2023年第十六届全国中学生数理化生综合实践活动高二数学应用知识展示试题（A卷）

第十六届中学生数理化生综合实践活动 高二数学参考答案 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A B B B D C 1、C 解析：选C.对于选项A，由多面体的对称性知，A，B，C，D四点共面，又因为PA＝AQ＝QC＝CP，结合PQ＝AC，所以四边形PACQ是正方形，故A错误； 对于选项B，设AB中点为N，CD中点为M，则∠NPM为平面PAB和平面PCD的二面角，NP＝＝，MP＝＝，NM＝2，所以NP2＋MP2≠NM2，所以平面PAB和平面PCD的二面角不为直角，故B错误； 对于选项C，设QC，CD，DA的中点分别为J，K，L，顺次连接E，F，H，J，K，L，E，根据中位线定理能够得到EF＝FH＝HJ＝JK＝KL＝LE，所以经过E、F、H的平面截此正八面体所得的截面为正六边形，故C正确； 对于选项D，根据题意，外接球的直径为＝2，所以外接球的半径为，表面积S＝4πR2＝8π，故D错误． 2、C 解析：选C．如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为10 cm，所以半径为OB＝5 cm. 因为母线与底面所成角的正切值为tan B＝，所以圆锥的高为PO＝10 cm. 设正方体的棱长为a，DE＝a，则＝，解得a＝5. 所以该模型的体积为V＝π×(5)2×10－53＝－125(cm3). 所以制作该模型所需原料的质量为×1＝－125≈398.3(g). 3、 A 由题意可得：，解得，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：． 故选A． 4、 B 对于正四面体，其离散曲率为， 对于正八面体，其离散曲率为， 对于正十二面体，其离散曲率为， 对于正二十面体，其离散曲率为， 则，所以,故选B. 5、B 在长方体中，AB=AD=2，， 对于A：同时与垂直，， 又因为，所以，且，构成右手系， 故成立，故A正确； 对于B：根据三个向量构成右手系，可知，， 则，故B错误； 对于C：，且与同向共线， ，且与同向共线， 又，且与同向共线，即与同向共线，所以，且与同向共线， 所以，故C正确； 对于D：长方体的体积， ，所以，故D正确. 故选：B 6、B 7、D 如图所示 对于①，因为与平面所成的角为，所以， 所以点的轨迹为圆，所以①正确； 对于②，当三棱柱的侧面积为定值时，因为高为2，则为定值，且大于，所以点的轨迹为椭圆，②正确； 对于③，因为、，所以， 于是满足条件的运动成圆锥面，又平面，所以圆锥面被平面所截的交线为双曲线，所以③正确； 对于④，因为点到直线与直线距离相等，所以点的轨迹为点到点与直线的距离相等的轨迹，即抛物线，所以④正确； 故选：D． 8、C 对于A，若且，则， 即，所以， 由可得，即A正确； 对于B，当时根据A中的结论可知，所以蓝方兵力先为0， 即，化简可得， 即，两边同时取对数可得， 即，所以战斗持续时长为， 所以B正确； 对于C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可， 设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为， 即，可得. 同理可得,即，解得. 又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利； 所以可得C错误，D正确. 故答案为C. 2、 填空题（每小题5分，共20分） 9 10 11 12 2030 0 9.2030 解析：已知f(x)是三次方程，则f(x)-x=0的三个根是f(x)-x=(x-2021)(x-2022)(x-2023)，所以f(x)=x+(x-2021)(x-2022)(x-2023),将2024代入得f(2024)=2030。 10.. 因为一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形状，则，，即，因此，该椭圆的离心率为. 11. 设平面内曲线上的点，则其绕原点沿逆时针方向旋转， 得到点， 因为点在曲线上，所以，整理得：. 故所求的原来曲线的方程为：. 12.0. 相邻两个音的频率比分别为，，，，，， 由题意，，，. 故答案为：0. 三、解答题（共40分） 13. (12分） （1），， （2分） ∴，即．是平面内两相交直线， ∴平面． （2分） （2） 由题意＝48． （2分） (3)由题意，， ， ， （2分） ∴．∴， （2分） 猜想：的绝对值表示以为邻边的平行六面体的体积． （2分） 14. (14分） （1）由题可知，曲线是中心在坐标原点，焦点在轴的椭圆， 设，所以， 所以曲线的方程为. （4分） （2）假设存在异于点的定点，使得平分； 当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为，， 由对称性可知，若定点存在，则点一定在轴上，设点. （2分） 当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为，，平分也成立，（2分） 当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为，，， 联立，得，其， 所以，因此， （2分） 又，， 所以 （2分） 所以，因为不恒为0，所以，即，； 故综上所述，存在点使得平分. （2分） 15.(14分） （1）由题设，．       （2分） 所以，． （2分） （2）设数阵中第行和第列中的个数均为，的个数均为． 经过变换，的第行和第列均有个变为，有个变为,所以,即是的倍数． （5分） （3）数阵经过变换得到数阵，设第行和第列中1的个数均为． 由（2）可知，． 设当时，取得最小值，其中． 记每行中的个数为，则必有． 否则，若存在使得，则令，有 ，与为最小值矛盾． （2分） 在中，若等于的个数不超过，则． 若等于的个数大于，则必存在满足，且． 否则，不妨设，则共有个满足，且， 所以中至多有个等于，矛盾．故存在满足，且．取，因为，所以． 由变换为时，从变为，故数阵第行中的个数为． 故， 这与为最小值矛盾． 综上，对给定的数阵，总存在，使得． （3分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$第十六届中学生数理化生综合实践活动 高二数学应用知识展示(A卷) 地区 学校 姓名 信息卡号 测试说明： 1.必须在答题纸上答卷，否则成绩无效；选择题的答案涂到答题纸对应题目的标号上，非 选择题的答案书写在答题纸指定区域内. 2.请在答题纸和试卷上填写有效信息.考试时间为90分，满分100分. 3.成绩查询：2024年1月8日起，可通过指定网站(www.isuyang..cn)查询成绩. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有1个选项是正确的） 1.正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构 成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相 等).如图所示，连接正方体中相邻面的中心，可以得到一个 柏拉图多面体，即正八面体，若正八面体P-ABCD-Q的棱 长为2，E,F,H分别为PA,PB,BC的中点，则( ) A.AP与CQ为异面直线 B.平面PAB⊥平面PCD C.经过E,F,H三点的平面截此正八面体所得的截面为正六边形 D.此正八面体外接球的表面积为9π 2.利用3D打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥内挖去一个正方 体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，另外四个顶点在圆锥底面 上)，圆锥的底面直径为10√2cm,母线与底面所成角的正切值为√2.打印所 用原料密度为1g·cm3,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约 为( )(r取3.14，结果精确到0.1). A.609.4gB.447.3g C.398.3gD.357.3g 3.阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘 若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12x,则C 方程为() 高二数学(A卷)共4页第1页 A之 +1B+1c+-1 3 D. 4 4 361 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为1二（∠QPQ ∠Q2PQ3十…+∠QPQ1),其中Q:(i=1,2,3,…,k,k≥3)为多面体M的所有与点P相邻 的顶点，且平面Q1PQ2,Q2PQa,…,Q.PQ1遍及多面体M的所有以P为公共点的面.如图是 正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a,b,c, d,则a,b,c,d的大小关系是( 正四面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>d>c D.c>d>b>a 5.给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算a×b.规定：①a×b为同时与a,b垂直 的向量；②a,b,a×b三个向量构成右手系（如图甲）：③|a×b|=|aIb|sin〈a,b).如图乙， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2, AA1=4,则下列结论不正确的是(). A.ABXAD=AA B.ABXAD=ADXAB D C.(AB+AD)XAA:=ABXAA+ADXAA D.长方体ABCD-A1B,C1D1的体积为(ABX 甲 AD).CCI 6.An integer between 1 000 and 9 999,inclusive,is chosen at random.What is the probability that it is an odd integer whose digits are all distinct?() A号 B器 c D号 7.已知正方体ABCD-AB1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点， N1为ABC1D1所在平面上一动点，且NN1⊥平面ABCD,则下列命题正确的个数为(). ①若MN与平面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹为圆； ②若三棱柱NAD-N1A:D1的侧面积为定值，则动点N的轨迹为椭圆； ®若DN与AB所成角为号，则动点N的轨迹为双曲线： ④若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则动点N的轨迹为抛物线， A.1B.2C.3D.4 高二数学(A卷)共4页第2页 8.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型： x(t)=Xocosh(vabt)- Y.simh(bt). 0）=Y.osh(/a6)-√sinh((Vabr, 其中正实数X。,Y。分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间，x(t),y(t)分别为红、蓝两方 1时刻的兵力，正实数a,b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数，cosh工=+e二 2 sihx=。?一分别为双曲余弦函数、双曲正弦函数规定：当红、蓝两方任何一方兵力为 时，演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗演习持续时长为T.下列结论错误的是(). A.若X。>Y。且a=b,则x(t)>y(t)(0≤t≤T) 。若X>Y。且a=b,则T=ln,/T a >”,则红方获得战斗演习胜利 。若°>/仁，则红方获得战斗演习胜无 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 9.已知函数f(x)=x3+a.x2+6x+c满足f(2021)=2021,f(2022)=2022,f(2023)= 2023,则f(2024)= 10.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角 落内，容器与地面所成角为30°，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心 率为 30 11.已知对任意平面向量AB=(.x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转0角得到向量A户= (xcos0一ysin0,xsin0+ycos0),即把点B绕点A逆时针方向旋转0角得到点P.设平面内 曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转牙后得到点的轨迹是曲线x2一y2=2,则原来曲 线C的方程为 12.音乐是由不同频率的声音组成的.若音1(do)的音阶频率为f,则简谱中七个音1(do),2(re), 30m,4,5(co)60,7组成的音阶频率分别是了，号/，/，号，是，名/，，其中 .4.327.243 后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶.上述七个音的台阶只有两个不 同的值，记为a,B(a>B),a称为全音，B称为半音，则ga5+lg2-lg2=· 高二数学(A卷)共4页第3页 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13.(12分)已知a=(x1y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3y3,之3)，定义一种运算：(aXb)· C=x1y2x3十x2y321+x3y122一x1y3之2一x2y1之3一x3y2之1.已知四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是一个平行四边形，AB=(2,-1,4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,1). (1)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求|(AB×AD)·AP1: (3)求四棱锥P-ABCD的体积，说明|(ABAD)·AP|与四棱锥P-ABCD体积的关 系，并由此猜想I(AB×AD)·AP|的几何意义. 14.(14分)有一种画椭圆的工具如图甲所示，定 点O是滑槽AB的中点，短杆OP绕O转动，长杆 PQ通过P处铰链与OP连接，PQ上的栓子D可 沿滑槽AB滑动，且OP=DP=1,PQ=2.当栓子 D在滑槽AB内作往复运动时，带动P绕O转动 一周(D不动时，P也不动)，Q处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x 轴，建立如图乙所示的平面直角坐标系. (1)求曲线C的方程： (2)在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的动直线l与曲线C交于E,F两点，是否存在 异于点M的定点N,使得MN平分∠ENF？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由. 15.(14分)给定奇数n≥3，设A。是n×n的数阵.a)表示数阵第i行第j列的数，a= 1或一1，≠j, 且ay=a(i=l,2,…,n;j=1,2,…,n).定义变换p:为“将数阵中第t行 0, i=j, 和第t列的数都乘以-1”，其中t∈{1,2，…，n}.设T=(t1,t2,…,t,),t,∈{1,2，…，n},r=1, 2,,5(s∈N‘),将A,经过P,变换得到A1,A1经过P,变换得到A2,,A,-1经过P,变换 得到A,.记数阵A,中1的个数为TA。(r) 01-1Y (1)当n=3时，设A。= 10 ,T=(1,3),写出A1,A2,并求TA。(1),TA。(2): -110 (2)当n=5,s≥2时，对给定的数阵A。,证明：TA。(2)一TA。(1)是4的倍数； (3)证明：对给定的数阵A,总存在T,使得T（s)≤n1) 2 高二数学(A卷)共4页第4页