精品解析：辽宁省本溪市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度（上）九年级期中检测 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为米，这一直径用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 如图，工件的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（　　） ①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列各运算中，计算正确的是（　　） A a12÷a3=a4 B. （3a2）3=9a6 C. （a﹣b）2=a2﹣ab+b2 D. 2a•3a=6a2 5. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 角平分线上的点到角两边上的点的距离相等 D. 等角的余角相等 7. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交、于点D和点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，有两点、．以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段缩小后得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是8，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_______． 12. 周末，小菊与同学去爬山，如图，两人从山脚下处沿坡前行，到达处时，发现处标语牌上写着“恭喜你已上升”，若此山坡的坡度，则他们沿坡面至少走了______米． 13. 如图，已知、、都与垂直，垂足分别是B、D、F，且，，那么的长是________． 14. 如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是 ______ 15. 如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为54，则的面积为________． 三、解答题 16. （1）计算： （2）化简： 17. 我市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和3辆B型公交车需要45万元，2辆A型公交车和1辆B型公交车需要35万元． （1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？ （2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共120辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？ 18. 某校七、八年级各有350名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 优秀率 80％ 60％ （1）填空：________，________． （2）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数； （3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 19. 如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为． （1）求像的长； （2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）． 20. 如图，菱形的对角线和交于点，分别过点作，，和交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的值． 21. 某纪念品制造成本为每件元，试销过程中发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作如图所示的函数关系． （1）每月销量y（万件）与销售单价x（元）的关系式为________；公司每月的利润是________（万元）； （2）如果公司要获得每月万元的利润，那么制造这种纪念品每月的最低制造成本需要多少万元？ 22 ◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 23. ◆阅读理解◆ 定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到点关于点的“度比坐标”，把称为点到点关于点的“度比坐标”． ◆迁移运用◆ 如图，在轴的右侧，直角绕原点按顺时针方向旋转，的两边分别与函数，的图像交于，两点． （1）如图1，若点到点关于点“度比坐标”为，求双曲线的解析式； （2）如图2，若点到点关于点的“度比坐标”为，连接交轴于，点到点关于点的“度比坐标”为，． ①点在第一象限，点到点关于点的“度比坐标”为．连接，，求的值及四边形的面积； ②将直线向右平移，分别交于点，交于点．问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（上）九年级期中检测 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为米，这一直径用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：（米）， 故选：． 2. 如图，工件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，熟悉掌握三视图的观察方法是解题的关键． 根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线，观察即可． 【详解】解：根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线， ∴主视图为：， 故选：C． 3. 点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（　　） ①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得． 【详解】解：∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴AC=AB，故①正确； 由AC=AB，故②错误； BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确； AC≈0.618AB，故④正确， 故选C． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为是解题的关键． 4. 下列各运算中，计算正确的是（　　） A. a12÷a3=a4 B. （3a2）3=9a6 C. （a﹣b）2=a2﹣ab+b2 D. 2a•3a=6a2 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得． 【详解】A、原式=a9，故A选项错误，不符合题意； B、原式=27a6，故B选项错误，不符合题意； C、原式=a2﹣2ab+b2，故C选项错误，不符合题意； D、原式=6a2，故D选项正确，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键． 5. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意原意； D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意原意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 角平分线上的点到角两边上的点的距离相等 D. 等角的余角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题的判断，二次根式的化简，绝对值的化简，角平分线的性质，余角的定义等知识点，了解各知识点是解题的关键． 根据二次根式的化简，绝对值的化简，角平分线的性质，余角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．若，则，故A为假命题； B．假设，，成立，但不成立，故B为假命题； C．角平分线上的点到角两边上的距离相等，到角两边上的点的距离不一定相等，故C为假命题； D．等角的余角相等，故D为真命题； 故选：D． 7. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交、于点D和点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的两底角相等，线段垂直平分线的尺规作图等．由尺规作图痕迹可知，是线段的垂直平分线，进而得到，，再由得到，进而得到，据此计算即可求解． 【详解】解：由题意可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在直角坐标系中，有两点、．以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段缩小后得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似变换，根据位似变换的性质可知，相似比是，根据已知数据可以求出点的坐标．掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用． 【详解】解：由题意得：，相似比是， ∴， ∵、， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：A． 9. 如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是8，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的性质与判定，反比例函数与图形结合．解题的关键是将的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．设，则可表示；由矩形及点D在反比例函数图象上，；再由，可证明，由相似三角形的性质即可求得的值，从而求得k的值． 【详解】解：设，则； 在矩形中，，轴； ∵点D在反比例函数图象上， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； ∴； ∵的面积是8， ∴， 即， ∴， 即 ∴； 故选：C． 10. 如图1，在中，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】从图象可知，，点M运动到点 B位置时， 的面积达到最大值y=3，结合等腰三角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得 AC的长． 【详解】解：根据函数图象可知，点M的运动路程，点 M运动到点B的位置时，的面积y达到最大值3，即的面积为3． ∵ ∴ ∴． ∴，即： ， ，即： ． ∵， ∴． 两式相加，得，2AD=6． ∴AC=2AD=6． 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等式的性质与恒等变形、函数图象等知识点，从函数图象中获取相应的信息，利用勾股定理和三角形的面积公式，进行等式的恒等变形是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查分解因式，首先提取公因式m，然后利用平方差公式即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 周末，小菊与同学去爬山，如图，两人从山脚下处沿坡前行，到达处时，发现处标语牌上写着“恭喜你已上升”，若此山坡的坡度，则他们沿坡面至少走了______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，由题意可得，求出，进而利用勾股定理求出即可求解，掌握坡度的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴他们沿坡面至少走了米， 故答案为：． 13. 如图，已知、、都与垂直，垂足分别是B、D、F，且，，那么的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现是解决本题的关键．证明，根据相似三角形的性质可得，，从而可得=1．然后把，代入即可求出的值． 【详解】解：∵、、都与垂直， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是 ______ 【答案】-2＜x＜0或x＞2 【解析】 【详解】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为2， ∴点B的横坐标为-2， ∵由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在的上方， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是-2＜x＜0或x＞2． 故答案为：-2＜x＜0或x＞2． 【点睛】考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 15. 如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为54，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形和相似三角形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质、平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据平行四边形对角线平分面积可得，，再结合O为的中点可得，，并由和平行线分线段成比例的性质可得，，最后转化得到即可解答本题． 【详解】解：平行四边形， ， 点O为的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，实数的运算，分式的加减乘除混合运算． （1）根据实数的运算方法，特殊锐角三角函数值以及绝对值的定义进行计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 我市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和3辆B型公交车需要45万元，2辆A型公交车和1辆B型公交车需要35万元． （1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？ （2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共120辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？ 【答案】（1）A型公交车每辆12万元，B型公交车每辆11万元 （2）该公司最多购买57辆A型公交车 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用． （1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，购买1辆A型公交车和3辆B型公交车需要45万元，2辆A型公交车和1辆B型公交车需要35万元．据此列方程组，解方程组即可； （2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买辆B型公交车，购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，据此列出不等式并解不等式，根据m为正整数即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元， 由题意得： 解得： 答：A型公交车每辆12万元，B型公交车每辆11万元； 【小问2详解】 设该公司购买m辆A型公交车，则购买辆B型公交车， 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m最大值为． 答：该公司最多购买57辆A型公交车． 18. 某校七、八年级各有350名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 优秀率 80％ 60％ （1）填空：________，________． （2）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数； （3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 【答案】（1）； （2）估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数约为人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，统计图，数据的分析，熟悉掌握树形图的画法是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）由七，八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可； （3）画出树形图求解即可． 【小问1详解】 解：∵七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． ∴众数为，； ∵抽查了名学生， ∴中位数为从小到大排列第名学生的分数， ∴由统计图可得： 故答案为：；； 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为人； 【小问3详解】 解：把七年级获得分的学生记为，八年级记为， 则树状图如图： 共有种等可能的结果，被选中的人恰好是恰好是七、八年级各人的结果有种， ∴， ∴被选中人恰好是恰好是七、八年级各人的概率为． 19. 如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为． （1）求像的长； （2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）． 【答案】（1）像的长为 （2）焦距的长约为 【解析】 【分析】本题为相似三角形的应用，考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质及判定，熟悉掌握相似三角形的比值关系是解题的关键． （1）利用平行判定出，再通过相似三角形比值关系求解即可； （2）证出，再通过相似三角形比值关系求解即可． 小问1详解】 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 解；由（1）得， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 答：焦距的长约为． 20. 如图，菱形的对角线和交于点，分别过点作，，和交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可求解． （2）过点作交的延长线于点，利用菱形，靠边三角形的性质，易得到构的，再利用（1）结论求出，最后利用锐角三角函数值的求法求解． 【小问1详解】 证明：， ∴四边形为平行四边形. ∵四边形是菱形 ∴， ， ∴平行四边形为矩形． 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点， ， ∴，． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴． ∵，， ∴是等边三角形 ， ， ∴， ， ． 由（1）已证四边形为矩形 ， ， ∴， ∴． ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．理解相关知识是解答关键． 21. 某纪念品制造成本为每件元，试销过程中发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作如图所示的函数关系． （1）每月销量y（万件）与销售单价x（元）的关系式为________；公司每月的利润是________（万元）； （2）如果公司要获得每月万元的利润，那么制造这种纪念品每月的最低制造成本需要多少万元？ 【答案】（1）， （2）如果公司要获得每月350万元的利润时，制造这种纪念品每月的最低制造成本需要252万元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的实际应用、一元二次方程的应用，待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）由图象可知，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系是一次函数关系，设，利用待定系数法求出函数关系式，再根据单件的利润乘以销量表示出公司每月的利润即可； （2）利用（1）中的利润代数式和每月万元的利润列出一元二次方程，解方程后，分别求出每种情况的成本数，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系是一次函数关系， 设，把代入得到， ， 解得， ∴； 公司每月的利润是（元）， 故答案为：， 小问2详解】 由题意可得，， 则， 解得， 当时，， 当时，， ∵， ∴公司要获得每月万元的利润，那么制造这种纪念品每月的最低制造成本需要万元． 22 ◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用等边三角形的判定与性质证出，即可通过全等的性质解答； （2）连接，证出得到，证出得到，证出得到，通过边的比值关系转化求解即可； （3）连接，分类讨论和时两种情况，利用边的比值关系求出和的长，再利用勾股定理求解即可． 详解】（1）解：∵，，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴和中， ∴ ∴， ∴ 故答案为：；； （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接，分两种情况： ①当时，如图③所示： ∵四边形是正方形， ∴，对角线与互相垂直平分， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； ②当时，如图④所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 综上所述，线段的长度为：或． 23. ◆阅读理解◆ 定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到点关于点的“度比坐标”，把称为点到点关于点的“度比坐标”． ◆迁移运用◆ 如图，在轴的右侧，直角绕原点按顺时针方向旋转，的两边分别与函数，的图像交于，两点． （1）如图1，若点到点关于点的“度比坐标”为，求双曲线的解析式； （2）如图2，若点到点关于点的“度比坐标”为，连接交轴于，点到点关于点的“度比坐标”为，． ①点在第一象限，点到点关于点的“度比坐标”为．连接，，求的值及四边形的面积； ②将直线向右平移，分别交于点，交于点．问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①，－；②存在， 【解析】 【分析】（1）首先根据“度比坐标”的定义可得，，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，由相似三角形的性质可得，结合点在双曲线上，可设，则，，进而可得，，易得，将点代入反比例函数并求得的值即可； （2）首先根据“度比坐标”的定义可得，，易知，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，易得，，设，则，，进而可得，，即，利用待定系数法解得该双曲线解析式为，并结合，点到点关于点的“度比坐标”为，确定，，，即；①根据点在第一象限，点到点关于点的“度比坐标”为，可得，，过点作轴于点，利用待定系数法解得直线的解析式为，进而确定点，即可确定；再由求解即可； ②首先确定直线的解析式为，设平移后的直线为，进而可得，，进一步可知，，结合，可解得的值，进而确定点坐标． 【小问1详解】 解：∵点到点关于点的“度比坐标”为， ∴，， 如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， 可设，则，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴该双曲线解析式为； 【小问2详解】 ∵点到点关于点的“度比坐标”为， ∴，， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，如下图， 则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在双曲线上， 可设，则，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴该双曲线解析式为； 又∵， ∴，整理可得， 解得或， ∴，（舍去），，（舍去）， ∴，或，， 又∵点到点关于点的“度比坐标”为， ∴，， 若，， 则，， ∴， ∴，符合题意， 若，， 则，， ∴， ∴，不符合题意， 即有，， 又∵点到点关于点的“度比坐标”为， ∴，， ∴，即； ①∵点在第一象限，点到点关于点的“度比坐标”为， ∴，， ∴， ∴， 过点作轴于点， 则， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，可有，解得， ∴， ∴，解得； ∴， ， ， ∴； ②存在，，理由如下： ∵， 可设直线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴直线的解析式为， 设平移后的直线为， 令，整理可得， ∵， ∴， ∵直线向右移动得到， ∴点在点右侧， ∴， 令，整理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义“度比坐标”、反比例函数的应用、一次函数综合应用、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、解直角三角形等知识，综合性强，难度较大，解题关键是运用数形结合的思想分析问题，并综合运用相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$