2023年第十六届全国数理化生综合实践活动高一数学应用知识展示（A卷）

第十六届中学生数理化生综合实践活动 高一数学参考答案 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B D C C C D 1.C 若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确； 若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确； 若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确； ，存在两相邻的有理数，显然这是不可能的，故C不正确. 故选：C 2.A 由题意可知，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数，排除选项C，D； 当时，，所以，则， 所以，排除B． 故选：A. 3.B 因为，则，选项A错误； ，则，选项C错误； ，则，选项D错误； ，故；，故；，故，则，选项B正确. 故选：B． 4.D． 由题意，，即，所以， 令，即，故，即， 可得，即．故选D. 5.C 不妨设该直角三角形的斜边为，直角边为，则， 因为，所以，即， 当且仅当且，即时，等号成立， 因为，所以， 所以该直角三角形周长，即这个直角三角形周长的最大值为. 故选：C. 6. C 已知四边形为边长是的正方形，则对角线为， 由正方形的滚动轨迹可知， 当时，位于点，即； 当时，位于点，即，故A正确； 当时，位于点，即； 当时，位于点，即； 当时，位于点，即； 所以，则的周期为， 所以，故B正确； 当时，C点的轨迹是以为圆心，为半径的的圆， 此时轨迹方程为，故C错误； 由函数的图像与周期性可知在单调递增， 而，， 所以函数在区间内单调递增，故D正确. 7.C 8.D ，由于 的值域为 根据表示不超过的最大整数 函数的值域是. 故选：D. 2、 填空题（每小题5分，共20分） 9 10 11 12 9 ln 3 ②④ 070625 9.9 设第n天发生危险，由题意得， 整理得，解得或（舍去）， 且，，可得的最小值为9， 所以汛期的第9天会有危险. 9. ln 3 由题意，可得 . 11.②④ 方程，可化为， 令，则，，在同一坐标系中，作出其图像，如图所示： 当时，交点的横坐标为，且在的值域中， 令，解得， 故方程恰有5个不同的实根； 当，即时，图像有两个不同的交点，设交点的横坐标为，且， 令，解得，故方程恰有2个不同的实根； 当，即时，图像有两个不同的交点，设交点的横坐标为，且， 令，令，解得， 故方程恰有4个不同的实根； 当，即时，图像有四个不同的交点，设交点的横坐标为， 且， 令，，，， 解得， 故方程恰有8个不同的实根； 故答案为②④ 12. 070625 第一行数字从左往右依次是：0，1，1，1；表示，计为； 第二行数字从左往右依次是：0，1，1，0；表示，计为； 第三行数字从左往右依次是：0，0，1，0；表示，计为； 第四行数字从左往右依次是：0，1，0，1；表示，计为； 小明所对应的二维码（图2）表示的编号是， 故答案为：． 三、解答题（共40分） 13. (12分) （3分） 由题意可得，第一种方案，平均价格为 （3分） 第二种方案，平均价格为； （3分） 当时，取到等号，当时，方案一和方案二价格一样;当a，b，c大于0且不全相等时，方案一价格更低. （3分） 14.(14分） （1）由题意得 ∴． （3分） （2）当时， ∴． （2分） 当时， （2分） ∴第个月的当月利润率为 （1分） （3）①当时，是减函数，此时的最大值为（2分） ②当时， （2分） 当且仅当时，即时，，又， ∴当时， 故该企业经销此产品期间，第40个月的利润率最大，最大值为 （2分） 15. (14分） （1）设直三棱柱的底面三角形的面积为，周长为，则， 所以直三棱柱的表面积为，体积为， （2分） 所以相对表面积； （2分） （2）用刀垂直于底面将蛋糕切开时，两块小蛋糕的高相等； 又由两块小蛋糕外层包裹的巧克力面积相等，可知两块小蛋糕的表面积相同； 因为两块小蛋糕的相对表面积相等， 所以两块小蛋糕的体积相等，从而底面积也相等， 由两块小蛋糕的表面积相同可知两块小蛋糕的侧面积也相等，故而其底面周长也相等， 故可将问题转化为： 一条直线将三边长分别为3，4，5的三角形分成两个图形，这两个图形的周长和面积都相等； 如图1，当直线与边，分别交于，时，设，， 则，， 即，解得：， 由，可知，所以此时无解； （3分） 如图2，当直线与边，分别交于，时，设，， 则，， 即，所以此时无解； （3分） 如图3，当直线与边，分别交于，时，设，， ， 即，解得， 由，可知， 所以， （3分） 综上所述：只有一种切法满足题意。 （1分） 学科网（北京）股份有限公司 $$第十六届中学生数理化生综合实践活动 高一数学应用知识展示(A卷 姓名 地区 学校 信息卡号 测试说明: 1.必须在答题纸上答卷,否则成绩无效;选择题的答案涂到答题纸对应题目的标号上,非 选择题的答案书写在答题纸指定区域内 2. 请在答题纸和试卷上填写有效信息,考试时间为90分钟,满分100分. 3.成绩查询:2024年1月8日起,可通过指定网站(www.isuyang.cn)查询成绩. 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,每题只有1个选项是正确的) 1. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪,直到1872年,德国数学家戴德金提出了“戴 德金分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集O划分为两个非 空的子集M与N,且满足MUN=Q,MON-,M中的每一个元素都小于N中的每一个 元素,则称(M,N)为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(M,N).下列选项中不可能成 立的是( 、 A.M没有最大元素,N有一个最小元素 *B.M没有最大元素,N也没有最小元素 C.M有一个最大元素,N有一个最小元素 D. M有一个最大元素,N没有最小元素 2.函数f(xi)--21g-co 2-cos的大致图象是( ). ####### ) B A D 3.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:今有物,不知其数,三三数之,剩二;五五数 之,剩三;七七数之,剩二.问:物几何?现可用集合表示:已知A={x|x一3n十2,nN), 高一数学(A卷) 共4页 第1页 B={xlx=5n+3,nN ),C=(xlx=7n+2,nEN*),若xAOBOC,则下列选项中符 合题意的整数x为( A.8 B.23 C.37 D.127 4.“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长,达到峰值之后开始下降,而“碳中和”是指企业、团 体或个人通过植树造林、节能减排等形式,抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零 排放”,某地区二氧化碳的排放量达到峰值a亿吨后开始下降,其中二氧化碳的排放量S亿吨 地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为-亿吨,则该地区要实 现“碳中和”,至少需要经过( )(参考数据:1g2~0.30,1g3~0.48). 过B.14年 C.15年 A.13年 D.16年 5.对于直角三角形的研究,中国早在商朝时期,就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股 定理特例,而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理,如果一 个直角三角形的斜边长等于5,则这个直角三角形周长的最大值等于( ). D7 A.10/2 B.10 C.5+5/2 6. 如图,将边长为1的正方形ABCD沿:轴正向滚动,先以 。 A为中心顺时针旋转,当B落在x轴时,又以B为中心顺时 针旋转,如此下去,设顶点C滚动时的曲线方程为y一f(x) 则下列说法错误的为( ). A.f(1)-/2 B.f(2023)-0 C.f(x)--x+4x-3(2x<3) D. f(x)在[2023,2025]内单调递增 7. Octahedron is a prism with six vertices. If an ant started creeping from point A moving along the edge towards every point only once. then the number of ways an ant can creep is( ). A.16 B.30 C.40 D.324 8.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名了 “高斯函数”:设xR,用[x]表示不超过x的最大整数,则y一[x]称为高斯函数,例如 [-3.6]--4,[1.9]-1,已知函数f(x)-- ). A.(0,1) B1 C.1-1,0,1) D.(-1,0 高一数学(A卷)共4页 第2页 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分) 9.某水库的最大蓄水量为128000m,原有水量为80000m③},泄水阐每天泄水量为4000m, 在洪水暴发时,预测注人水库的水量S.(单位:m)与天数n(nEN,n<10)的函数关系是 S.-5000n(n十24).若洪水暴发的第一天就打开泄水阐,则第 天中堤坝会发生危 险(水库蓄水量超过最大蓄水量时,堤坝会发生危险) lnn十v(常数y一0.557..).利用以上公式,可以估计 10001+10002 为 11.关于x的方程(x*-1)②-x-1|十-0,给出下列四个命题: ①不存在实数,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数,使得方程恰有4个不同的实根; ③不存在实数,使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数,使得方程恰有8个不同的实根 其中正确命题的序号是。 _(写出所有正确命题的序号) 12.某中学利用二维码进行学生学号统一编排 黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0,将每 一行数字从左到右依次记为a,,c,d,那么利用 公式ax2+b×2十c×2十d计算出每-行的 数据,第一行表示年级,第二行表示班级,如图甲 甲 所示,第一行数字从左往右依次是1,0,0,1,则表示的数据为1×2*+0×2②+0×2+1-9,计 作09,第二行数字从左往右依次是1,0,1,0,则表示的数据为1×2*+0×2十1×2+0-10 计作10,以此类推,图甲代表的统一学号为091034,表示9年级10班34号.小明所对应的二 维码如图乙所示,则他的编号是 三、解答题(本大题共3小题,共40分) 13.(12分)(1)已知克糖水中有。克糖(>a>0).往糖水中加入克糖(m>0),(假设糖 全部溶解)糖水更甜了,请将这个事实表示为一个不等式; (2)某超市进货A,B,C三种水果糖,进货价格分别为a元/千克,元/千克,c元/千 克,然后把所有糖混合成什锦糖,进货方案有两种,方案一:每种糖进货1500元,方案二:每种 糖进货100千克,问哪种方案混合成的什锦糖每千克的价格更低 高一数学(A卷) 共4页 第3页 14.(14分)某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经 1. 1<x<20. (xN),为了获得 21<x<60 更多的利润,企业将每月获得的利润投入次月的经营中,记第x个月的当月利润率g(x) 第:个月的利润 f(3) 第x个月的资金总和 ,例如:g(3)一 81十f(1)十f(2) (1)求g(10)的值; (2)求第x个月的当月利润率g(x) (3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率 15.(14分)定义:一个几何体的表面积与体积之比称为几何体的相对表面积 (1)若一个直三梭柱的高为h,底面三角形的内切圆半径为,,相对表面积为S。,求证; (2)如图,一块直三校柱形状的蛋糕,底面三边长分别为3,4,5 若蛋糕的最外层包裹着薄薄的一层巧克力(厚度忽略不计),用刀垂 直于底面将蛋糕切开,使之成为两块直梭柱状的小蛋糕,要求两块 小蛋糕的相对表面积相等,且包裹的巧克力面积相等,有几种切法 高一数学(A卷) 共4页 第4页