0，求证： 1 2 8 2ln ln 3 x x+  . 【详解答案】 （1） ( ) 432 −−= xxxf ， ( ) 32 −= xxf ， ( ) 2= xf ， ( ) 51 −=− f ， ( ) 21 =−f ，…（2 分） 所以函数 ( ) 432 −−= xxxf 在点 ( )0,1− 处的曲率为 2 3 26 2 =K . ………………（3 分） （2） ( ) xxxg cossin += ， ( ) xxxg sincos −= ， ( ) xxxg cossin −−= ， 由 K 定义知 K 为非负数，由题意得， ( ) xxxxxxg 2sin1cossin2sincos 22 2 −=−+= ， ( ) xxxxxxg 2sin1cossin2cossin 22 2 +=++= ， ∴ ( ) ( ) ( ) ( )332 2 2 2sin2 2sin1 1 x x xg xg K − + = +  = ， ………………（5 分） 令  1,12sin −= xu ，∴ ( )3 2 2 1 u u K − + = ，令 ( ) ( )32 1 u u uF − + = ， ………………（6 分） 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 25 2 1232 46 23  − + = − +−−−− = u u u uuu uF 在  1,1− 上恒成立， ………………（8 分） ( ) ( )32 1 u u uF − + = 在  1,1− 上单调递增，即 ( ) ( ) ( ) 21maxmax2 === FuFK ， 2max =K ，当且仅当 12sin == xu 时取到，所以曲率 K 的最大值为 2 . ………………（9 分） （3）证明：由题意可得 ( ) xaxxxxh 2ln2 2 −−= ， ( ) axxxh 2ln2 −= ， 若 ( )xh 曲率为 0，则 ( ) 0= xh ，即 0ln =− axx ，即 x x a ln = ， ………………（10 分） 第6页 / 共6页 令 ( ) x x x ln = ，则 ( ) 0 ln1 2 = − = x x x ，得 ex = ， ………………（11 分） 所以在 ( )e,0 上， ( ) 0 x ， ( )x 单调递增，且 ( ) ( ) e ex 1 = ； 在 ( )+,e 上， ( ) 0 x ， ( )x 单调递减，且 ( ) e x 1 0  . 又        e a 1 ,0 ，所以 ( )xa = 有两个解. 设为 1x ， 2x ， 210 xex  ， ………………（13 分） 又 2 2 1 1 lnln x x x x a == ，所以    =− =− 0ln 0ln 22 11 axx axx ，可设 t x x x x == 2 1 2 1 ln ln ， ( )1,0t ， 所以 t x tx x x == 2 2 2 1 ln ln ln ln ， ( )1,0t ， 22 lnlnln xtxt =+ ， 化简可得 1 ln ln 2 − = t t x ，则 1 ln ln 1 − = t tt x . ………………（15 分） 要证 3 8 lnln2 21 + xx ，即证 ( ) 3 8 1 ln12  − + t tt ， 需要证 ( ) ( )123 18 ln + −  t t t ，即证 ( ) ( ) 0 123 18 ln  + − − t t t ， ………………（16 分） 令 ( ) ( ) ( )123 18 ln + − −= t t ttH ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 12 12 12 812 12 81 2 2 2 2 2  + − = + −+ = + −= tt t tt tt tt tH 所以 ( )tH 在 ( )1,0 上单调递增， 所以 ( ) ( ) 01 = HtH ，得证. ………………（17 分） 保密★启用菲 6.已知a=sin1.0l,b= 赤峰市高三年级11·20模拟考试试题 2,c=nl.04,则a,6c的大小关系是 A.b>aze B.a>b>e C a>c>b D.b>e>a 数学 202411 7,已知话数f()=山x-ac在区（气，）上存在极值点，则a的夜值范惯是 本试程共6残。考试结束后，格本试拳和管题卡一并交闲， 注章事项：1.答题前，考生先将白己的性名和准考证号填写清楚，将条形码滩确粘数在考生值息条形两 船贴区， 2感师恩必澳使用沿印笔填锋：非选释醒必须使同5路米氟色字迹的竖辛笔书写，字体 &在锐角三角形4BC中.角么B,C所对的边分别为a,6c.已知C=于e-4,点D 工整，笔边清楚， 为AB的中点，则中就CD的取值范围是 飞，请铁是号限序在答是卡各题日的容题区雄内作答，翅出答塑区线书据的答案无数：在草 稿低、试卷上答君无效。 A(2,25 a2e22n52 《作居可先提用船笔题出，确定后深用国色字透的鉴字笔推凰。 三保情中面清清，不新叠，不要弄装、弄值，不生使用途改液、雅正智、酬纸刀 二、多项选泽显：木题共3小露。每小题满分6分，共18分，在每小题给出的选项中，有 一、单项选择题：本通共8小题，每小题谓分5分，共40分.在每小题给出的国个选项中， 多项符合题目要求.全都选对的得6分，部分选对的得部分分。有选错的得0分。 只有一项符合题目要求，迹对得5分，选惜得0分. 9.在具一直角坐标系中，函数(x)=03.(红+0。g()=(a-1)可能的图象是 L己知石y是两个实数，P:x2-2x-3≤0·9：06x亏2，则P是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分池不必要条件 2蜡合不等式的性质，下列说法中正明的是 A.若4>b>0,周aC>e B若a>b,则|a以b C若a<bc0,则a3>ab 者a>6>c,测号号 3.已知a,beR,ga+g(2b=1,则4a+b的最小值为 A22 10高斯是德国著名的数学家，近代载学莫基者之一，享有数学王子“的称号，他和网基 B.4N5 c,25 D.45 米德、牛模并列为世界三大数学家，用其名字鱼名的高期面数“为：设x∈R,用[ 4已知ma+角-子a-)=子留的值为 表示不超过x的量大整数。则y=称为高斯函数，如324)=3，【-1.5习=-2.若 tan B fx)=x-[x划，则 A-2 B.2 C.-3 D.3 A当2024xc2025时，f(x)=x-2024 5.已知集合U=红，y川需ye影·集合A={川0<x<2,0<y<,集合 B.fx+)-f(x)=1 B={x川y后利，则以下元素属于集合A几C的的是 C函数x)是增函数 A 且 c D. D.函数f(x)的值规为[0，) 高三数学第夏1共虹 商三数学第2页1共6到 北已知通数因=血ar+p)《0<<)的周期为，且满足/八功-停+动 16.(本小题澜分15分) 则下列说法正确的是 已知幕函数x)的图象过点，，)=（宁-k. A了)在区间(0，语上单调递减 12 (1)求(x)的解析式 R.直线x=?是函最)一心)图架的对称轴 (2)记f(xg()在区间[1,2)上的值域分别为A,B,若xA是x∈B的您要条件， c)在这得（告治上有两个对格中心 来实数女的取值范围 D>若/心)-之在区何a小上有224个根，则1b-a的最小值为304红 （3)设M小+达+止，对5e0,),3瑞∈(o,0使得g)≤(3)成文。 3 求正实数★的最小值， 三、填空盛本驱共3小厦。每小题5分，共15分.把苦案填在若题卡中的情战上 12已知函数fx)= e-0则不等式/0)≥f2r-》的解第是」 xx+40.x>0 13.函数f)在R上的导数为f(x),若fx)-fx)<0,且fm-0=ef(2024), 17,(本小题澳分15分) 则m= 已起函数f纠-5 as+'a8 +。asn年一 22 2。《@>0,4>0)在一个周期内 认在半经为1。国心角为的扇那中。C是上的动点。MCD是角形输内接矩形。 的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B,C为图象与x轴的两个相邻交点。 侧矩形NCD面积的最大值为 且△A5C是边长为4的正三角形 国、解著理：本现共5小题。共7门分.解答应写出文学说明、证明过程或演算步覆. 15.(本小题满分13分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+√5 asin C-b-c=0 (1)求A: (2)着a=25,△ABC的面积为25，求6，c. (1)求a与a的值： (2)将函数代)的图象向右平移个单位长度。再把横坐标变为原来的号（级坐标 不夜。得到菌数y-g国的图象，著ga)-马。ae@求o0a-宁的值 更章学第3页/共6页 真三数学第4顶/共6有 18.(本小题清满分17分) 19.(本小照满分17分) 某网学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形是过如图1质承的方式折 2024年9月25日，我国向太平禅发射了一发州际号弹，我国洲际导弹技术先进，飞 叠后拼接而成.已知矩形ACD的周长为8cm,设其中较长边D为x,锋△BCD沿BD向 行轨避复杂，飞行封蛋夏导弹上的计算机不斯计辉导岸飞行轨迹的弯由程度，导弹的陀螺 △ABD折叠，BC折过后交AD于点E 仪才能引导导弹精准命中日标，为此我们需要刻燕导弹飞行轨迹的弯曲程度， 图1 图2 (1)用x表示图1中△BB的面积： (2)理决定拔此方案制作一枚数章。要求将徽章的大个直角（如图2阴影部分）双 面储金（厚度容略不计），已知值金的价格是2元/m,试求将这枚徽章镜金所需的最大 如图所示的光滑由线Cy=f(x)上的曲线段石，其长为好，当动点从A沿自线 货用. 段店滋动到B点时，A点的切舰也随看转动到B点的切额，记这两条切线之间的夹 角为△0〔它尊于的顿斜角与，的领斜角之差)。显然，当到长固定时，夹角越大，曲线 的弯角程度就越大，当类角而定时，敦长魅小则弯曲程度临大，因此可以定文R一A为 由战段后的平均由率：显然当B越接近A,即△如越小，K就越能精确就拉曲线C在点A 处的窖曲程度，因武定义K一四 ael by1 (若授履存在)为由线C在点A处的曲 0+y月 率.（其中y,y分别表示y=(x)在点A处的一阶、二阶导数） (1》求函数f(x)=x2-3x-4在点(-40处的曲率： (2)己知函数g(x)=ix+ox,求话数g()的自率K的最大值 9)慢福数因-h号-式，4e0时若存在使得的曲率为0， 求证：2h.+血五2 8 高三数学第5页/共6项 商三数学第6页/共6项