精品解析：2024-2025学年人教版八年级上册期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴能组成三角形，故此选项符合题意； C、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．注意：判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°． 故选B． 【点睛】考点：三角形的外角性质． 4. 已知点，则M点关于x轴对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了两个点关于坐标轴对称的坐标特征，根据两个点关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：A． 5. 如图，为中边中垂线，，则的周长是（    ） A. 16 B. 18 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键． 利用线垂直平分线的性质得，再等量代换即可求得三角形的周长． 【详解】解：∵为中边的中垂线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 6. 如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由可得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 、添加与原条件满足，不能证明，该选项符合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 、添加，由可证明，该选项不合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 故选：． 7. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ） A. 10 B. 7 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，所以△BCE的面积等于， 故选：C． 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得． 【详解】解：∵△ABC为等腰三角形， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 9. 如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是(　　) A. 45° B. 60° C. 50° D. 55° 【答案】C 【解析】 【分析】已知MN是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AC=EC，所以∠CAE=∠E，由三角形外角的性质可得∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB=2∠E，在△ABC中，根据三角形的内角和定理求得∠E=25°，即可求得∠B=2∠E=50°. 【详解】∵MN是AE的垂直平分线， ∴AC=EC， ∴∠CAE=∠E， ∴∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E， ∵AB＝CE， ∴∠B=∠ACB=2∠E， 在△ABC中，∠BAE+∠B+∠E=180°， ∴105°+2∠E+∠E=180° 即∠E=25°. ∴∠B=2∠E=50°. 故选C. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，求得∠E=25°是解决本题的关键. 10. 如图所示，在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，延长BC至E，使CE=CD，若△ABC的周长为20，BD=a，则△DBE的周长是（ ）（用含a的式子表示） A. 10+2a B. 15+2a C. 20+a D. 10+a 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角定理和三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵∠A=60°，AB=AC， ∴△ABC等边三角形， ∴， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴，CE=CD=， ∵CE=CD， ∴， ， ∴， ∴△DBE为等腰三角形， ∴BD=DE=a， ∴△DBE的周长是：BD+DE+BC+CE=a+a++=10+2a， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角定理和三线合一的性质，解决本题的关键是掌握以上的性质并熟练的运用． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 等腰三角形的两边分别4和9，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，灵活运用分类讨论思想成为解题的关键． 分腰长为4和9两种情况，分别运用三角形三边关系判定能否组成三角形，再求出周长即可解答． 【详解】解：①当腰长为4时，三角形的三边长为9、4、4，由，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立； ②当腰长为9时，三角形的三边长为9、9、4，由，能构成三角形，则其周长． 故答案为：22． 12. 如图，点D在上，点E在上，与相交于点O，且，则___． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先根据“角边角”证明，可得，进而得出，最后根据得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案：9． 13. 如图，是等边三角形，为的中点，，垂足为点．若，则的周长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余．根据等边三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求得即可，进而求得三角形的周长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，则， ∵为的中点， ∴， ∴的周长为． 故答案：． 14. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是___．（只填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，，故②④正确； 根据题干中的条件无法推出，故③错误； 故答案为①②④． 三、解答题 15. 如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 【答案】∠ADB=100°． 【解析】 【分析】根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE=40°，得出∠B的度数，进而根据三角形的内角和定理得出∠ADB的度数． 【详解】∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°， ∴∠BAD=30°， 又∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°， ∴∠BEC=90°， ∴∠B=50°． ∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°． 16. 如图，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用“”判断即可，选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】证明：∵ ∴和是直角三角形 ∵， ∴ 17. 如图，直线l同侧两个点A、B（需要写画法） （1）在直线l上求作一点M，使； （2）在直线l上求作一点N，使最小． 【答案】（1）点及画法见解析 （2）点及画法见解析 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交直线于点，则点即为所求； （2）作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，连接，作的垂直平分线交直线于点， 则点即为所求： 【小问2详解】 解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则点即为所求： 【点睛】本题主要考查了作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），画轴对称图形等知识点，熟练掌握各种基本作图方法是解题的关键． 18. 在一次数学课上，李老师在黑板上画出图（如图所示），并写出三个等式：①，②，③，要求同学从这三个等式中选出两个作为条件，推出，请你试着完成李老师提出的要求，并说明理由．已知：　　　（写一种情况即可）求证：． 【答案】①②（或①③），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，选①②可利用证明，由全等三角形的性质可得出，选①③可利用证明，由全等三角形的性质可得出． 【详解】解：已知：①② 证明：在和中， ∴， ∴． 已知①③ 在和中， ∴， ∴． 故答案为：①②（或①③）． 19. 如图，一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发，小岛P在轮船的北偏西方向，轮船每小时航行15海里，11时轮船到达点B处，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向． （1）求此时轮船距小岛为多少海里？ （2）在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由． 【答案】（1）45海里； （2）轮船继续向前航行，不会有触礁危险，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了方向角的应用，以及等腰三角形等角对等边的性质，本题中求的长是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可证，即可得，即可求的长度； （2）求轮船继续走下去的话，求出轮船与小岛的最小距离即可，根据最小距离大于20海里，则不会受影响，若最小距离小于20海里，则会受到影响即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴（海里）； 答：此时轮船距小岛为45海里． 【小问2详解】 解：过P点作于D， 在中，， ∴（海里）， ∵． 所以，轮船继续向前航行，不会有触礁危险． 20. 如图，于点E，于点F．求证∶． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．连接，证明，可得，再根据角平分线的性质，即可求证． 【详解】解：证明：连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴ 21. 已知如图，点C为线段上一点，分别以、为边在线段的同侧作和，且，，，连接、相交于点F． （1）求证：； （2）如果，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理． （1）先证明，再利用证明，由全等三角形的性质可得出． （2）由三角形外角的定义可得出，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出，最后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. (1)如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数； (2)如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数； (3)上面(1)(2)两题中的∠BOC与∠B′O′C′ 有怎样的数量关系?若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′ 是否还具有这样的关系?这个结论你是怎样得到的? 【答案】(1)110° ; (2)70° ; (3)互补. 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB求出∠OBC+∠OCB的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOC的度数． （2）利用三角形的内角和以及外角和性质即可进行解答； （3）根据三角形内角和定理和角平分线定义，（3）由前两问提供的思路，进一步推理． 【详解】解：（1）∵∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°． ∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×140°=70°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°； （2）因为∠A的外角等于180°-40°=140°， △A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′， 根据三角形的外角和等于360°， 所以∠1+∠2=×（360°-140°）=110°， ∠B′O′C′=180°-110°=70°； （3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′=110°+70°=180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补； 证明：当∠A=n°时，∠BOC=180°-[（180°-n°）÷2]=90°+， ∵∠A′=n°，∠B′O′C′=180°-[360°-（180°-n°）]÷2=90°-， ∴∠A+∠A′=90°++90°-=180°，∠BOC与∠B′O′C′互补， 所以当∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°及三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和． 23. 定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如图，正五边形的对角线、相交于点O． （1）求五边形每一个内角的度数； （2）求证：； （3）连接，求证：垂直平分． 【答案】（1）均为 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据正多边形内角和公式可得结论； （2）根据等腰三角形的性质和判定可得； （3）根据，证明，由，得，最后利用线段垂直平分线的逆定理可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 证明：， ， 同理得：， ， ， ， ； 【小问3详解】 证明：连接，， ，，， ∴， ， ， ， 垂直平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 4. 已知点，则M点关于x轴对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，为中边的中垂线，，则的周长是（    ） A. 16 B. 18 C. 26 D. 28 6. 如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ） A. 10 B. 7 C. 5 D. 4 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 9. 如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是(　　) A. 45° B. 60° C. 50° D. 55° 10. 如图所示，在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，BD是△ABC角平分线，延长BC至E，使CE=CD，若△ABC的周长为20，BD=a，则△DBE的周长是（ ）（用含a的式子表示） A. 10+2a B. 15+2a C. 20+a D. 10+a 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 等腰三角形的两边分别4和9，则这个等腰三角形的周长为______． 12. 如图，点D在上，点E在上，与相交于点O，且，则___． 13. 如图，是等边三角形，为的中点，，垂足为点．若，则的周长为___． 14. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是___．（只填序号） 三、解答题 15. 如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 16. 如图，，求证：． 17. 如图，直线l同侧两个点A、B（需要写画法） （1）直线l上求作一点M，使； （2）在直线l上求作一点N，使最小． 18. 在一次数学课上，李老师在黑板上画出图（如图所示），并写出三个等式：①，②，③，要求同学从这三个等式中选出两个作为条件，推出，请你试着完成李老师提出的要求，并说明理由．已知：　　　（写一种情况即可）求证：． 19. 如图，一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发，小岛P在轮船的北偏西方向，轮船每小时航行15海里，11时轮船到达点B处，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向． （1）求此时轮船距小岛多少海里？ （2）在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由． 20. 如图，于点E，于点F．求证∶． 21. 已知如图，点C为线段上一点，分别以、为边在线段的同侧作和，且，，，连接、相交于点F． （1）求证：； （2）如果，求． 22. (1)如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数； (2)如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数； (3)上面(1)(2)两题中∠BOC与∠B′O′C′ 有怎样的数量关系?若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′ 是否还具有这样的关系?这个结论你是怎样得到的? 23. 定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如图，正五边形的对角线、相交于点O． （1）求五边形每一个内角的度数； （2）求证：； （3）连接，求证：垂直平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$