精品解析：湖南省常德市第四中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024年下期中考试试卷 八年级 数学 时量：120分钟 总分：120 分 一、选择题（每小题3分，共30分）： 1. 下列代数式中是分式的为（ ） A B. C. D. 2. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是假命题的是( ) A. 对顶角相等 B. 三角形内角和为 C. 有一个角是的三角形是等边三角形 D. 等腰三角形的两个底角相等． 4. 若三角形的两边长分别为2与3，则不能作为第三边的线段长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 科学家在实验中检测出新型冠状病毒直径约为米．将数用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 6. 为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（ ） A. 0根 B. 1根 C. 2根 D. 5根 7. 下列式子运算结果为的是（　　） A. B. C. D. 8. 若关于x的分式方程有增根，则a的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 根据下列条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C ，， D. ， 10. 如图，点C在线段上，于B，于D．且，，点P以的速度沿A向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿EC运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M、N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ） A. 1或3 B. 1或 C. 1或或 D. 1或或 二、填空题（每小题3分，共24分）： 11. 当__________时，分式的值为零． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 13. 计算：___________． 14. 如图，在中，，垂直平分，的周长为20，，则的周长为_________． 15. 等腰三角形的一个外角是，则其底角是_____． 16. 某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的倍，用这台机器生产个零件比个工人生产这些零件少用小时，则这台机器每小时生产____个零件． 17. ，________． 18. 如图，已知，，作第一个等边三角形，使点在射线上，使，在射线上，顺次作第二个等边三角形……，则第个等边三角形的周长是______． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，村庄A，B分别在笔直公路的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A，B两村庄的距离相等？请指出该位置． 22. 先化简，再求值：，并从0，1，2，3四个数中选一个合适的数作为的值代入求值． 23. 如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD=BD，∠ADC=80°． （1）求∠B的度数； （2）若∠BAC=70°，判断△ABC的形状，并说明理由． 24 已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 25. 李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 26. 如图①，，以的顶点A为顶点作正，延长边与的边交于E点，在边上截取一点D，使得，并连结． （1）求证：； （2）①将正绕顶点A按顺时针旋转，使顶点B落在内部，如图②，请确定，，之间数量关系，并说明理由； ②将图②中的正绕顶点A继续按顺时针旋转，使顶点B落在射线下方，如图③，请确定，，之间的数量关系，不必说明理由； （3）在（1）和（2）的条件下，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下期中考试试卷 八年级 数学 时量：120分钟 总分：120 分 一、选择题（每小题3分，共30分）： 1. 下列代数式中是分式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的概念：如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫做分子，叫做分母，据此进行分析判断即可． 【详解】解：选项中只有分母中有字母，是分式，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的概念，牢固掌握其概念是解题的关键． 2. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用分式的有意义则分母不为零进而得出答案； 【详解】要使分式 有意义，则 ， 解得： 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关性质是解题关键 3. 下列命题是假命题的是( ) A 对顶角相等 B. 三角形内角和为 C. 有一个角是的三角形是等边三角形 D. 等腰三角形的两个底角相等． 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 对顶角相等，原命题是真命题，故不符合题意； B. 三角形内角和为，原命题是真命题，故不符合题意； C. 有一个角是的三角形是等边三角形，原命题是假命题，故符合题意； D. 等腰三角形的两个底角相等，原命题是真命题，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查对顶角，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题的关键． 4. 若三角形的两边长分别为2与3，则不能作为第三边的线段长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为2与3， ∴第三边，即第三边， ∴不能作为第三边的线段长是1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边是解题的关键． 5. 科学家在实验中检测出新型冠状病毒直径约为米．将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6. 为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（ ） A. 0根 B. 1根 C. 2根 D. 5根 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线连接后将多边形分成三角形的个数问题求解． 【详解】从五边形的一个顶点出发，可作2条对角线，且将五边形分成3个三角形， ∴此时是最稳定的情况，即：至少需要木根的数量为2， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的稳定形，及多边形对角线分多边形的三角形个数问题，熟记基本的结论和性质是解题关键． 7. 下列式子运算结果为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的加减乘除运算逐项判断即可． 【详解】A、，此项不符题意； B、，此项不符题意； C、，此项符合题意； D、，此项不符题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算，熟记分式的运算法则是解题关键． 8. 若关于x的分式方程有增根，则a的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤解得，由于原分式方程有增根得，进而可求解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及分式方程的增根的含义是解题的关键． 【详解】解：两边同时乘以得： ， 解得：， 原分式方程有增根， ， 解得：， 故选B． 9. 根据下列条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定方法逐项判断即得答案. 【详解】解：A、∵，，，而，∴不能画出三角形； B、∵，，，而不是的夹角，∴不能画出唯一的三角形； C、∵，，，且是的夹边，∴根据角边角可判断能画出唯一的三角形； D、∵，，只有一个角和一条边，∴不能画出唯一的三角形； 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的判定，正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键，常见的一般三角形的判定方法有：，如果是直角三角形，还有. 10. 如图，点C在线段上，于B，于D．且，，点P以的速度沿A向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿EC运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M、N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ） A. 1或3 B. 1或 C. 1或或 D. 1或或 【答案】C 【解析】 【分析】需要分两类三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解． 【详解】第一类：当点在上，点在上时，如图， 根据题意有：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴； 当点在上，点在上时， 以，，为顶点的三角形与全等， ， ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， 以，，为顶点的三角形与全等， ， ， ； 第二类：当点P在上时，如图， 以，，为顶点的三角形与全等， ∴结合图形有：， ∴， 当点P在上，点Q第一次从E点返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 二、填空题（每小题3分，共24分）： 11. 当__________时，分式的值为零． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查分式为0的情况，关键在于分式的分母不能为0． 要使分式的值为0，则必须分式的分子为0，分母不能为0，进而计算的值． 【详解】解：由题意得，且， 解得：． 故答案为：0． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 【答案】若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【解析】 【分析】根据逆命题的定义，若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等即可． 【详解】解：命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等， 故答案为：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 【点睛】本题考查命题概念，弄清楚命题的条件和结论是写出逆命题的关键． 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式乘法和除法法则变形约会即可得到结果． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的计算，熟练掌握分式的乘除法的运算法则是解题的关键． 14. 如图，在中，，垂直平分，的周长为20，，则的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质； 根据线段垂直平分线的性质可得，由的周长为20等量代换可求得，进而可计算的周长． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为20， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为： 15. 等腰三角形的一个外角是，则其底角是_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的一个外角等于，可得等腰三角形的顶角为，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴等腰三角形的一个内角为， ∵三角形的内角和等于， ∴等腰三角形的顶角为， ∴两个底角都为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 16. 某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的倍，用这台机器生产个零件比个工人生产这些零件少用小时，则这台机器每小时生产____个零件． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．设一个工人每小时生产零件个，则机器一个小时生产零件个，根据这台机器生产个零件比个工人生产这些零件少用小时，列方程求解即可． 【详解】解：设一个工人每小时生产零件个，则机器一个小时生产零件个， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则． 即这台机器每小时生产个零件． 故答案为：． 17. ，________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”；幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”；灵活运用整数指数幂的运算法则是解题关键． 根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则解答即可； 【详解】 ， 故答案为：． 18. 如图，已知，，作第一个等边三角形，使点在射线上，使，在射线上，顺次作第二个等边三角形……，则第个等边三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和三角形的外角性质可得出，得到，进而可得的周长，，同理得到的周长，的周长，进而求解． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长，， 同理可得：，， ∴的周长， 的周长， 依次类推……， 第个三角形的周长是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质和等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、得出规律是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查负指数幂的运算，零指数幂，以及幂的运算，熟练掌握含负指数幂和零指数幂的幂的运算是解题的关键． （1）利用负指数幂和零指数幂分别计算和，再计算即可； （2）利用幂的运算和负指数幂的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，平方差公式分解因式等知识点，熟练掌握分式方程解法并牢记最终检验是解题的关键． （1）首先去分母，方程两边同乘，可得，然后解方程即可，最后一定要检验； （2）首先去分母，方程两边同乘，可得，然后解得，经检验不是原分式方程的解，因而原方程无解． 【小问1详解】 解：， 去分母，两边同乘，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ； 【小问2详解】 解：， 即：， 去分母，两边同乘，得：， 解得：， 检验：把代入，得：， 不是原分式方程的解， 原方程无解． 21. 如图，村庄A，B分别在笔直公路的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A，B两村庄的距离相等？请指出该位置． 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质等知识点，牢记线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 连接，作的垂直平分线，直线与相交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，直线与相交于点，则点即为所求： 汽车在公路上行驶到点时，它到A，B两村庄的距离相等， 理由：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 答：汽车在公路上行驶到点时，它到A，B两村庄的距离相等． 22. 先化简，再求值：，并从0，1，2，3四个数中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，为，当时， ． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件得出符合分式的x的值，代入计算可得． 【详解】解：原式 为使分式有意义，则有，，， ，，， 此时，取或 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解的应用，注意取合适的值时，要使分式有意义． 23. 如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD=BD，∠ADC=80°． （1）求∠B的度数； （2）若∠BAC=70°，判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）40°；（2）△ABC是等腰三角形．证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由AD=BD，根据等边对等角的性质，可得∠B=∠BAD，又由三角形外角的性质，即可求得∠B的度数； （2）由∠BAC=70°，易求得∠C=∠BAC=70°，根据等角对等边的性质，可证得△ABC是等腰三角形． 【详解】(1)∵在△ABD中，AD=BD， ∴∠B=∠BAD， ∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=80°， ∴∠B=∠ADC=40°； (2)△ABC是等腰三角形. 理由：∵∠B=40°,∠BAC=70°， ∴∠C=180°−∠B−∠BAC=70°， ∴∠C=∠BAC， ∴BA=BC， ∴△ABC是等腰三角形. 24. 已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形判定证明△ABD≌△ACE（SAS）即可； （2）由△ABD≌△ACE证得∠B=∠C，进而证得△ACM≌△ABN（ASA），再根据全等三角形的性质可证得结论． 【详解】（1）证明：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； （2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， 即∠BAN=∠CAM， 由（1）知：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C， 在△ACM和△ABN中， ， ∴△ACM≌△ABN（ASA）， ∴∠M=∠N． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 25. 李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 【答案】（1）70米/分（2）能 【解析】 【分析】（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，根据等量关系：骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程，解出即可； （2）计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与42比较即可作出判断． 【详解】（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分， 根据题意得：， 解得：x=70， 经检验x=70是原方程的解， 即李明步行的速度是70米/分． （2）根据题意得，李明总共需要：+1=41＜42． 即李明能在联欢会开始前赶到． 答：李明步行的速度为70米/分，能在联欢会开始前赶到学校． 考点：分式方程的应用． 26. 如图①，，以的顶点A为顶点作正，延长边与的边交于E点，在边上截取一点D，使得，并连结． （1）求证：； （2）①将正绕顶点A按顺时针旋转，使顶点B落在内部，如图②，请确定，，之间的数量关系，并说明理由； ②将图②中的正绕顶点A继续按顺时针旋转，使顶点B落在射线下方，如图③，请确定，，之间的数量关系，不必说明理由； （3）在（1）和（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①，理由见解析，② （3）3或5 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，根据，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可根据证明； （2）①根据等边三角形的性质可得，，根据，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可根据证明； ②根据等边三角形的性质可得，，根据，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可根据证明； （3）分别根据（1）和（2）结论进行求解即可． 【小问1详解】 ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故， 即． 【小问2详解】 ① 理由：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故， 即． ② 理由：∵等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故， 即． 小问3详解】 在（1）的条件下，， 当，， 则， 在（2）的条件下，， 当，， 则， 故的长为3或5． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$