精品解析：河南省信阳市潢川第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

潢川一中2024-2025学年高一上期第二次月考 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合必要不充分的定义即可判断. 【详解】，则， 所以，解得，故充分性不满足， 时，，， 所以，必要性满足， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域的定义进行求解即可 【详解】使得函数的表达式有意义， 则且，解得 故选：D 3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. 2 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，求得m的值，即得函数解析式，代入求值可得答案. 【详解】由题意得，解得， 所以，故, 故选：D 4. 设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式求得的范围，由二次函数性质求得的最大值后可得结论． 【详解】、为互不相等的正实数，则， 所以， ，时，， 所以． 故选：A． 5. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域求解. 【详解】因为函数， 所以， 则， 故选：B 6. 已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( ) A 1 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知f(0)＝0可求m的值，根据x≤0时的解析式，结合f(x)是奇函数可求x＞0时f(x)的解析式，判断f(x)在[1，2]上单调性即可求其最大值. 【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0， 又∵，，∴， ∴时，， 设，则，则， 则， 即当x＞0时，，∴f(x)在上单调递减，∴f(x)在上的最大值为. 故选：C. 7. 设函数, A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】.故选C. 8. 设函数为二次函数，且满足下列条件：①；②若，时，有.则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意是函数的对称轴，且二次项系数为负，若，则当时，，，不合题意（当时也是）．当时，满足题意，即．故选A． 考点：二次函数的性质． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出对称轴，确定单调性，然后判断各选项． 【详解】对称轴为， 且在是增函数， ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确； ，选项正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查二次函数的单调性，对称性，属于基础题． 10. 有下列几个命题，其中正确的是（ ） A. 函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数 B. 函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数 C. 函数y＝的单调区间是[－2，＋∞) D. 已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3 【答案】AD 【解析】 【分析】根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择. 【详解】由y＝2x2＋x＋1＝2在上递增知， 函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A正确； y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数， 但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数， 如－2<0，但故B错误； y＝在上无意义， 从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C错误； 设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3， 因为g(x)为奇函数，所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正确． 故选：. 【点睛】本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题. 11. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 的最小值是 C. 若有解，则m的取值范围是或 D. 当时，，的值域是，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答. 【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且， 于是得，即， 对于A，不等式化为：，解得，A正确； 对于B，，， 当且仅当，即时取“=”，B正确； 对于C，，令，则在上单调递增， 即有，因有解，则，解得或，C不正确； 对于D，当时，，则，， 依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3， 从而得或，因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题：每题5分，满分15分，将答案填在答题卡上. 12. 计算：+log2(log216)=________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分数指数幂的运算性质和对数的运算性质化简计算即可 【详解】解：原式=+log24=+2=. 故答案为： 【点睛】此题考查了分数指数幂的运算和对数的运算，属于基础题 13. 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售辆，则能获得的最大利润为________万元. 【答案】120 【解析】 【分析】设在甲地销售量,则在乙地销售为,再列出利润函数求最大值即可. 【详解】设在甲地销售量,则在乙地销售为, 则利润为 因为二次函数对称轴为,故当时均取得最大值. 故答案为120 【点睛】本题主要考查方程的思想以及二次函数的最值问题. 14. 若函数对其定义域内的任意，，当时总有，则称为紧密函数，例如函数是紧密函数.下列命题：①紧密函数必是单调函数；②函数在时是紧密函数；③函数是紧密函数；④若函数为定义域内的紧密函数，，则；其中正确的是________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】 根据题中紧密函数的定义，逐项判断，即可得出结果. 【详解】①，由于函数对其定义域内的任意，，当时总有，则称为紧密函数，所以紧密函数的自变量与函数值是一一映射，故单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调函数，如，按照定义，显然是紧密函数，但不是单调函数，故①错； ②因为，当时，单调递增，所以是单调函数，故一定使紧密函数，故②正确； ③函数，当时，单调递增；当时，单调递减，不是一一映射，故不是紧密函数；故③错； ④若函数为定义域内的紧密函数，由一一映射可知，若，则；故④正确； 故答案为：②④. 【点睛】思路点睛： 解决函数新定义题目时，一般根据新定义的概念，充分理解给定的新定义，再结合函数的概念，根据选项，逐项判断即可. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知集合，或． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据交集公式直接求；（2）由条件，列不等式求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，或， 所以； （2）因，所以， 解得：. 【点睛】本题考查集合的交集，以及根据集合的运算求参数的取值范围，属于基础题型. 16. （1）已知，求的最小值； （2）已知是正实数，且，求最小值． 【答案】（1）7；（2）． 【解析】 【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解. 【详解】（1）∵，即， ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为7． ，，． 当且仅当，即，时取等号． ∴的最小值为． 17. 已知函数（，且）. （1）若函数的图象过和两点，求在上的值域； （2）若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式，列出方程组求出，再根据函数的单调性求出值域； （2）根据函数单调性求出最大值和最小值，列出方程，求解的值. 【小问1详解】 由题意，，， 又，解得，，所以. 因为在上单调递增，所以， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 所以. 18. 已知函数是上的偶函数 （1）求实数的值，判断并证明函数在上的单调性； （2）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1），函数在上单调递减，证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可，利用单调性的定义判断并证明. （2）根据偶函数的性质，结合单调性求解即可. 【小问1详解】 因函数是上的偶函数，则， 即，解得， 所以，函数在上单调递减. 证明如下： 设任意，且，则 ， 由，则，，， ∴，即， 所以函数在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知函数在上单调递减，又函数是上的偶函数， 所以函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数，在上为减函数. 又，，， 故，. 19. 已知函数f（x）的定义域是使得解析式有意义的x集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则称此函数为“正函数”． （1）证明函数f（x）＝lg（x2+1）+1是“正函数”； （2）如果函数不是“正函数”，求实数a的取值范围； （3）如果函数f（x）＝ax2+ax+2是“正函数”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）a≥2；（3）[0，8）． 【解析】 【分析】 （1）直接利用对数函数的单调性，进行放缩即可求证 （2）利用反证法，假设函数“正函数”， 利用基本不等式得出函数是正函数成立时的取值范围， 那么，即可求出函数不是“正函数”时，实数a的取值范围； （3）根据题意，对进行分类讨论即可，讨论时注意利用数形结合来求a的取值范围 【详解】解：（1）证明：函数的定义域为R，且f（x）＝lg（x2+1）+1≥lg1+1＝1，函数值恒为正，故为正函数，得证； （2）从反面入手，即函数是“正函数”，求实数a的取值范围； 函数的定义域为{x|x≠0}，且，则a＜2， 故a≥2； （3）依题意，函数的定义域为R，且f（x）＞0恒成立， 当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意； 当a≠0时，则需，解得0＜a＜8； 综上，实数a的取值范围为[0，8）． 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是如何利用题中的新定义，利用新定义进行求证，严格按照新定义来讨论所求函数为正函数和不是正函数的条件，最难的地方，就是利用新定义，对进行分类讨论，难度属于中档题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 潢川一中2024-2025学年高一上期第二次月考 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. 2 B. 16 C. D. 4. 设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( ) A 1 B. 8 C. D. 7. 设函数, A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 设函数为二次函数，且满足下列条件：①；②若，时，有.则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 10. 有下列几个命题，其中正确是（ ） A. 函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数 B. 函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数 C. 函数y＝的单调区间是[－2，＋∞) D. 已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3 11. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 最小值是 C. 若有解，则m的取值范围是或 D. 当时，，的值域是，则的取值范围是 三、填空题：每题5分，满分15分，将答案填在答题卡上. 12. 计算：+log2(log216)=________. 13. 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售辆，则能获得的最大利润为________万元. 14. 若函数对其定义域内的任意，，当时总有，则称为紧密函数，例如函数是紧密函数.下列命题：①紧密函数必是单调函数；②函数在时是紧密函数；③函数是紧密函数；④若函数为定义域内的紧密函数，，则；其中正确的是________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知集合，或． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）已知，求的最小值； （2）已知是正实数，且，求的最小值． 17. 已知函数（，且）. （1）若函数的图象过和两点，求在上的值域； （2）若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 18. 已知函数是上偶函数 （1）求实数的值，判断并证明函数在上的单调性； （2）求函数在上的最大值和最小值. 19. 已知函数f（x）的定义域是使得解析式有意义的x集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则称此函数为“正函数”． （1）证明函数f（x）＝lg（x2+1）+1是“正函数”； （2）如果函数不是“正函数”，求实数a的取值范围； （3）如果函数f（x）＝ax2+ax+2是“正函数”，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$