2022年第十五届全国数理化生综合实践活动高二数学应用知识展示（A卷）

第十五届中学生数理化生综合实践活动 高二数学应用知识展示(A卷)】 地区 学校 姓名 信息卡号 测试说明： 1.必须在答题纸上答卷，否则成绩无效；选择题的答案涂到答题纸对应题目的标号上，非 选择题的答案书写在答题纸指定区城内。 2.请在答题纸和试卷上填写有效信息.考试时间为90分钟，满分100分， 3.成绩查询：2023年1月5日起，可通过指定网站(www.isuyang..cn)查询成绩. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有1个选项是正确的） 1.如右图所示，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1,O2, 这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O: 与正方体共顶点B,的三个面相切，则两球在正方体的面AA,CC 上的正投影是(). 2.我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功者陆月球，并通过“鹄桥”中继星传回了月球背面影 像图假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月 飞行，其轨道的离心率为，设月球的半径为R,“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r,则“嫦 娥四号”到月球表面最远的距离为( A.(1te)reR 1-e l-e B.(1te)r 2eR C.(1-e)reR D.(1-e)r 2eR 1-e 1-e 1+e1+e 1+e1+e 3.2022年爆发的俄乌冲突导致欧洲能源紧张，在冬天来临之际，为了取暖，欧洲国家大量订购 我国浙江义乌产的家用电暖气如图甲所示，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架 组成，为了更好地利用热效能，反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热 高二数学(A卷)共4页第1页 锁源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面 直径等于抛物面口径.图乙是该电暖气的轴截面，防 护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离， 已知口径长为40cm,防护罩宽为15cm,则顶点O 到防护罩外端CD的距离为(). A.25 cm B.30 cm C.35 cm D.40 cm 4.如右图所示，在四面体ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，过 EF的平面a分别交棱DA,BC于G,H(不同于A,B,C,D),P,Q 分别是棱BC,CD上的动点，则下列命题错误的是(). A.存在平面a和点P,使得AP∥平面a B.存在平面a和点Q,使得AQ∥平面& C.对任意的平面a,线段EF平分线段GH D.对任意的平面a,线段GH平分线段EF 5.如右图所示，斜三棱柱ABC-A1B:C,中，底面△ABC是正三角形，E,F,G分别是侧棱 AA1,BB1,CC1上的点，且AE>CG>BF,设直线CA,CB与平面EFG所成的角分别为a,B, 平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为0，则( C A.sin 0<sin a+sin B,cos 0<cos a+cos B B.sin 02sin a+sin B,cos <cos a+cos B C.sin 0<sin a+sin B,cos 0>>cos a+cos B D.sin0≥sina+sin3,cos8≥cosa+cosB 6.r the o foc pon of the lipse C the point Ms lipseC. then the maximum value of IMF.MF2 I is () A.13B.12C.9D.6 7.星等分为两种：目视星等与绝对星等，但它们之间可用公式M=m十5一5g?26转换，其中 M为绝对星等，m为目视星等，d为到地球的距离（单位：光年）.现在地球某处测得牛郎星目 视星等为0.77，绝对星等为2.19：织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5.则距离地球更近 的星球和它们到地球的距离之比（较远距离与较近距离之比）分别是()（参考数据： 10a19≈1.549,100.06≈8.054,10.16≈5.199). A.牛郎星，约1.5B.织女星，约1.5C.牛郎星，约2.9D.织女星，约2.9 高二数学(A卷)共4页第2页 8.图甲为2022年北京冬奥会标志性场馆之一 的大跳台场馆，大跳台旁边的冷却塔在冬奥会 举办期间“火”了，原因是有外媒把它当成了 “核反应堆”，后经国际奥委会的宣传，让世界 再次对北京冬奥会的场馆设计理念连连称赞. 甲 冷却塔的外形示意图如图乙所示，是由双曲线 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，已知该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔 身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径为25米，底部塔口半径为202米，则该双曲线的离 心率为( A.√② B.3 C.5 D.√7 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 9.设a=sin3,b=log,sin3,c=3m3,则a,b,c的大小关系是 10.如右图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度， 在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)，灯泡与桌面的距离为4个 单位长度，灯泡垂直照射在桌面上的点为A,篮球的彩子为椭圆，地 面和篮球的接触点（切点）是该椭圆的焦点，其右顶点到点A的距离 为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率= 11.我国古代建筑屋顶绝美的“飞檐”来源于宋代举折之法，举折就是测定屋顶坡度及屋盖曲 面线的方法“举之峻慢，折之圆和”，用举折方法使屋顶的坡度越往上越陡，从而近似于曲面， 以利于屋面排水和檐下采光，形成中国古代建筑独有的风貌.如图甲所示，八角凉亭的屋顶是 两段举折，又称“五架无廊”，其中第二段的举折高度GF和举折长度AC之比是5：10，三视 图如图乙和图丙所示，其中C,O,D是AB的四等分点，EG=AC,GF:AC=1:2.如果中间 无折屋顶的三视图如图丁和图戊所示.在保持屋顶整体高度以及底面积不变的情况下，举折 后的整个屋顶的体积与无折的屋顶体积比值为 甲八角凉亭乙两段举折俯视图丙两段举折侧视及正视图丁无折俯视图皮无折侧视及正视图 12.根据圆锥曲线的光学性质可知，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光 线经过椭圆的另一个焦点：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的 高二数学(A卷)共4页第3页 4y2 反向延长线经过双曲线的另一个焦点现有一个凸透镜是由椭圆十=1（口>6>0）和双曲 线y2 示一立1(m>0,m>0)组合而成的，已知精圆的离心率为5 ，且椭圆与双曲线有公共的 右焦点M,一条光线从点M出发，经过椭圆与双曲线两次反射后回到点M,经过的路程为 4m,则该双曲线的渐近线方程为 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13.(12分)如图甲所示，ABCD是边长为102cm 的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰 三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合 于点P,正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（如图乙 所示)，设正四棱锥P-EFGH的底面边长为xcm,若 要求包装盒侧面积S不小于75cm,求x的取值范围. 14.(14分)我们把其有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥 曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”。 1)设椭圆C: 6=1与双曲线C:9x2 9y2 1有相同的焦点F1,F2,M是椭圆C1与双曲线C:的公共 点，且△MF:F:的周长为6，求椭圆C1的方程； 0≤x≤3， (2)如图甲所示，已知“盾圆D”的方程为y2= 设“盾圆D”上 -12(x-4),3<x≤4， 的任意一点M到F(1,0)的距离为d1,M到直线1：x=3的距离为d:,求证：d:+d2为定值. 15.(14分)右图是神舟十二号载人飞船推进舱及其推进器的简化示 M 意图，半径相等的圆I1,I2,13,I4与圆柱OO:底面相切于A,B,C,D 0 四点，且圆I1与I2,12与Is,I,与I4,14与I1分别外切，线段AA 为圆柱OO,的母线.点M为线段A,O,的中点，点N在线段CO1上， 且CN=2NO.已知圆柱(OO1的底面半径为2，AA1=4. (1)求证：AM∥平面BDN: (2)线段AA,上是否存在一点E,使得OE⊥平面BDN？若存 在，请求出AE的长：若不存在，请说明理由： (3)求二面角I2-A,I1-I:的余弦值 高二数学(A卷)共4页第4页 高二数学 1、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C D B C A C 1、B 【解析】由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切，排除C，D，把其中一个球扩大为正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A，故选：B. 2、B 【解析】椭圆的离心率，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 则 故选：B 3、C 【解析】由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，设曲线C：y2＝2px(p＞0)，且F(，0)，则A(＋15，20)，代入抛物线方程可得，400＝2p(＋15)，解得p＝10，所以点O到CD的距离d＝＋30＝35， 故选：C． 4、D 【解析】对于A选项，当时，因为平面，平面，此时平面，A对； 对于B选项，当时，因为平面，平面，此时平面，B对； 对于C选项，取的中点，的中点为，设，， 则有， 同理可得，， ， ， 所以，所以，， 因为、、、四点共面，则，所以，， 所以，，则， 所以，，可得， 即、、三点共线，即的中点在上，即线段平分线段，C对； 对于D选项，若线段平分线段，又因为线段平分线段，则四边形为平行四边形， 事实上，四边形不一定为平行四边形，故假设不成立，D错. 故选：D. 5、B 【解析】 如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面EFG的交线， 又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得. 过A作面EFG，垂足为P，过A作，垂足为Q，连接，易得即为直线与平面所成的角， 则，又面EFG，面EFG，则，又，面，， 所以面，面，则，则即为平面与底面所成的锐二面角，则， 又，则，同理可得，则， 又由 ， ， 则 ， 故，A，C错误； 故，由可知，所以， 即，整理可得， 即，即， 故，又，故，B正确，D错误. 故选：B. 6、C 【解析】由题，，则， 所以(当且仅当时，等号成立)． 7、A 【解析】解：设牛郎星到地球的距离为，织女星到地球的距离为，所以，，即，，即，，所以，，所以，所以距离地球更近的星球为牛郎星，且； 故选：A 8、 C 【解析】如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意知，所以， ，， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 二、填空题 9 10 11 12 9、 因为，所以， ， ， 所以. 10、 以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为 设, 由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍） 则， 又设直线PN的方程为 由到直线PN的距离为1，得，整理得 则，又，故 则直线PN的方程为， 故， 由，解得，故椭圆的离心率 故答案为： 11、 【解析】无折屋顶实际为一个八棱锥, 设屋顶底部面积为S, 由已知, 无折和有折情况底部面积相等. 设GF=x, 则AC=2x, EG=2x, 所以整个屋顶的高为3x. 无折屋顶的体积为 对有折屋顶, 实际为两个八棱锥叠在一起, 设上面的八棱锥体积为, 下面的八棱锥体积为 = = 两者屋顶体积为这两个八棱锥之和再减去多出的以I为顶点, 点G所在平面为底面的小八棱锥, 如右图所示. 其体积为 所以两折屋顶的体积为: = 所以, 举折后的整个屋顶的体积与无折的屋顶体积比值为 12、 【解析】如图，设另一个焦点为N，从M点出发的光线两次反射的位置为A，B两点 由圆锥曲线的光学性质可知：MA+NA=2a，NB-MB=2m ∵MA+AB+BM=4m ∴MA+NA-(NB-MB)= MA+AB+BM=2a-2m=4m ∴ ∵椭圆的离心率为 ∴ ∵双曲线和椭圆焦点相同 ∴ ∴ ∴渐近线方程为： 三、解答题 13、【解析】图甲中，连接AC，BD交于点O，BD与FG交于M，图乙中，连接OP， 因为ABCD是边长为10的正方形，所以OB＝10（cm）， （2分） 由FG＝x得OM，PM＝BM＝10， （2分） 因为PM＞OM，即10， 所以0＜x＜10， （2分） 因为S＝42x（10）＝20x﹣x2， （2分） 由20x﹣x2＞75，可得5≤x≤15， 所以，5≤x＜10， 答：x的取值范围[5，10）， （4分） 14、【解析】 (1)解：由的周长为6得， 椭圆与双曲线，即有相同的焦点，所以， 即，则，， 则椭圆的方程为． （5分） (2)证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为，， 当时，=)，， 即； （4分） 当时，=，， 即； （4分） 所以为定值． （1分） 15、【解析】（1）如图1，分别是点M、N在线段AC上的投影，则为AO的中点，为OC的三等分点. 所以，， 所以,所以AM∥ON， （3分） 如图2，又因为平面BDN，ON平面BDN，所以AM∥平面BDN. （2分） （2）以O为原点，分别以所在方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则,设， 所以,, （2分） 若OE⊥平面BDN，则， 即时，OE⊥平面BDN. （2分） （3）设内切圆半径为r，由题意可知是等腰直角三角形，所以 （1分） 因为 所以 （2分） 设平面的法向量为，则，令x=1，则 ,同理可得平面的法向量, 所以，, 由图可知二面角为锐角，则其余弦值为. （2分） 学科网（北京）股份有限公司 $$