精品解析：江西省南昌市外国语学校教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年江西省南昌外国语学校教育集团九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知m是关于x的方程的一个根，则（ ） A. 5 B. 10 C. D. 6 3. 将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，如果抛物线经过平移可以与抛物线互相重合，那么这个平移是（ ） A. 向上平移1个单位 B. 向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位 6. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是______． 8. 如图，与成中心对称，是的中位线，是的中位线，已知，则_______． 9. 如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，．若大圆的半径，小圆的半径，且圆心到直线的距离为，则______． 10. 定义运算：．例如，则方程的解为______________． 11. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，的取值范围是______． 12. 如图，O是等边三角形内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，当α为__________________度时，是等腰三角形． 三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） ； （2）． 14. 已知抛物线． （1）将 化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 15. 如图，已知点均在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不需写出画法）． （1）如图1，若点D是的中点，作出的平分线； （2）如图2，若，作出的平分线． 16. 如图，三角形经过某种变换后得到三角形，点、、的对应点分别是点、、，请观察它们之间的关系，完成以下问题： （1）请分别写出点A，D的坐标：A______，D______； （2）若三角形内任意一点M的坐标是，点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是______； （3）在上述变换情况下，点与点为对应点，求的值． 17. 关于的一元二次方程． （1）试判断该方程根的情况； （2）若，是该方程的两个实数根，且，求的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 19. 如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． （1）连接，证明为等腰直角三角形； （2）连接，若点，在上，且，求证：． 20. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）， （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，弦，延长到，使，连接交于点，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 六、解答题（本大题12分） 23. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上． （1）【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江西省南昌外国语学校教育集团九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 已知m是关于x的方程的一个根，则（ ） A. 5 B. 10 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 根据方程根的定义，利用整体代入的思想求解即可． 【详解】解：∵m是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3. 将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式即可得到答案． 【详解】解： ， ∴将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为， 故选B． 4. 如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及平角定义，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据平角等定义求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，如果抛物线经过平移可以与抛物线互相重合，那么这个平移是（ ） A. 向上平移1个单位 B. 向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位 【答案】C 【解析】 【分析】将改为顶点式，从而可利用“上加下减，左加右减”确定平移方式． 【详解】解：∵， 又∵该抛物线经过平移可以与抛物线互相重合， ∴这个平移是向左平移1个单位． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移．掌握其平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键． 6. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵时，， ∴， ∴，即，故③正确； 由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根． 根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 8. 如图，与成中心对称，是的中位线，是的中位线，已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，还考查了三角形的中位线定理．根据成中心对称的两个图形全等可得，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：与成中心对称， ， ， 是的中位线， ． 故答案为：． 9. 如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，．若大圆的半径，小圆的半径，且圆心到直线的距离为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过作于，连接，，由勾股定理求出，的长，即可求出的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接，， ∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10. 定义运算：．例如，则方程的解为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；根据题意把相应的值代入新定义的运算中，结合解一元二次方程的方法进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ， 或， 解得：或． 故答案为：或． 11. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质可列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握其图象及性质是解题的关键． 12. 如图，O是等边三角形内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，当α为__________________度时，是等腰三角形． 【答案】110或140或125 【解析】 【分析】由旋转知是等边三角形，故可表示出，，然后分三类分别解方程即可． 【详解】解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上：或或． 故答案为：110、140或125． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质和三角形内角和定理等知识，表示出，，运用分类思想是解题的关键． 三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） ； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了公式法、因式分解法解一元二次方程．熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）移项后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 解得，，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， 解得，． 14. 已知抛物线． （1）将 化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）； （2）抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数．解决本题的关键是利用配方法把二次函数的一般形式转化成顶点式，根据二次函数的顶点式解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． （1）利用配方法将抛物线解析式化成； （2）根据二次函数顶点式解析式可求抛物线的开口方向、对称轴、抛物线顶点坐标． 【小问1详解】 解：， 整理得：, ； 【小问2详解】 解：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 15. 如图，已知点均在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不需写出画法）． （1）如图1，若点D是的中点，作出的平分线； （2）如图2，若，作出的平分线． 【答案】（1） 如图1，连接并延长，交于点E，作射线， 则射线即为所求； （2） 如图2，连接交于点M，连接并延长，交于点N，作射线， 则射线即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查用直尺作图，三角形的角平分线，中点的概念，掌握三角形的角平分线，中点的概念是解题的关键． （1）连接并延长，交于点E，作射线，则射线即为的平分线； （2）连接交于点M，连接并延长，交于点N，作射线，则射线即为的平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，三角形经过某种变换后得到三角形，点、、的对应点分别是点、、，请观察它们之间的关系，完成以下问题： （1）请分别写出点A，D的坐标：A______，D______； （2）若三角形内任意一点M的坐标是，点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是______； （3）在上述变换情况下，点与点为对应点，求的值． 【答案】（1）；； （2）； （3）2． 【解析】 【分析】（1）观察平面直角坐标系可得点，的坐标； （2）根据平面直角坐标系中点的坐标特征可知点、、和点、、关于原点对称，从而得出点的坐标； （3）根据（2）中的结论列出方程组，求解即可． 【小问1详解】 由平面直角坐标系得点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：；； 【小问2详解】 点与点，点与点，点与点，两点的横纵坐标互为相反数， 这三组对应点均关于原点对称， 若三角形内任意一点的坐标是，点经过这种变换后得到点，点的坐标是， 故答案为：； 【小问3详解】 根据题意得， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了几何变换，坐标与图形性质，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 17. 关于的一元二次方程． （1）试判断该方程根的情况； （2）若，是该方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1）当时，，方程有两个相等的实数根； 当时，，方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式： （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）根据求出即可． 【小问1详解】 解：， 当时，，方程有两个相等的实数根； 当时，，方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：由题意得， ， ， 解得：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵由旋转知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴F、C、M三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，，可得，再由，得出，得出； （2）设，由，正方形的边长为3，得，，得到，利用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， 即． 解得，， ∴． 19. 如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． （1）连接，证明为等腰直角三角形； （2）连接，若点，在上，且，求证：． 【答案】（1） 证明：∵为直径，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形； （2） 证明：连接，交于， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，得出，再根据，即可得出为等腰直角三角形； （）连接，根据，得出，再根据为等腰直角三角形得出，从而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了垂径定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 20. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）， （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）. 【解析】 【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案． 【详解】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3得：0=+3m+3， 解得：m=2， ∴y=+2x+3=， ∴顶点坐标为：（1，4）． （2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 当x=1时，y=﹣1+3=2， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）． 【点睛】 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，弦，延长到，使，连接交于点，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示，     ∵， ∴是的直径， ∴， 在中，， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，则是的直径，可得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （2）根据勾股定理求得的长，进而根据等面积法进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 22. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 【答案】（1）y关于x的关系式为 （2）动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米 （3）①运动员甲不能成功完成此动作；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质． （1）设二次函数的关系为，代入，，，算出、b、c的值，即可得到函数表达式； （2）把代入（1）中所得的二次函数解析式，即可求出结果； （3）①把二次函数解析式整理为顶点式，得到k与a的关系式，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果； ②求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围． 【小问1详解】 解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系， 设二次函数的关系为，代入，，， 得， 解得， y关于x的关系式为； 【小问2详解】 解：把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， 运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米； 【小问3详解】 解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下： 由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为， 整理得， 得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即， 把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 运动员甲不能成功完成此动作； ②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 得顶点为， 得， 得， 把代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得， 则，即， 解得． 故答案为：． 六、解答题（本大题12分） 23. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上． （1）【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析；135 （2）解：；理由如下： 连接，如图所示： 根据旋转可知，， ∵， ∴、P、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：或；理由如下： 当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示： 根据解析（2）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 即； 当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示： 根据旋转可知，， ∵， ∴、B、P、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即； 综上分析可知，或． 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可；先求出，根据，求出； （2）根据，，证明、P、B、E四点共圆，得出，求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （3）分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，求出之间的数量关系即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：135． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $