2021年第十四届全国中学生数理化综合实践活动高二数学应用知识展示试题（A卷）

高二数学答案 一、选择题（每题6分，共48分） 1.A 清洁钢球能擦拭凹槽的最底部时，横截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，圆与双曲线相交于顶点．设半径为r，圆心为(0，r＋1)，则圆的方程为x2＋(y－r－1)2＝r2，代入双曲线方程y2－x2＝1得y2－(r＋1)y＋r＝0，解得y＝1或y＝r.要使清洁钢球擦拭凹槽的最底部，则需r≤1，故选:A　 2.B 【解析】解：， 所以一个回归年对应的天数为天 假设1200年中，设定闰年的个数为，则平年有个， 所以 解得：. 故选：B. 3.B解：∵， ∴，∴， ∴数列{an}是公比q＝的等比数列， ∵a4＝D#，＝， ∴， 故选：B． 4. A 设一根木条长为xm， 则正方形的边长为2＝m.(2分) 因为S四边形ABCD>，所以4－x2>，即x<.(4分) 又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x>，所以4<4x<2. 答：四根木条总长的取值范围为 5. A 解：由题意设动点坐标为（x，y）， 则， 即[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]＝1， 把原点O（0，0）代入，可得上式成立，故曲线过原点，排除C、D； 把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变， 故曲线C关于坐标原点对称，排除B； 故选：A． 6. C 由于点M与平面A1DC1的距离保持不变，且从B1点出发，因此点M沿着运动. 设点P为B1C的中点，当M从B1到P时，如图所示 在平面A1B1CD内，作点A1关于B1B的对称点A′， 则MA1+MD＝MA′+MD， 由图象可知，当M从B1到P时，MA1+MD是减小的，MC1是由大变小的， 所以当M从B1到P时，l＝MA1+MC1+MD是逐渐减小的，故排除B，D； 因为PC1是定值，MC1，函数是减函数，类似双曲线形式，所以C正确； 故选：C 7.B 【解析】大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1， 则由题可得每个直角三角形的长直角边为，短直角边为， 所以小正方形的边长为， 小正方形的面积是，，， ，则， ，则， . 故答案为：. 8. C 【答案】①②④ 【详解】 对于①：如图所示：因为分别为的中点， 所以,， 同理可得、， 所以，又因为 所以.①正确. 对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确. 对于③：因为，所以,,, 所以, 化简得：， 又因为不共线. 所以， .③错误. 对于④：因为是的外心，，所以,，, 因为，则， 化简得： ,由题意知不同时为正. 记, 则， 因为 所以.④正确. 故答案为：①②④. 二、填空题（每题8分，共32分） 9.2n﹣1 解：当n为奇数时，n﹣1为偶数，n﹣2为奇数， 则an＝2an−1+2＝2（2an−2−1）+2＝4an−2， 故数列{an} 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列， ∴（1≤n≤9，n为奇数）， 故解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为2n﹣1（1≤n≤9，n为奇数）． 故答案为：2n﹣1（1≤n≤9，n为奇数）． 10.　． 【分析】因为点P满足，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，所以点A，M，N三点共面，只需要找到平面AMN与正方体表面的交线即可． 解：因为点P满足，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，所以点A，M，N三点共面， 又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，所以CN＝B1N，AM＝MC， 连接MN，AB1，则MN∥AB1，所以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面， 故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上的点． 所以所有点P构成的图形的面积为×sin60°＝． 故答案为：． 11. 【解答】解：设直线PQ的方程为：y＝kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由得x2﹣2pkx+2p＝0，△＞0， 则x1+x2＝2pk，x1x2＝2p， ，， ＝ ＝＝＝0，即kBP+kBQ＝0① 又kBP•kBQ＝﹣3②， 联立①②解得，， 所以，， 故∠MBN＝π﹣∠BNM﹣∠BMN＝ 12. 【详解】①拼成一个三棱柱时,有三种情况： 将上下底面对接,其全面积为：； 3a边可以合在一起时, ； 4a边合在一起时， . ②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,， 显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为： . 由题意得：，解得：. 故答案为 ： 3、 解答题 13（23分） .解：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱． 将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面板长为2a，斜高为3a的正四棱锥． （5分） （两个图各3分，共6分） （2）∵正四棱柱的底面边长为2a，高为a，∴其体积，（3分） 又∵正四棱锥的底面边长为2a，高为， ∴其体积． （3分） ∵， 即，， ∴V1＞V2， 故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大． （6分） 14.（23分） 解：（1）tan∠APB＝tan（∠DPB﹣∠DPA） ， 当且仅当x，即x＝12时，tan∠APB取得最大值， （5分） 又y＝tanx在上单调递增，∴当tan∠APB取得最大值时，∠APB最大， ∴x＝12，∠APB取得最大值arctan； （5分） （2）过点P作PE⊥CD于E，设点P（x，y），其中x＞0，4＜y≤40， tan∠APB＝tan（∠EPB﹣∠EPA） ， （5分） 当且仅当x，即x时，tan∠APB取得最大值， （3分） 此时轨迹方程为：1（x＞0，4＜y≤40）， 其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在x＞0，4＜y≤40的一部分．（5分） 15.（24分） (1) 解：小虫在绳子拉长到2米后，爬了1厘米，如果把绳子还原，小虫这次在这绳子上只爬了厘米．两次爬行之后，小虫爬行了()厘米． （8分） (2)类似地，小虫在第三次实际上只爬了厘米．n次之后，小虫在绳子上爬行了()厘米． （3分） 由于绳子的长度是100厘米，这个问题变成：是否存在正整数n，使得能够大于等于100． （5分） 现在我们把写成 不难看出，每一个括号内的值都大于．这是因为，中有2k−2k−1=2k−1项．除了最后一项外，其它各项都大于．由此可以得到 = ＞1+ （5分） 当k大于等于200时，上式大于100． 这表明，当n≥2200时，大于100．即小虫可以爬到绳子的另一端 （3分） 学科网（北京）股份有限公司 $$第十四届中学生数理化综合实践活动 高二数学应用知识展示试题(A卷)】 地区 学校 姓名 信息卡号 测试说明： 1,必须在答题纸上答卷，否则成绩无效：选择题的答案涂到答题纸对应题目的标号上，非 选择题的答案书写在答题纸指定区城内. 2.请在答题纸和试卷上填写有效信息，考试时间为120分钟，满分150分 3.成绮查询：2022年1月5日起，可通过指定网站(www.isuyang.cn)查询成绩。 一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，共48分，每题只有1个选项是正确的） 1.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y一x2=1, y∈1,10].在凹槽内放人一个清洁钢球（规则的球体），要使清洁钢球 能擦拭凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为(). A.1 B.2C.3 D.2.5 2.在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不斯变化，太阳直射点回归运动的 一个周期就是一个回归年，某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移 的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射 南半球时取负值)，设第x天时太阳直射点的纬度值为y,该科研小组通过对数据的整理和分 析，得到y与x近似满足y=23.4392911sin0.01720279x,则每1200年中，要使这1200 年与1200个回归年所含的天数最为接近，应设定闰年的个数为( )(精确到1，参考数据： 0.01720279≈182.6211). A.290 B.291 C.292 D.293 3.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的 数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平 均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比 是常数，如表所示，其中41，a,…,an表示这些半音的频率，它们满足(a)世=2（行=1， a 2,…,12).若某一半音与D的频率之比为2，则该半音为(). 高二数学(A卷)共4页第1页 频率 a a au 半音 D D E F G A A B (八度 A.F# B.G C.G D.A 4,某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计 成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图 所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心 o 的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的 A 窗口，若窗口ABCD为正方形，且面积大于} (木条宽度忽略不计)，则四根木条总长的取值范围是( A.(4√2,2/15)B.(22,3/15) C(25,315) D.(42,3/1) 5.已知A,B是平面内两个定点，平面内满足PA|·PB引=a(a为大于0的常数)的点P的 轨迹称为卡西尼卵形线，它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼·卡西尼的名字命名.当A, B的坐标分别为（一1,0），(1,0)，且a=1时，卡西尼卵形线大致为( D 6.如图为正方体ABCD-A1B,CD,动点M从B,出发，在正方体表 面沿逆时针方向运动一周后，再回到B,的运动过程中，点M与平面 A,DC的距离保持不变，运动的路程x与I=MA,+MC,十MD之间 满足函数关系1=(x),则此函数图象大致是(). 4, D 7.As shown in the figure,square ABCD is made up of four identical right triangles and a small square EFGH,if /GBC is 0.S Anco =1, S25 then the value of sin0-cos is c- 3 D.25 高二数学(A卷)共4页第2页 8.如图，P为△ABC内任意一点，角A,B,C的 对边分别为a,b,c,总有优美等式SAPH PA十 S△cP官十SaPA出PC=0成立，因该图形酷似奔 驰汽车车标，故又称为奔驰定理，现有以下命题： ①若P是△ABC的重心，则有PA+PB+PC=0: ②若aPA+bPB+cPC-0成立，则P是△ABC的内心： ③若AP-名A+AC.则S△S△m=25: ④若P是△ABC的外心A=牙，P=mP丽+nP元，则m+n∈[-反，1). 则正确的命题有(). A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每题8分，共32分） 9.九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个圆环相连成串，按一定规则移 动圆环，以解开为胜在某种玩法中，用a。表示解下n(n≤9，n∈N')个圆环所需的最少移动 次数，数列{a。}满足a1=1,且an= 2a。-1一1，n为偶数， 2a。-1十2，n为奇数， 则解下n(n为奇数)个环所需的 最少移动次数为 (用含n的式子表示)， 10.棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中，点M和N分别是正方形ABCD和BB,C,C的 中心，点P为正方体表面上及内部的点，若点P满足DP=mDA十nDM+kDN,其中m,n: k∈R,且m十n十k=1,则满足条件的所有点P构成的图形的面积是 11.如图，已知抛物线的方程为x2=2y(p>0),过点A(0,一1)作 直线与抛物线相交于P,Q两点，点B的坐标为(0,1)，连接BP, BQ,设QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.若QB的斜率与PB 的斜率的乘积为一3，则∠MBN的大小等于 12。有两个相同的直三棱柱，高为名，底面三角形的三边长 分别为3a,4a,5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱 4a, 柱，在所有可能的情况中，表面积最小的是一个四棱柱，则 a的取值范围是 50 高二数学(A卷)共4页第3页 三、解答题（本大题共3小题，共70分） 13.(23分)如图，甲，乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将 甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使 它们的表面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）. (1)将你的裁剪方法画出来，并作简要说明： 印 (2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱维体积的大小，并证明你的结论 14.(23分)现有一长为100米，宽为 80米，球门宽为8米的矩形足球运 D 动场地，如图甲所示，其中CD是足 球场地边线所在的直线，球门AB处 于CD的正中间位置，足球运动员 (将其看做点P)在运动场上观察球 甲 乙 门的角（即∠APB)称为视角 (1)当运动员带球沿着边线DD,奔跑时，设P到底线CD的距离为PD=x米，试求当x 为何值时∠APB最大： (2)理论研究和实践经验表明：∠APB越大，射门命中率就越大，现假定运动员在球场都 是沿着垂直于底线CD的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以AB的 中点为原点建立如图乙所示的平面直角坐标系，求在球场区域ADD,A,内射门到球门AB的 最佳射门点的轨迹方程 15.(24分)有一根长1米且弹性能充分满足要求的绳子，在绳子的一端有一个小虫（小虫本 身的长度忽略不计).现在小虫沿着绳子爬行1厘米，停下来我们把绳子拉长1米（此时绳长为 2米)，然后小虫再爬行1厘米。 (1)如果把绳子还原成原长1米，则小虫相当于爬了 厘米： (2)我们再把绳子拉长1米（此时绳长为3米），小虫接着又爬行1厘米.依此下去，绳子每 拉长1米，小虫就再爬行1厘米按(1)中的模型，试问小虫能爬到绳子的另一端吗？请说明 理由 高二数学(A卷)共4页第4页